2.41离散型随机变量的均值与方差(理)(基础

2.41 离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称 为的均值或数学期望，简称期望要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令，则有，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2性质：；若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；的推导过程如下：的分布列为P于是 )。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为P则称称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作要点诠释：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：4.方差的性质：若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则期望方差证明：,2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则期望方差期望公式证明：，又，3、几何分布：独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。若离散型随机变量服从几何分布，且则期望方差要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则期望要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：理解的意义，写出可能取的全部值；求取各个值的概率，写出分布列；P根据分布列，由期望、方差的定义求出、：.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平； 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明比较离散，反之，则表明比较集中品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例1某射手射击所得环数的分布列如下：78910Px0.10.3y已知的期望E8.9，则y的值为_【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质，求出x、y的值，再利用期望的定义求解；【解析】x0.10.3y1，即xy0.6.又7x0.82.710y8.9，化简得7x10y5.4.由联立解得x0.2，y0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式1】（2015春 金台区期末）设B（18，p），又E（）=9，则p的值为（ ）A B C D【答案】AB（18，p），E（）=9，18p=9，故选：A。【变式2】随机变量的分布列为024P0.40.30.3，则E(54)等于()A13B11 C2.2 D2.3【答案】A 由已知得：E()00.420.340.31.8，E(54)5E()451.8413.【变式3】节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B690元C754元 D720元【答案】A节日期间预售的量：E2000.23000.354000.35000.154010512075340(束)，则期望的利润：51.6(500)5002.53.4450，E3.4E4503.4340450706.期望利润为706元【变式4】设离散型随机变量的可能取值为1，2，3，4，且（），则 ；【答案】；由分布列的概率和为1，有，又，即，解得，故。例2. 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分假设这名同学回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即X0）的概率 【思路点拨】本题显然为独立重复试验的问题，因此求各个情况的概率直接用公式即可。（1）求X的可能取值，即求得分，答对0道题得300分，答对1道题得100200=100分，答对2道题得2100100=100分，答对3道题得300分；（2）总分不为负分包括100分和300分两种情况 【解析】（1）X的可能取值为300，100，100，300 P（X=300）=0.23=0.008。 P（X=100）=0.220.8=0.096， P（X=100）=0.20.82=0.384， P（X=300）=0.83=0.512 所以X的概率分布为X300100100300P0.0080.0960.3840.512 E（X）=(300)0.008+(100)0.096+1000.384+3000.512=180 （2）这名同学总得分不为负分的概率为 P（X0）=P（X=100）+P（X=300）=0.384+0.512=0.896 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表举一反三：【变式1】 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望【答案】因为，所以【变式2】一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止求在取得正品之前已取出次品数的期望【答案】设取得正品之前已取出的次品数为，显然所有可能取的值为0，1，2，3当时，即第一次取得正品，试验停止，则当时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则当时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则当时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则分布列为0123p【变式3】某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量设他所收租车费为()求租车费关于行车路程的关系式；()若随机变量的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费的数学期望()已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?【答案】()依题意得=2(-4)十10，即=2+2；() =2+2 2E+2=34.8 （元）故所收租车费的数学期望为34.8元()由38=2+2，得=18，5(18-15)=15所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 例3(2014 辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立()求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；()用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)【答案】() 0.108，() E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72【解析】()设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108，()X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：=,，随机变量X的分布列为因为XB(3，0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值举一反三： 【变式1】 英语考试有100道选择题，每个题有4个选项，选对得1分，否则得0分，学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望【答案】设甲、乙不会的题的得分分别为随机变量X和Y，由题意知XB（80，0.25），YB（20，0.25）， E（X）=800.25=20，E（Y）=200.25=5故甲、乙的数学期望成绩分别为40分和85分【变式2】 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的数学期望【答案】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布（1），。 所以X的概率分布如下表：X0123P（2）由（1）知，或由题意，。，。【变式3】 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则, 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是： 类型二、离散型随机变量的方差例4. 设X是一个离散型随机变量，其概率分布如下表，试求E（X）和D（X）X101P12qq2 【思路点拨】 由概率分布的性质求出q的值后，再计算E（X），D（X）【解析】 由概率分布的性质，得：，得。，。 【总结升华】求随机变量的方差，应先明确随机变量的概率分布。然后利用均值与方差的定义列式计算 举一反三： 【变式1】 设随机变量X的概率分布为X12nP 求D(X）。 【答案】 本题考查方差的求法可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定义求之也可直接利用公式D（X）=E（X2）E（X）2来解解法一：，D。解法二：由解法一可求得。又，D。 【变式2】 1已知随机变量的分布列如下表：101P （1）求E（），D（），； （2）设=2+3，求E（），D（）【答案】（1）；，。（2），。例5. 设某运动员投篮投中的概率为p=0.6 （1）求一次投篮时，投中次数X的数学期望和方差； （2）求重复5次投篮时，投中次数Y的数学期望和方差【思路点拨】（1）投篮一次可能中，也可能不中，投中次数X服从两点分布；（2）重复投篮5次的投中次数Y服从二项分布 【解析】（1）X服从两点分布，其分布列如下：X01P0.40.6 所以E（X）=p=0.6，D（X）=p（1p）=0.24 （2）由题设，YB（5，0.6） 所以E（Y）=np=50.6=3， D（Y）=np（1p）=50.60.4=1.2【总结升华】对于两点分布、二项分布，可直接运用公式计算举一反三：【变式1】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球三次得分的期望和方差。【答案】罚球三次可以看作3次独立重复试验，即罚球三次得分，所以.【变式2】有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为X,求X的分布列,期望和方差.【答案】类型三、离散型随机变量的期望和方差的应用例6. 甲、乙两名射手在一次射击中的得分是两个随机变量，分别记为X1和X2，它们的概率分布分别为X1012X2012P0.1a0.4p0.20.2b （1）求a，b的值； （2）计算X1和X2的数学期望和方差，并以此分析甲、乙两射手的技术状况 【思路点拨】 本题考查分布列的性质、期望与方差的求法及对期望与方差的理解（1）可直接由分布列的性质列式求解（2）利用定义求期望与方差【解析】 （1）由分布列的性质知，0.1+a+0.4=1，0.2+0.2+b=1，即a=0.5，b=0.6。（2）E（X1）=00.1+10.5+20.4=1.3，E（X2）=00.2+10.2+20.6=1.4，D（X1）=(01.3)20.1+(11.3)20.5+(21.3)20.4=0.41，D（X2）=(01.4)20.2+(11.4)20.2+(21.4)20.6=0.64。 由上述计算的结果可知，乙的平均水平较甲好一点，但乙的稳定性不如甲 【总结升华】离散型随机变量的期望与方差分别反映了随机变量的取值的平均水平和波动大小（或离散程度）举一反三：【变式1】A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好. A机床B机床次品数10123次品数10123概率P0.70.20.060.04概率P0.80.060.040.10【答案】 E1=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44, E2=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差.D1=（0-0.44）20.7+（1-0.44）20.2+（2-0.44）20.06+（3-0.44）20.04=0.6064,D2=（0-0.44）20.8+（1-0.44）20.06+（2-0.44）20.04+（3-0.44）20.10=0.9264.D1 D2 故A机床加工较稳定、质量较好. 【变式2】有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1 2001 4001 6001 800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1 0001 4001 8002 200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？【答案】根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)1 2000.41 4000.31 6000.21 8000.11 400，D(X1)(1 2001 400)20.4(1 4001 400)20.3(1 6001 400)20.2(1 8001 400)20.140 000；E(X2)1 0000.41 4000.31 8000.22 2000.11 400，D(X2)(1 0001 400)20.4(1 4001 400)20.3(1 8001 400)20.2(2 2001 400)20.1160 000.因为E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位【变式3】 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额X的分布列与期望【答案】设表示第辆车在一年内发生此种事故，.由题意知独立，且.（）该单位一年内获赔的概率为.（）的所有可能值为.,，.综上知，的分布列为090001800027000P求的期望有两种解法：解法一：由的分布列得（元）解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，则有分布列09000P故.同理得.综上有（元）.【巩固练习】一、选择题1下面说法中正确的是()A离散型随机变量的均值E()反映了取值的概率的平均值B离散型随机变量的方差D()反映了取值的平均水平C离散型随机变量的均值E()反映了取值的平均水平D离散型随机变量的方差D()反映了取值的概率的平均值2（2015春 天津期末）已知XB（n，p），E（X）=8，D（X）=1.6，则n，p的值为（ ）A100和0.8 B20和0.4 C10和0.8 D10和0.23随机变量的分布列为024P0.40.30.3，则E(54)等于()A13B11C2.2 D2.34随机变量服从二项分布B（100，0.2），那么D（4+3）的值为（ ） A64 B256 C259 D3205某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量（单位：克）分别为：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是（ ） A150.2克 B149.8克 C149.4克 D147.8克6从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，则随机变量的方差为（ ） A B C D7节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B690元C754元 D720元8甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考查，X、Y的分布列分别为X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20据此判断()A甲比乙质量好 B乙比甲质量好C甲与乙质量相同 D无法判定二、填空题9. （2015 枣庄一模）已知随机变量XB（4，p），若D（X）=1，则p=_10有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量1、2，若E1E2，D1D2，则自动包装机_的质量较好11某射手有5发子弹，射击一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，设损耗子弹数为X，则E（X）=_，D（X）=_（精确到0.01）12某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设一年内事件E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交的保险金为_元三、解答题13一袋中装有6只球，编号为1，2，3，4，5，6，在袋中同时取3只，求三只球中的最大号码的数学期望14某批产品的合格率为98，检验员从中有放回地随机抽取100件进行检验 （1）抽出的100件产品中平均有多少件正品？ （2）求抽出的100件产品中正品件数的方差和标准差15设甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下： 甲：10，6，7，10，8，9，9，10，5，10 乙：8，7，9，10，9，8，7，9，8，9试问哪一名射手的射击技术较好？16(2014 四川)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因【答案与解析】1.【答案】C【解析】离散型随机变量的均值E()反映取值的平均水平，它的方差反映的取值的离散程度故答案选C.2. 【答案】 C 【解