2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《两角和与差的正弦余弦正切公式一》 （含答案解析）.doc

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)学习目标1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.知识点一两角和的余弦公式思考如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？答案为：用- 代换cos(- )=cos cos sin sin 中的便可得到.梳理公式cos()=cos cos - sin sin 简记符号C()使用条件，都是任意角记忆口决：“余余正正，符号相反”.知识点二两角和与差的正弦公式思考1如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案为：sin()=cos=cos=coscos sinsin =sin cos cos sin .思考2怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？答案为： 用- 代换，即可得sin(- )=sin cos - cos sin .梳理内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S()S(- )公式形式sin()=sin cos cos sin sin (- )=sin cos - cos sin 记忆口诀：“正余余正，符号相同”.类型一给角求值例1(1)化简求值：sin(x27)cos(18- x)- sin(63- x)sin(x- 18).(2)= .反思与感悟(1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式.(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解.跟踪训练1计算：(1)sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)sin(54- x)cos(36x)cos(54- x)sin(36x).类型二给值求值例2.已知sin=，cos=，且0，求cos().反思与感悟(1)给值(式)求值的策略当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.跟踪训练2已知，cos(- )=，sin()=- ，求cos 2与cos 2的值.类型三辅助角公式命题角度1用辅助角公式化简例3.将下列各式写成Asin(x)的形式：(1)sin x- cos x；(2)sin(- x)cos(- x).反思与感悟一般地对于asin bcos 形式的代数式，可以提取，化为Asin(x)的形式，公式asin bcos =sin()(或asin bcos =cos(- )称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值.跟踪训练3sin - cos = .命题角度2求函数值域(最值)例4.已知函数f(x)=2sin- 2cos x，x，求函数f(x)的值域.反思与感悟(1)用辅助角公式化成一角一函数，即asin xbcos x=sin(x)的形式.(2)根据三角函数的单调性求其值域.跟踪训练4(1)当函数y=sin x- cos x(0x2)取得最大值时，x= ；(2)函数f(x)=sin x- cos的值域为 .1.计算cos sin 的值是()A. B.2 C.2 D.2.在ABC中，已知cos A=，sin B=，则cos C等于()A.- B. C.- 或 D.或3.sin 20cos 10- cos 160sin 10等于()A.- B. C.- D.4.已知锐角、满足sin =，cos =，则= .5.化简：sincos- cossin.1.公式的推导和记忆(1)理顺公式间的逻辑关系C(- )C()S()S(- ).(2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C(- )，C()可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S(- )，S()可记为“异名相乘，符号同”.(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C(- )，C()，S(- )，且公式sin(- )=sin cos - cos sin ，角，的“地位”不同也要特别注意.2.应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式.(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式.(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1=sin2cos2，1=sin 90，=cos 60，=sin 60等，再如：0，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.课时作业一、选择题1.已知，sin=，则sin 等于()A. B. C.- 或 D.- 2.sin 10cos 20sin 80sin 20等于()A.- B.- C. D.3.在ABC中，A=，cos B=，则sin C等于()A. B.- C. D.- 4.已知0，又sin =，cos()=- ，则sin 等于()A.0 B.0或 C. D.0或- 5.在ABC中，若sin A=2sin Bcos C，则ABC是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形6.已知cossin =，则sin的值为()A.- B. C.- D.二、填空题7.sin 15sin 75的值是 .8.已知cos()=sin(- )，则tan = .9.= .10.已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos ，sin )，若=- 1，则sin()= .三、解答题11.已知sin =，sin(- )=- ，均为锐角，求的值.12.已知sin(- )cos - cos(- )sin =，是第三象限角，求sin的值.13.已知cos =，sin(- )=，且，(0，).求：(1)cos(2- )的值；(2)的值.四、探究与拓展14.定义运算=ad- bc.若cos =，=，0，则= .15.已知函数f(x)=Asin，xR，且f=.(1)求A的值；(2)若f()- f(- )=，求f(- ).答案解析例1解：(1)原式=sin(x27)cos(18- x)- cos(x27)sin(x- 18)=sin(x27)cos(18- x)cos(x27)sin(18- x)=sin(x27)(18- x)=sin 45=.(2)答案为：；解析：原式=sin 30=.跟踪训练1解：(1)原式=sin 14cos 16sin(90- 14)cos(90- 16)=sin 14cos 16cos 14sin 16=sin(1416)=sin 30=.(2)原式=sin(54- x)(36x)=sin 90=1.例2.解：0，- - 0.又sin=，cos=，cos=- ，sin=- .cos()=sin=sin=sincos- cossin=- =- .跟踪训练2解：，0- ，.sin(- )= =，cos()=- =- =- .cos 2=cos(- )()=cos()cos(- )- sin()sin(- )=- - =- ，cos 2=cos()- (- )=cos()cos(- )sin()sin(- )=- =- .例3.解：(1)sin x- cos x=2(sin x- cos x)=2(cos sin x- sin cos x)=2sin(x- ).(2)原式=sin(- x)cos(- x)=sin sin(- x)cos cos(- x)=cos(- x- )=cos(- x)=sin(x).跟踪训练3答案为：- ；解析：原式=2.方法一原式=2=2=2sin=2sin=- .方法二原式=2=- 2=- 2cos=- 2cos =- .例4.解：f(x)=2sin- 2cos x=sin x- cos x=2sin，因为x，所以x- .所以sin1.所以函数f(x)的值域为1，2.跟踪训练4答案为：(1)(2)- ，解析：(1)y=2sin(x- )，0x2，- x- ，当x- =，即x=时，ymax=2.(2)f(x)=sin x- cos xsin x=sin x- cos x=sin(x- )，f(x)- ，.1.答案为：B；解析：cos sin =2(cos sin )=2=2sin=2sin =2.2.答案为：B；解析：cos A=cos 60，60A90，sin B=120，AB180，矛盾，B为锐角，且A为锐角，sin A=，cos B=.cos C=cos- (AB)=- cos(AB)，cos C=- cos(AB)=- (cos Acos B- sin Asin B)=- =.3.答案为：D；解析：sin 20cos 10- cos 160sin 10=sin 20cos 10cos 20sin 10=sin 30=.4.答案为：解析：，为锐角，sin =，cos =，cos =，sin =.cos()=cos cos - sin sin =- =- .又0，=.5.解：原式=sincos- sincos=sin=sin=sin cos - cos sin =- =.1.答案为：B；解析：由，得，所以cos=- =- =- .所以sin =sin =sincos - cossin =，故选B.2.答案为：C；解析sin 10cos 20sin 80sin 20=sin 10cos 20cos 10sin 20=sin(1020)=sin 30=，故选C.3.答案为：A解析sin C=sin- (AB)=sin(AB)=sin Acos Bcos Asin B=(cos B)=.4.答案为：C；解析0，sin =，cos()=- ，cos =，sin()=或- .sin =sin()- =sin()cos - cos()sin =或0.，sin =.5.答案为：D；解析A=180- (BC)，sin A=sin(BC)=2sin Bcos C.又sin(BC)=sin Bcos Ccos Bsin C，sin Bcos C- cos Bsin C=sin(B- C)=0，则B=C，故ABC为等腰三角形.6.答案为：C；解析：cossin =，cos cos sin sin sin =，cos sin =，即cos sin =，sin=.sin=- sin=- .7.答案为：；解析：sin 15sin 75=sin(45- 30)sin(4530)=2sin 45cos 30=.8.答案为：1；9.= .答案为：1；解析原式=tan 45=1.10.答案为：；解析：=(cos - 3，sin )，=(cos ，sin - 3)，=(cos - 3)cos sin (sin - 3)=cos2- 3cos sin2- 3sin =1- 3(sin cos )=1- 3(sin cos )=1- 3sin()=- 1，sin()=.11.解：为锐角，sin =，cos =.- - 0，所以0- .所以sin =，cos(- )=，cos(2- )=cos(- )=cos cos(- )- sin sin(- )=- =.(2)cos =cos- (- )=cos cos(- )sin sin(