二三重积分习题课

习题课 重积分 二重 习题二重积分计算 一的解题程序 1 画出积分域D的草图 2 选择坐标系 主要根据积分或D的形状 有时也参看被积函数的形式 见表11 1 表11 1 3 选择积分次序 选序的原则 先积分的容易 并能为后积分创造条件 对积分域D的划分 块数越少越好 4 确定累次积分的上下限 作定积分运算 定限口诀 后积先定限 累次积分中后积变量的上下限均为常数 限内划条线 该直线 坐标轴且同向 先交下限写 上下限或者为常数或者后积分变量的函数 后交上限见 直角坐标系中积分限的确定 参看图11 2 a b 直线l y轴它先与D的边界曲线y 1 x 相交 1 x 取做下限 后成D的边界曲线y 2 x 相交 2 x 取作上限 故 与以上作类似分析 可得 注 一般讲 后积分的变量 积分上下限均为常数 先积分的变量 积分上下限或者为常数或者是后积分变量的函数 图11 2 b 图11 2 a 直角坐标系中积分限参看图11 2 a b 解 a 显然是错的 因为后积分的上 下限不能含有变量 b 也是错的 因为先积分的上 下限或者为常数或者后积分变量的函数 而 b 违背了 c 也是错的 原因是改变积分次序不会改变积分域 由排除法可知 d 该入选 例1 设 则改变其积分次序后为 二极坐标系中积分限的确定 一般而言 极坐标系中二重积分的积分次序是 先 后 即 积分限随极点0与积分域D的边界曲线的相对位置而定 当极点0在域D的边界曲线之外时 图11 3 a 2 当极点0在域D的边界线上时 图11 3 b 3 当极点0在积分域D的边界线之内时 图11 3 c 3 当极点0在积分域D的边界线之内时 图11 3 c 三典型例题分析 1 由所给累次积分的上下限写出表示积分域D的不等式组 2 依据不等式组画出积分域D的草图 3 写出新的累次积分 积分限的确定与前面所讲的相同 三典型例题分析 1 更换积分次序 解题程序 例2 更换下列积分次序 解 1 由积分的上下限知 由D1 D2作出D的图形 见图11 4 于是 故 图11 4 分别写出右边两个积分所确定的不等式组 由D1 D2作出D的图形见图11 5 于是 解 极坐标系中的二重积分 若先对 后对 进行积分 则应注意如下两点 1 积分域D的边界曲线均用极坐标表示 2 若以原点0为圆心的一系列同心圆与域D的边界曲线中的不同曲线相交 则应在交点处把 的区间分开处理 例11 6 更换下列积分次序 作图 见图11 8 图11 8 图11 9 等等 一定要将其放在后面积分 凡遇如下形式积分 2 选择积分次序 解 1 不能用有限形式表示出其结果 它不能先积分 故 图11 10 D是以 0 0 1 1 0 1 为 例3 计算下列二重积分 顶点的三角形 D是由直线y x及抛物线y x2所围成的区域 2 因为不能用有限形式表示出其结果 所以它不能先积分 故 图11 11 例4 计算 解 不能用有限形式表示出其结果 先要写出右边两积分的积分域所对应的不等式组 图11 12 不能先计算 为了改变积分次序 3 坐标系的选择 例6 设有一曲顶柱体 以双曲抛物面z xy为顶 以xoy坐标面为底 柱面x2 y2 1外 柱面x2 y2 2x内为侧 试求这个柱体的体积 解 由题设可知曲顶柱体在xoy平面上的投影 即积分域D如图11 14所示 图11 14 由D的形状可知用极坐标计算曲顶柱体的体积更简单 曲线L1 2cos L2 1 联立解得 图11 14 例7 求由下列曲面所围成的体积 z x y z xy x y 1 x 0 y 0 解 显然 由以上曲面所围的空间形体在x0y坐标上的投影是由x y 1及x y轴所围成的三角形 如图11 16 因而 图11 16 所求体积 5 杂例 例9 计算下列积分 解 三 对称性算法 利用对称性计算二重积分 同理可得 对称性算法举例 例10 对称性算法举例 例11 思考 11 3二重积分的证题技巧 一有关等式的证明 1 概念型命题的证明 凡欲证结论 f x y 0的命题 多数用反证法 例13 设f x y 是平面域D上的连续函数 且在D的任何一个子域 上 恒有 则在D内 证 用反证法设有一点 不妨设 由f x y 的连续性 可知 一个的领域 使得在其中f x y 0 于是 由积分中值定理 必 积 又因 与假设矛盾 即知在D内有f x y 2 累次积分型的命题的证明 证题思路 证题过程中 常用到重积分对积分域的可加性 对积分变量的无关性 例14 设f x 在 0 a a 0 上连续 试证 证 图11 22 4 二重积分的变量替换 设被积函数f x y 在区域D上连续 若变换x x u v y y u v 满足如下条件 1 将uov平面上的区域D 上的点一对一地变为D上的点 2 x u v y u v 在D 上有连续的一偏导数 且雅可比行列式 注 1 作什么变换主要取决于积分域D的形状 有时也兼顾被积函数f x y 的形式 基本想法是定限简便 求积容易 2 J的性质 例15 计算 其中D是由曲线 在第1象限中所围成的区域 解 是一个四次方程 要解出x 或y 相当难 因此不宜在直角坐标系中计算 为此 令 则曲线方程变为 又因所研究的是曲线在第一象限中围成的区域 于是 因而 则有 例16 计算 所围区域 图11 18 图11 19 解 令 则域D变为D 其中 习题课 重积分 三重 本习题课重点 复习并掌握在不同坐标系下化三重积分为三次积分的定限方法 问题1 1 直角坐标 先z次y后x 先y次x后z 先x次y后z 先x次z后y 2 柱面坐标 先z次r后 3 球面坐标 先 次 后 请自作草图 问题2 1 直角坐标 先z次y后x 先y次x后z 先x次y后z 先x次z后y 2 柱面坐标 先z次r后 3 球面坐标 先 次 后 问题3 1 用柱面坐标时 f与 应满足 2 用球面坐标时 f与 应满足 练习题1 练习题2 问题1 问题3 问题2 问题4 问题5 问题6 双曲抛物面 鞍面 见右图 先z次y后x 略 练习题3 问题1 问题3 问题2 问题4 1 柱坐标 2 直角坐标的先二后一 1 柱坐标 2 直角坐标的先二后一 略 略 练习题4 问题1 问题3 问题2 问题4 用柱坐标和先2后1 问 I 显然 先2后1较难 练习题5 问题1 问题3 问题2 问题4 球坐标 略 练习题6 问题1 问题4 问题3 问题5 问题2 略 球