3.3 几何概型

几何概型 知识框图 1 通过实例初步体会几何概型的意义 2 学会使用信息技术 产生随机数进行简单的模拟试验 并统计试验结果 3 体会随机模拟中的统计思想 用样本估计总体 用频率估计概率 学习目标 3 3 1几何概型 学习目标 1 从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果 通过转盘游戏问题 理解几何概型的定义和概率计算公式 2 在几何概型下进一步理解 不可能事件概率为0 必然事件概率为1 而概率为0的事件不一定是不可能事件 概率为1的事件不一定是必然事件 的含义 3 通过对例1的解决 进一步理解几何概型的适用条件 学会利用几何概型概率计算公式解决问题 复习 1 所有的基本事件只有有限个 2 每个基本事件发生都是等可能的 当随机试验的基本事件有无限个时 事件的概率应如果求呢 古典概型的两个基本特点是什么 问题 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向B区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 事实上 甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关 而与字母B所在区域的位置无关 因为转转盘时 指针指向圆弧上哪一点都是等可能的 不管这些区域是相邻 还是不相邻 甲获胜的概率是不变的 在几何概型中 事件A的概率的计算公式如下 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 几何概型的特点 1 试验中所有可能出现的结果 基本事件 有无限多个 2 每个基本事件出现的可能性相等 1 如果在转盘上 区域B缩小为一个单点 那么甲获胜的概率是多少 问题 图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏 规定当指针指向B区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 构成事件 甲获胜 的区域长度是一个单点的长度0 所以P 甲获胜 0 2 如果在转盘上 区域B扩大为整个转盘扣除一个单点 那么甲获胜的概率是多少 构成事件 甲获胜 的区域长度是圆周的长度减去一个单点的长度0 所以P 甲获胜 1 概率为0的事件不一定是不可能事件概率为1的事件不一定是必然事件 例1 某人午休醒来 发觉表停了 他打开收音机想听电台整点报时 求他等待的时间短于10分钟的概率 打开收音机的时刻X是随机的 可以是0 60之间的任何时刻 且是等可能的 我们称X服从 0 60 上的均匀分布 X称为 0 60 上的均匀随机数 P147 如图 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 分别计算它落到阴影部分的概率 P149A组1 一张方桌的图案如图所示 将一颗豆子随机地扔到桌面上 假设豆子不落在线上 求下列事件的概率 1 豆子落在红色区域 2 豆子落在黄色区域 3 豆子落在绿色区域 4 豆子落在红色或绿色区域 5 豆子落在黄色或绿色区域 3 3 2均匀随机数的产生 学习目标 1 掌握利用计算机 计算器 产生均匀随机数的方法 并学会利用随机模拟方法估计未知量 2 通过例2理解随机模拟的基本思想是用频率估计概率 例2 假设您家订了一份报纸 送报人可能在早上6 30 7 30之间把报纸送到你家 你父亲离开家去工作的时间在早上7 00 8 00之间 问你父亲在离开家前能得到报纸 称为事件A 的概率是多少 解 以横坐标X表示报纸送到时间 以纵坐标Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系 父亲在离开家前能得到报纸的事件构成区域是 由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件 根据题意 只要点落到阴影部分 就表示父亲在离开家前能得到报纸 即事件A发生 所以 用计算机产生随机数模拟试验 1 选定A1格 键入 RAND 按Enter键 则在此格中的数是随机产生的 0 1 之间的均匀随机数 2 选定A1格 按Ctrl C快捷键 选定A2 A50 B1 B50 按Ctrl V快捷键 则在A2 A50 B1 B50的数均为 0 1 之间的均匀随机数 用A列的数加7表示父亲离开家的时间 B列的数加6 5表示报纸到达的时间 这样我们相当于做了50次随机试验 3 如果A 7 B 6 5 即A B 0 5 则表示父亲在离开家前能得到报纸 4 选定D1格 键入 A1 B1 再选定D1 按Ctrl C 选定D2 D50 按Ctrl V 5 选定E1格 键入频数函数 FREQUENCY D1 D50 0 5 按Enter键 此数是统计D列中 比 0 5小的数的个数 即父亲在离开家前不能得到报纸的频数 6 选定F1格 键入 1 E1 50 按Enter键 此数是表示统计50次试验中 父亲在离开家前能得到报纸的频率 例3 在正方形中随机撒一把豆子 用随机模拟的方法估计圆周率的值 随着试验次数的增大 结果的精度会越来越高 用计算机产生随机数模拟试验 1 选定A1 键入 rand 0 5 2 表示得到 1 1 之间的随机数 2 选定A1格 按Ctrl C 选定A2 A1000 B1 B1000 按Ctrl V 则在A2 A1000 B1 B1000的数均为 1 1 之间的均匀随机数 3 选定D1 键入 power A1 2 power B1 2 再选定D1 按 ctrl C 选定D2 D1000 按 ctrl V 则D列表示A2 B2 4 选定F1 键入 IF D1 1 1 0 再选定F1 按 ctrl C 选定F2 F1000 按 ctrl V 则如果D列中A2 B2 1 F列中的值为1 否则F列中的值为0 5 选定H1 键入 frequency F1 F10 0 5 表示F1 F10中小于0 5的个数 即前10次试验中落在圆内的豆子数 类似地 分别得到表示前20次 50次 100次 500次 1000次试验中落在圆内的豆子数 6 选定I1 键入 H1 4 10 表示根据前10次试验得到圆周率的估计值 类似地 可以得到根据前20次 50次 100次 500次和1000次试验得到的圆周率的估计值 例4 利用随机模拟方法计算图中阴影部分 y 1和y x2所围成的部分 的面积 根据几何概型计算概率的公式 概率等于面积之比 如果概率用频率近似 在不规则图形外套上一个规则图形 则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘以频率 而频率可以通过模拟的方法得到 从而得到了不规则图形面积的近似值 本题套上的规则图形面积为2 所以本题所求的不规则图形的面积等于频率乘以2 用计算机产生随机数模拟试验 1 选定A1 键入 RAND 0 5 2 表示得到 1 1 之间的随机数 选定A1格 按Ctrl C 选定A2 A1000 按Ctrl V 则在A2 A1000的数均为 1 1 之间的均匀随机数 2 选定B1 键入 RAND 表示得到 0 1 之间的随机数 选定B1格 按Ctrl C 选定B2 B1000 按Ctrl V 则在B1 B1000的数均为 0 1 之间的均匀随机数 3 选定D1 键入 B1 power A1 2 再选定D1 按 ctrl C 选定D2 D1000 按 ctrl V 则D列表示B A2 4 选定F1 键入 IF D1 0 0 1 再选定F1 按 ctrl C 选定F2 F1000 按 ctrl V 则如果D列中元素大于0 则F列中的值为0 否则F列中的值为1 5 选定H1 键入 FREQUENCY F1 F10 0 5 表示F1 F10中小于0