函数极限的性质

3.2 函数极限的性质,复习,一、 函数极限的性质,二、 利用函数极限的性质计算某些函数的极限,若对任给的 ，存在正数 使得当 时有,设函数 在点 的某个空心邻域 内有定义， 为定数.,我们还引入了下述六种类型的函数极限：,3.2 函数极限的性质,复习,首页,则称函数,定义,注,1. 具有任意性和给定性,2. 具有相应性和存在性,3. 两个不等式相互关联,则对任给的 ，分别存在正数 使得当 时有,设A,B都是f 当 时的极限，,由 任意性得A=B,这就证明了极限是唯一的.,即若,定理3.2(唯一性) 若极限 存在, 则此极限是唯一的.,首页,1.唯一性,一、函数极限的性质,（1）,（2）,当,时有,取,当,时有,证,注：,1.注意这个定理的证明，给出了一个在极限存在的前提下用极限的定义证明问题的方法.,2.极限的唯一性是我们下面进一步讨论极限的其它性质的理论基础，亦是极限理论的基础.,2.局部有界性,定理3.3(局部有界性) 若 存在,则 f 在 的某空心邻域 内有界.,证,设,则存在,使得对一切,这就证明了,f 在 内有界.,而有界性是整体性概念,两者含义不同.,在 上的有界函数一定在每点局部有界;但在 内每点处局部有界的函数不一定是有界函数,注,1.定理3.3给出的是局部有界性，,例如:,由函数极限的局部有界性定理可知 在点x=1 处局部有界,但是 在 上是无界的.,2.定理3.3给出的是 极限过程的函数局部有界性定理，对于其它极限过程有相应的结论. 例如：,时函数极限的局部有界性定理.,则,使得,3.思考问题：,若函数在 的某邻域内有界，能否推出,存在？,即 不存在， 在 的某邻域内一定无界吗？,当 时,不一定！,例2.,例1.,函数,的值总在-1,1之间五穷次的振荡，,即,不存在.,但,函数,不存在,但该函数在x=0的某去心邻域内有界,例3.,函数,当,时，,不存在.,在,的某去心邻域内 无界.,3.局部保号性,（以 的极限过程给出）,若 ，存在 ，使得对一切 有,若 ，存在 ，使得对一切 有,与A同号.,即,定理3.4(局部保号性),证,设A0.,对于 ， 当 时，恒有,即,而,当 时，有,同理证明A0的情况.,思考题：,若在点 的某一去心邻域内,且,则必有,对吗？,不一定！,例如 函数,在点x=0的某一去心邻域,内 ， 即 在 时有,且,结论仍然是,设 ，则对于 分别存在 使得当 时有,设 与 都存在，且在某邻域 内有则,首页,定理3.5(保不等式性),证,当 时有,则当 时，不等式,与（4）、（5）同时成立，于是有,（4）,（5）,（3）,4.保不等式性,从而 由 的任意性推出 即（3）式成立.,定理3.6(迫敛性) 设 且在某 内有则,5.迫敛性,定理3.7(四则运算法则) 若极限 与 都存在,则函数 当 时极限也存在,且,首页,6.极限的四则运算,问题,为什么极限根除法法则中只假设 ,而不设 ?,首页,二 利用函数极限的性质计算某些函数的极限,首页