初三数学压轴题含答案

.;.准备题 1.如图，直线y= -12 x+1和抛物线y=x2+bx+c 都经过点a（ 2,0 ）和点 b（ k, 3）4（ 1） k 的值是；y（ 2）求抛物线的解析式；（ 3）不等式x2+bx+c -12 x+1 的解集是.boax( 图 6）例 1. 如图，直线yx3 与 x 轴， y 轴分别相交于点b ，点 c ，经过 b，c两点的抛2物线 yaxbxc 与 x 轴的另一交点为a ，顶点为p ，且对称轴是直线x2 （ 1）求 a 点的坐标；（ 2）求该抛物线的函数表达式；（ 3 ）连结ac 请问在x 轴上是否存在点q ，使得以点p， b， q 为顶点的三角形与abc 相似，若存在，请求出点q 的坐标；若不存在，请说明理由yx2解直线 yx3 与 x 轴相交于点b ，当 y0 时， x3 ，c点 b 的坐标为 (3，0) 又抛物线过x 轴上的 a，b 两点，yx2且对称轴为x2 ，根据抛物线的对称性，点 a的坐标为 (1，0) coab（ 2）yx3 过点 c ，易知c (0，3) ，c3p又抛物线abyax230，bxc 过点aa(1，0，)1，b(3，0) ，2xoab9a3b解得30byx4 x34p（ 3）连结 pb ，由yx24 x3( x2)21 ，得p (2， 1) ，设抛物线的对称轴交x 轴于点 m ，在 rt pbm中， pmmb1 ，pbm45 ， pb2 由点b (3，0)， c (0，3) 易得 oboc3 ，在等腰直角三角形obc 中， abc45 ，由勾股定理，得bc32 假设在 x 轴上存在点q ，使得以点p， b， q 为顶点的三角形与abc 相似当 bqpbbcab， pbqabc45 时，pbq abc 即 bq322 ，bq23 ，又bo3 ，点 q 与点 o 重合，q1 的坐标是 (0，0) 当 qbpbabbc， qbpabc45 时，qbp abc 即 qb2 ，qb2 ob3， oqobqb327 ，2323332q 的坐标是7 ，03pbx18045135 ， bac135 ，pbx bac 2点 q 不可能在 b 点右侧的x 轴上综上所述，在x 轴上存在两点形与 abc 相似。q1(0，0，)q7 ，0 3，能使得以点p， b， q 为顶点的三角例 2.二次函数y1 x2 的图象如图所示，过y 轴上一点 m80，2的直线与抛物线交于a ，b 两点，过点a ， b 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为c ， d （ 1）当点 a 的横坐标为2 时，求点b 的坐标；（ 2）在（ 1）的情况下， 分别过点a ， b 作 ae x 轴于 e ， bf x 轴于 f ，在 ef 上是否存在点p ，使 apb 为直角若存在，求点p 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）当点 a 在抛物线上运动时（点a与点 o 不重合），求 ac bd 的值 解 （1）根据题意，设点b 的坐标为12x， x8，其中 x0 点 a 的横坐标为2 ，2 1a，ac 2y 轴 ， bd y 轴， m0，2，ac bd ，mc3 ，2md1 x282 rt bdm rt acmbdmdx即acmc21 x22832解得 x12 （舍去），x28 b 8，8 （ 2）存在连结 ap， bp 由（ 1）， ae1 ， bf28 ， ef10 设 epa，则 pf10a ae x轴， bf x 轴， apb190 ， aep pfb aeeppfbf210aa 解得 a8521 经检验 a521 均为原方程的解点 p 的坐标为321，0或 321，0（ 3）根据题意，设12am， m812， bn， n8，不妨设 m0 ， n0 由（ 1）知 bdmd ，acmc1 n22则n8或n21 n28m21 m28m1 m228化简，得mn16mn0 mn 0 ，mn16ac bd16 .例3.( 湖 北 湛 江 课 改 卷） 已 知 抛 物 线yax2bx2与 x 轴 相 交 于 点a(x1，0) ，b( x2，0)( x1x2) ，且x1， x2是方程x22 x30 的两个实数根， 点 c 为抛物线与y 轴的交点（ 1）求 a，b 的值（ 2）分别求出直线ac 和 bc 的解析式；（ 3）若动直线ym(0m2) 与线段 ac，bc 分别相交于d，e 两点， 则在 x 轴上是否存在点p ，使得出点 p 的坐标；dep 为等腰直角三角形？若存在，求y解 （ 1）由 x22 x30 ，得 x131， x23 21a(1，0)， b (3，0) ， 把a，b2两 点 的 坐 标 分 别 代 入x211234yaxbx2 联立求解，得24a， b33（ 2）由（ 1）可得 y2 x24 x2 ，当 x0 时， y2 ，c (0，2) 33设 ac :ykxb ，把 a，c两点坐标分别代入ykxb ，联立求得k2，b2 直线 ac 的解析式为y2x2 同理可求得直线bc 的解析式是y2 x2 3（ 3）假设存在满足条件的点p ，并设直线ym与 y 轴的交点为f (0， m) 当 de 为腰时，分别过点d， e 作dp1x 轴于p1 ，作ep2x 轴于p2 ，如图，则 p1 de和 p2 ed都是等腰直角三角形，dedp1abx2foep2m ，yx14 ;.de ab， cde cab ，c (0，2)dfeyma(1，0)p1 o p2b(3，0) x;.decfm，即2m4解得 maboc423点 d 的纵坐标是4 ，点 d 在直线 ac 上，32 x24，解得3x1 ， 314d，331p1 ，0 3，同理可求p2 (1，0) 当 de 为底边时， 过 de 的中点 g 作 gp3x 轴于点p3 ，如图，y则 dgeggp3m ，c(0，2)由 cde cab ，得 decf，即 2m2m，解得 m1d fg eymaboc42a(1，0)o p2b(3，0) x同 1 方法求得d1 ，1 ， e3 ，1，22dgeggp31op3fgfeeg1，p321 ，023结合图形可知，p d 2p e 22， ed 24 ，3ed 2p d 2p e 2 ， dep是 rt ，p1 ，0也满足条件33332综上所述，满足条件的点p 共有 3 个，即 p1，0 ， p (1，0，)p1 ，012322例 4.在矩形 abcd 中， ab4 ， bc2，以 a 为坐标原点，ab 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系然后将矩形abcd 绕点 a 逆时针旋转， 使点 b 落在 y 轴的 e 点上， 则c 和 d 点依次落在第二象限的f 点上和 x 轴的 g 点上（如图） （ 1）求经过 b，e，g 三点的二次函数解析式；（ 2）设直线 ef 与（ 1）的二次函数图象相交于另一点h ，试求四边形egbh 的周长（ 3）设 p 为（ 1）的二次函数图象上的一点，bp eg ，求 p 点的坐标（ 1）解：由题意可知，aeab4 ， agadbc2 b(4，0) ， e (0，4) ， g(2，0) 设经过 b，e，g 三点的二次函数解析式是ya( x2)( x4) 把 e (0，4) 代入之，求得a1 3 分2所求的二次函数解析式是：y1 ( x2)( x4)1 x2x4 22（ 2）解：由题意可知，四边形aefg 为矩形 fhg，b且 gb6 直线 ehy4 与二次函数图象的交点h 的坐标为2 h (2，4) ，g 与 b， e 与 h 关于抛物线的对称轴对称， bheg422225 四边形 egbh 的周长26225845 （ 3）设 bp 交 y 轴于 m bp eg ，y ab : agam: ae ，即 4: 2am : 4 am8 ，于是m (0，8) 设直线 bm 的解析式为ykxb x把 b (4，0) ， m (0， 8) 代入之，4kb得0，k解得2， y2x8 b8.b8.y8，组成方程组y2x12x2x4.x解得y6，x或20y4，（此组数为0.b 点坐标）所求的 p 点坐标为p(6，20) 练习 .如图 11，抛物线y =- x2+2x+3 与 x 轴交于点a、b，与 y 轴交于点c，点 d 是抛物线的顶点，连接bc、bd.