（新课标）2020版高考数学总复习 第九章 第六节 双曲线练习 文 新人教A版.docx

第六节双曲线A组基础题组1.双曲线y29-x24=1的渐近线方程是()A.y=94xB.y=49xC.y=32xD.y=23x答案C双曲线y29-x24=1中a=3,b=2,故双曲线的渐近线方程为y=32x.2.若双曲线M:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,则双曲线M的离心率为()A.3B.2C.53D.54答案DP为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,故a=4,|F1F2|=2c=10,故c=5,则双曲线M的离心率e=ca=54.3.(2019重庆调研)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q,若|PQ|=2|QF|,PQF=60,则该双曲线的离心率为()A.3B.1+3C.2+3D.4+23答案B由题意可作出草图,设|QF|=1,由双曲线的对称性得,OQF为正三角形,则c=|OF|=1,又|PQ|=2|QF|,所以PFQ=90,则|PF|=3,所以2a=|PF|-|QF|=3-1a=3-12,因此e=13-12=23-1=3+1,故选B.4.若双曲线C1:x22-y28=1与C2:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线相同,且双曲线C2的焦距为45,则b=()A.2B.4C.6D.8答案B由题意得,ba=2b=2a,双曲线C2的焦距2c=45c=a2+b2=25a=2,b=4.5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x280-y220=1D.x220-y280=1答案A双曲线C的渐近线方程为x2a2-y2b2=0及点P(2,1)在渐近线上,4a2-1b2=0,即a2=4b2,由题意得a2+b2=c2=25,联立得b2=5,a2=20,则C的方程为x220-y25=1.故选A.6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=1答案A由题意可得ba=12,a2+b2=5,a0,b0,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1,故选A.7.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为5,过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线,垂足为A,若AFO的面积为1,则双曲线C的方程为()A.x22-y28=1B.x24-y2=1C.x24-y216=1D.x2-y24=1答案D因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2,又双曲线C的离心率为5,所以1+b2a2=5,即b2=4a2,所以a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-y24=1,故选D.8.(2018课标全国理,11,5分)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.4答案B本题主要考查双曲线的几何性质.由双曲线C:x23-y2=1可知其渐近线方程为y=33x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN=90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|=3,则在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B.9.如图,F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若直线y=x与双曲线C交于P,Q两点,且四边形PF1QF2为矩形,则双曲线的离心率为()A.2+6B.2+6C.2+2D.2+2答案D将y=x代入双曲线C的方程,可得x=a2b2b2-a2,因为|OP|=|OF2|,所以2a2b2b2-a2=c,所以2a2b2=c2(b2-a2),即2(e2-1)=e4-2e2,所以e4-4e2+2=0.因为e1,所以e2=2+2,所以e=2+2,故选D.10.过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F(-c,0)作圆O:x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交双曲线于点P,若E为线段FP的中点,则双曲线的离心率为()A.5B.52C.5+1D.5+12答案A如图所示,不妨设E在x轴上方,F为双曲线的右焦点,连接OE,PF,因为PF是圆O的切线,所以OEFE,又E,O分别为PF,FF的中点,所以|OE|=12|PF|,又|OE|=a,所以|PF|=2a,根据双曲线的定义,知|PF|-|PF|=2a,所以|PF|=4a,所以|EF|=2a,在RtOEF中,|OE|2+|EF|2=|OF|2,即a2+4a2=c2,所以e=5,故选A.11.(2018课标全国理,11,5分)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=6|OP|,则C的离心率为()A.5B.2C.3D.2答案C点F2(c,0)到渐近线y=bax的距离|PF2|=bca-01+ba2=b(b0),而|OF2|=c,所以在RtOPF2中,由勾股定理可得|OP|=c2-b2=a,所以|PF1|=6|OP|=6a.在RtOPF2中,cosPF2O=|PF2|OF2|=bc,在F1F2P中,cosPF2O=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|F1F2|=b2+4c2-6a22b2c,所以bc=b2+4c2-6a24bc3b2=4c2-6a2,则有3(c2-a2)=4c2-6a2,解得ca=3(负值舍去),即e=3.故选C.12.直线l:x-2y-5=0过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则该双曲线的方程为.答案x220-y25=1解析根据题意,令y=0,则x=5,即c=5,又ba=12,所以a2=20,b2=5,所以该双曲线的方程为x220-y25=1.13.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析由OA,OC所在直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=22,根据c2=2a2可得a=2.14.(2018湖北武汉调研)已知点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,PFx轴(其中F为双曲线的右焦点),点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13,则该双曲线的离心率为.答案233解析由题意知F(c,0),PFx轴,不妨设点P在第一象限,则Pc,b2a,双曲线渐近线的方程为bxay=0,由题意,得bc-ab2aa2+b2bc+ab2aa2+b2=13,解得c=2b,又c2=a2+b2,所以c2a2=43,所以双曲线的离心率e=ca=233.B组提升题组1.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点F作圆O:x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P,若PM=2MF,则双曲线C的离心率为()A.2B.62C.3D.2答案B设P(0,3m),由PM=2MF,可得点M的坐标为23c,m,OMPF,m23c3m-c=-1,m2=29c2,M23c,2c29,由|OM|2+|MF|2=|OF|2,|OM|=a,|OF|=c,得a2+c32+2c29=c2,a2=23c2,e=ca=62,故选B.2.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1作倾斜角为30的直线,与y轴和双曲线的右支分别交于A,B两点,若点A平分线段F1B,则该双曲线的离心率是()A.3B.2C.2D.33答案A由题意可知F1(-c,0),设A(0,y0),因为A是F1B的中点,所以点B的横坐标为c,又点B在双曲线的右支上,所以Bc,b2a,因为直线F1B的倾斜角为30,所以b2a-0c-(-c)=33,化简整理得b22ac=33,又b2=c2-a2,所以3c2-3a2-23ac=0,两边同时除以a2得3e2-23e-3=0,解得e=3或e=-33(舍去),故选A.3.(2018天津文改编,7,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为.答案x23-y29=1解析本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,e2=1+b2a2=4,b2a2=3,即b2=3a2,c2=a2+b2=4a2,不妨设点A(2a,3a),B(2a,-3a),b2a2=3,渐近线方程为y=3x,则点A与点B到直线3x-y=0的距离分别为d1=|23a-3a|2=23-32a,d2=|23a+3a|2=23+32a,又d1+d2=6,23-32a+23+32a=6,解得a=3,b2=9.双曲线的方程为x23-y29=1.4.一条斜率为1的直线l与离心率为3的双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)交于P,Q两点,直线l与y轴交于R点,且OPOQ=-3,PR=3RQ,求直线和双曲线的方程.解析e=3,b2=2a2,双曲线方程可化为2x2-y2=2a2.设直线l的方程为y=x+m.由y=x+m,2x2-y2=2a2,得x2-2mx-m2-2a2=0,=4m2+4(m2+2a2)0,直线l一定与双曲线相交.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2.PR=3RQ,xR=x1+3x24=0,x1=-3x2,x2=-m,-3x22=-m2-2a2.消去x2,得m2=a2.OPOQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=m2-4a2=-3,m=1,a2=1,b2=2.直线l的方程为y=x1,双曲线的方程为x2-y22=1.5.设A、B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解析(1)由题意知a=23,