上学期北京清华附中高一数学正弦定理 余弦定理三

高中数学第一册 下 正 余弦定理的应用 1 复习 正弦定理 外接圆直径 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 例1在 ABC中 已知a b B 45 求A C和c 分析 已知两边和其中一边的对角的解三角形问题 可运用正弦定理来求解 但应注意解的情况 或借助余弦定理 先求出c后 再求出角C与角A A 60 C 75 c 或A 120 C 15 c 小结 对本题 一般会误认为只能用正弦定理求解 而余弦定理似乎难以派上用场 其实不然 解法二就是明证 事实上 正弦定理与余弦定理是等价的 完全可以相通 凡是能用正弦定理解的三角形 用余弦定理也能求解 反之亦然 只不过解题过程的繁简程度有所不同而已 鉴此 我们在学习中 不能把正弦定理与余弦定理完全割裂开来 而要用一种联系的观点来看待它们 例2在 ABC中 已知a 2 b 6 2 c 4 求A B C 分析 已知三边 可用余弦定理直接求角 先求出两个角后 再用内角和求第三个角 使用余弦定理求角时 一般在判断三条边的大小后 可先求最大角 也可选求最小角 如果最大角小于60 最小角大于60 可知三角形无解 A 30 B 105 C 45 小结 此题也可先求最小角A 再求其他角 由于题目已知三边 所以利用余弦定理求得最大角或最小角后 再求第二个角 仍可用余弦定理 但较繁 例3如图 在 ABC中 已知BC 15 AB AC 7 8 sinB 求BC边上的高AD 分析 由已知设AB 7x AC 8x 故要求AD的长 只要求出x ABC中已知三边 只需再有一个角 根据余弦定理便可求x 而用正弦定理正好可求角C AD 12或AD 20 小结 利用比例式的设法是一种解题常用的技巧 可使运算简便 例4如图 在四边形ABCD中 已知AD CD AD 10 AB 14 BDA 60 BCD 135 求BC的长 BC 8 分析 在 ABD中 可先由正弦定理求出B 再由余弦定理求出BD 也可用方程法直接余弦定理求出BD 然后 BCD中由正弦定理求出BC 小结 注意正 余弦定理的灵活运用 例5已知方程x2 bcosA x acosB 0的两根之积等于两根之和 且a b为 ABC的两边 A B为两内角 试判定这个三角形的形状 ABC为等腰三角形 分析 先由条件得出三角形的边角关系 要判定三角形的形状 只须将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可 小结 由三角形的边角关系判定三角形的形状 其本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换 或全化为边的关系 或全化为角的关系 然后利用简单的平面几何知识即可判定 1 在 ABC中 已知B 30 b c 3 那么这个三角形是 A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰三角形或直角三角形 巩固练习 D 2 在 ABC中 若b2sin2C c2sin2B 2bccosBcosC 则此三角形为 A 直角三角形 B 等腰三角形C 等边三角形 D 等腰直角三角形 3 已知 ABC中 b 8 c B 60 求a 巩固练习 A 先求得C 30 1 本上 教材P134习题5 9中第5 8 9题 2 数学之友 T5 21 作业 在 ABC中 AB 5 AC 3 D为BC中点 且AD 4 求BC边长 课外思考 提示 此题所给条件只有边长 应考虑在假设BC为x后 建立关于x的方程 而正弦定理涉及到两个角