高等代数 北大三版 第一章课件

高等代数北大三版第一章课件 1 第一章多项式 学时 28学时教学方法和手段由于多项式与整数在许多方面有相似之处 因此在建立多项式分解理论时要注意与整数理论作对比 基本内容和教学目的本章主要讨论一元多项式的概念和运算 建立多项式因式分解理论 并讨论与之有密切关系的求根问题 这是中学有关知识的加深和扩充 本章的重点和难点重点 一元多项式的因式分解理论 难点 最大公因式的概念 多项式的整除 互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别 高等代数北大三版第一章课件 2 1 1数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围 学习数学也是如此 比如 先学习自然数 然后整数 再正有理数 有理数 实数 复数 再比如讨论多项式的因式分解 方程的根的情况 都跟数的范围有关 例如 高等代数北大三版第一章课件 3 我们目前学习的解析几何 数学分析都是在实数范围内来讨论问题的 但在高等代数中 通常不做这样的限制 在代数中 我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算 即代数运算 是否还在这个集合之中 代数运算 设A是一个非空集合 定义在A上的一个代数运算是指存在一个法则 它使A中任意两个元素都有A中一个元素与之对应 即运算是否封闭 运算封闭 如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在这个集合中 则称该集合对这个运算封闭 例如两个整数的和 差 积仍是整数 但两个整数的商就不一定是整数 这证明整数集对加 减 乘三种运算封闭 但对除法并不封闭 而有理数集对加 减 乘 除 除数不为0 四种运算都封闭 同样 实数集 复数集对加 减 乘 除四种运算都封闭 高等代数北大三版第一章课件 4 根据数对运算的封闭情况 我们把数集分为两类 数环和数域 一 数环 设S是由一些复数组成的一个非空集合 则称S是一个数环 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数集 C都是数环 例如 1 除了Z Q R C外是否还有其他数环 问题 2 有没有最小的数环 例1 设a是一个确定的整数 令 定义1 高等代数北大三版第一章课件 5 则S是一个数环 特别 当a 2时 S是全体偶数组成的数环 问题 3 一个数环是否一定包含0元 例2 证明 是一个数环 问题 高等代数北大三版第一章课件 6 定理1 1 1 设S是一个非空数集 S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中 二 数域 定义2 设F是一个含有不等零的数的数集 如果F 则称F是一个数域 有理数集Q 实数集R 复数集C都是数域 例如 则称F是一个数域 中任两个数的和 差 积 商 除数不为0 仍在F中 且是三个最重要的数域 高等代数北大三版第一章课件 7 问题 7 除了Q R C外 是否还有其他的数域 例3 证明 是一个数域 证明要点 高等代数北大三版第一章课件 8 8 一个数域必包含哪两个元素 问题 9 最小的数域是什么 定理1 1 2 任何数域都包含有理数域Q 证明 设F是一个数域 则 于是 对 故 10 在判断一个数集是不是数域时 实际上 问题 高等代数北大三版第一章课件 9 要检验几种运算 设F是一个含有非零数的数集 则F 定理1 1 3 问题 例 对任意素数P 是一个数域 在R与C之间不可能有别的数域 设有数域F 使 故 设x a bi 且 数不为零 仍属于F 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商 除 高等代数北大三版第一章课件 10 可见F C 问题 两个数域的并 不一定是数域 能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之 高等代数北大三版第一章课件 11 1 2一元多项式的定义和运算 高等代数北大三版第一章课件 12 一 多项式的概念 中学多项式的定义 n个单项式 不含加法或减法运算的整式 的代数和叫多项式 例 4a 3b 在多项式中 每个单项式叫做多项式的项 这是形式表达式 后来又把多项式定义为R上的函数 但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中 并没有交代 高等代数北大三版第一章课件 13 问题 1 高等代数中采用什么观点定义多项式 定义1 设x是一个文字 或符号 n是一个非负整数 其中 称为数域F上的一元多项式 常数项或零次项 首项首项系数 称为i次项系数 高等代数北大三版第一章课件 14 高等代数中采用形式观点定义多项式 它在两方面推广了中学的多项式定义 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号 系数可以是任意数域 例1 2 1 是Q上多项式 是R上多项式 是C上多项式 都不是多项式 高等代数北大三版第一章课件 15 定义2 是两个多项式 除系数为0的项之外 同次项的系数都相等 多项式的表法唯一 定义3 设 最高次项 亦称为首项 高等代数北大三版第一章课件 16 例1 2 2 零次多项式 次数为0的多项式即非零常数 零多项式 系数全为0的多项式 对零多项式不 个多项式不是零多项式 首一多项式 首项系数为1的多项式 二 多项式的运算 定义4 设 是数域F上次数分别 定义次数 因此 在谈论多项式的次数时 意味着这 高等代数北大三版第一章课件 17 当m n时 取 高等代数北大三版第一章课件 18 例1 2 3 设 其中 相乘积的和作为 的系数 得 把中两个系数下标之和为k的对应项 高等代数北大三版第一章课件 19 多项式的运算 加 减 乘 满足以下运算规律 加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法对加法的分配律 高等代数北大三版第一章课件 20 下面证明多项式乘法满足结合律 证 设 现证 这只要比较两边同次项 比如t次项系数 相等即可 高等代数北大三版第一章课件 21 左 右两边同次项的系数相等 乘法满足结合律 三 多项式的次数定理 定理2 1 1 设 高等代数北大三版第一章课件 22 证 设 多项式乘法没有零因子 高等代数北大三版第一章课件 23 推论1 若 证 若f 0或g 0 则必有fg 0 反之 若 矛盾 乘法消去律成立 则 证 高等代数北大三版第一章课件 24 定义5 对多项式的加 减 乘法是否封闭 上的多项式环 对多项式的加 减 乘法封闭 故称为数域F 高等代数北大三版第一章课件 25 1 3整除性理论 高等代数北大三版第一章课件 26 一 多项式整除的概念 多项式的整除性 设 记为 整除的基本性质 性质1 若 高等代数北大三版第一章课件 27 则 传递性 证 使 性质2 若 则 证 高等代数北大三版第一章课件 28 性质3 若 对 证 性质4 若 则对 有 性质5 若 则 高等代数北大三版第一章课件 29 证 为常数 性质6 且 则 性质7 带余除法定理 定理1 3 1 则存在 使得 高等代数北大三版第一章课件 30 商式 余式 证 先证存在性 2 设 当n m时 显然取 现考虑次数为n的情况 即知结论成立 高等代数北大三版第一章课件 31 的次数小于n或为0 于是 取 就有 结论成立 高等代数北大三版第一章课件 32 再证唯一性 若有 则 若 则 故 从而 高等代数北大三版第一章课件 33 推论1 证 充分性 则有 必要性 例1 3 1设 高等代数北大三版第一章课件 34 例1 3 2 证 充分性显然 下证必要性 设 于是 由于 故 多项式的根及因式分解会因数域的扩大而改变 那么 问题 多项式的整除性不因数域的扩大而改变 高等代数北大三版第一章课件 35 结论 证 高等代数北大三版第一章课件 36 这一等式仍然成立 高等代数北大三版第一章课件 37 1 4多项式的最大公因式 高等代数北大三版第一章课件 38 一 两个多项式的最大公因式 定义1 若 的一个公因式 定义2 高等代数北大三版第一章课件 39 问题 1 如何求两个多项式的最大公因式 2 最大公因式是否唯一 引理 若 与 公因式和最大公因式 证 高等代数北大三版第一章课件 40 反之同样成立 高等代数北大三版第一章课件 41 进行如下的辗转相除 1 4 1 当进行到某一步时 余式为0 高等代数北大三版第一章课件 42 于是得 定理1 4 1 后得一系列等式 1 4 1 则 的最大公因式为 定理1 4 2 中任意两个多项式 由于余式的次数不断降低 而 高等代数北大三版第一章课件 43 证明 1 若 显然有 任意 3 若 使 则由定理1 4 1知 经辗转相除后可求出它们的最 高等代数北大三版第一章课件 44 则有 即两个最大公因式之间仅差一个零次因子 高等代数北大三版第一章课件 45 例1 4 1 设 使 解 利用辗转相除法 二 两个多项式互素 若 定义3 定理1 4 5 的充要条件是存在 使 高等代数北大三版第一章课件 46 多项式互素的性质 性质1 若 则 证 性质2 则 证 高等代数北大三版第一章课件 47 性质3 则 证 代入上式即知 三 多个多项式的情况 定义4 设 的公因式 高等代数北大三版第一章课件 48 则 性质1 使 性质3 若 高等代数北大三版第一章课件 49 例1 4 2设 互素 但 性质5 注意 高等代数北大三版第一章课件 50 1 5多项式的分解 高等代数北大三版第一章课件 51 在中学代数里我们学过因式分解 就是把一个多项式逐次分解成一些次数较低的多项式乘积 在分解过程中 有时感到不能再分解了也就认为它不能再分了 但是当时没有理论根据 到底能不能再分下去 这里我们将系统地讨论多项式的分解问题 这样的因式称为平凡因式 我们感兴趣的是 除了平凡因式外 还有没有其他的因式 高等代数北大三版第一章课件 52 定义1 5 1 等价定义 在数域F上可约 高等代数北大三版第一章课件 53 由定义可得 零多项式于零次多项式不讨论它们的可约性 性质 性质1 性质2 高等代数北大三版第一章课件 54 则 证 设 证 高等代数北大三版第一章课件 55 由性质2 推论 二 因式分解 问题 是否可分解为 不可约多项式的乘积 定理1 5 1 高等代数北大三版第一章课件 56 证 归纳法 n 1时 命题显然成立 假设命题对一切小于n的多项式成立 则当 时 多项式的乘积 问题 高等代数北大三版第一章课件 57 则 定理1 5 2 中任一个次数大于零的多项式 分解成不可约多项式的乘积 成不可约因式的乘积分解式是唯一的 此即若有两 个分解式 高等代数北大三版第一章课件 58 则有 r s 证 对分解式中的因式个数用数学归纳法证明 当r 1时 结论显然成立 高等代数北大三版第一章课件 59 由归纳假设知 这时有r 1 s 1 故r s 且 三 标准 典型 分解式 故 高等代数北大三版第一章课件 60 首项系数提出来 使之成为首一不可约多项式 首项系数 每个多项式的标准分解式是唯一的 利用多项式的标准分解式可以判断一个多项 式是否整除另一个多项式 高等代数北大三版第一章课件 61 利用多项式的标准分解式可以直接写出 例如 则 高等代数北大三版第一章课件 62 解 即有 高等代数北大三版第一章课件 63 例1 5 2 求 在 上的标准分解式 解 在Q上 在R上 在C上 例1 5 3 在R上分解 解 高等代数北大三版第一章课件 64 1 5重因式 高等代数北大三版第一章课件 65 定义1 不可约多项式 称为 的k重因式 如果 而 重 高等代数北大三版第一章课件 66 要求 的重因式 只要把 式写出即可 但我们还没有一般的方法把一个多项 的标准分解 式分解为不可约因式的乘积 因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法 为此目的要引入多项式导数的概念 定义2 的一阶导数指的是多项式 形式定义 多项式 高等代数北大三版第一章课件 67 的k阶导数记为 多项式的求导法则 1 2 3 4 高等代数北大三版第一章课件 68 定理1 6 1 若不可约多项式 是 的k重因式 k 1 则 是 式 特别多项式 的单因式不是 式 证 的k 1重因 的因 高等代数北大三版第一章课件 69 推论1 证 高等代数北大三版第一章课件 70 推论2 证 必要性由推论1立得 推论3 高等代数北大三版第一章课件 71 推论3表明 判别一个多项式有没有重因式 可以利用辗转相除法得到 在讨论与解方程有关的问题时 常常要求所讨论多项式有没有重因式 由定理1得 故 高等代数北大三版第一章课件 72 于是 高等代数北大三版第一章课件 73 高等代数北大三版第一章课件 74 例1 6 3 用分离因式法 单因式化法 求多项式 在Q上的标准分解式 高等代数北大三版第一章课件 75 解 利用辗转相除法求得 由于 高等代数北大三版第一章课件 76 问题 高等代数北大三版第一章课件 77 1 7多项式函数与多项式的根 高等代数北大三版第一章课件 78 一 多项式函数 F中的根或零点 作映射f 为F上的多项式函数 高等代数北大三版第一章课件 79 若 则 二 余式定理和综合除法 证 由带余除法 设 则 高等代数北大三版第一章课件 80 问题1 有没有确定带余除法 设 中展开后比较方程两边的系数得 高等代数北大三版第一章课件 81 高等代数北大三版第一章课件 82 于是得 的商式和余式 解 由综合除法 因此 高等代数北大三版第一章课件 83 1 多项式系数按降幂排列 有缺项必须补上零 的方幂和 高等代数北大三版第一章课件 84 定理1 7 2 因式定理 证明 设 以利用综合除法来判断其余数是否为零 高等代数北大三版第一章课件 85 三 多项式的根 的一个k重根 有重根 有重因式 但反之不对 高等代数北大三版第一章课件 86 定理1 7 3 根的个数定理 证明 用归纳法 高等代数北大三版第一章课件 87 证二 对零次多项式结论显然成立 数等于分解式中一次因式的个数 这个数目当然不 定理1 7 4 的值相等 则 证明 令 高等代数北大三版第一章课件 88 问题3 是F中任意n个数 能否确定一个n 1次多项 高等代数北大三版第一章课件 89 作函数 则 这个公式也称为Lagrange插值公式 例1 7 3 求一个次数小于3的多项式 使 解一 待定系数法 设所求的多项式 高等代数北大三版第一章课件 90 由已知条件得线性方程组 解之得 解二 利用Lagrange公式 高等代数北大三版第一章课件 91 利用Lagrange插值公式可得 问题4 用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致 高等代数北大三版第一章课件 92 四 多项式相等与多项式函数相等的关系 多项式相等 即 对应项的系数相同 多项式函数相等 即 定理1 7 5 相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等 证明 相同 于是对 高等代数北大三版第一章课件 93 故这两个多项式函数相等 令 此即 高等代数北大三版第一章课件 94 1 8复数域和实数域上的多项式 高等代数北大三版第一章课件 95 一 C上多项式 那么它在C上是否有根 每一个次数大于零的多项式在复数域上至多有一个根 定理1 8 1 代数基本定理 任何n n 0 次多项式在C上有n个根 重根按重数计算 定理1 8 2 当n 1时结论显然成立 证 高等代数北大三版第一章课件 96 假设结论对n 1次多项式成立 则当 推论1 复数域上任一个次数大于1的多项式都是可约的 即C上不可约多项式只能是一次多项式 推论2 高等代数北大三版第一章课件 97 上都能分解成一次因式的乘积 即 的标准分解式是 韦达定理 高等代数北大三版第一章课件 98 C上多项式的根与系数关系 是一个n n 0 次多项式 则它在C中有n个根 记 2 比较 1 与 2 的展开式中同次项的系数 高等代数北大三版第一章课件 99 得根与系数的关系为 如果 根与系数的关系又如何 高等代数北大三版第一章课件 100 高等代数北大三版第一章课件 101 例1 8 1 它以1和4为单根 2为2重根 求一个首项系数为1的4次多项式 使 解 设 则 高等代数北大三版第一章课件 102 二 实数域上的多项式 定理1 8 3 证 设 故有 则有 高等代数北大三版第一章课件 103 因此多项式 高等代数北大三版第一章课件 104 唯一地分解为实系数一次和二次不可约多项式的 乘积 假设对结论次数 n的多项式结论成立 现考虑 高等代数北大三版第一章课件 105 是一个二次实系数不可约多项式 且 不可约多项式的乘积 故结论成立 推论3 高等代数北大三版第一章课件 106 推论4 n n 0 次实系数多项式 具有标准分解式 不可约 即满足 在R上 高等代数北大三版第一章课件 107 例1 8 2 的非零根 解 高等代数北大三版第一章课件 108 高等代数北大三版第一章课件 109 所求多项式是 或 高等代数北大三版第一章课件 110 1 8有理系数多项式 高等代数北大三版第一章课件 111 一 整系数多项式的可约性 定义1 本原多项式 例如 本原多项式的加 减运算所得的未必是本原多项式 但相乘之后必是本原多项式 是本原多项式 高等代数北大三版第一章课件 112 引理 高斯定理 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式 证 设 都是本原多项式 高等代数北大三版第一章课件 113 现考虑 定理1 9 1 高等代数北大三版第一章课件 114 证 充分性显然 下证必要性 高等代数北大三版第一章课件 115 于是 故p 1 从而rs是一个整数 高等代数北大三版第一章课件 116 C上不可约多项式只能是一次 R上不可约多项式只能是一次和含非实共轭复根的二次多项式 Q上不可约多项式的特征是什么 下面的Eisenstein的判别法回答了这个问题 问题 定理1 9 2 Eisenstein判别法 若存在素数p 使 高等代数北大三版第一章课件 117 证 反证法 若 在Q上可约 在Z上可约 即存在 使 其中 但两者不能同时成立 高等代数北大三版第一章课件 118 即 现考虑 但p能整除其它项 故 高等代数北大三版第一章课件 119 由Eisenstein判别法知 Q上存在任意次不可约多项式 例1 9 1 是Q上不可约多项式 p是素数 在Q上是否可约 解 分别取p 2 p 3即知 解 取素数p即知 高等代数北大三版第一章课件 120 Eisenstein是判别多项式在Q上不可约的充分条件 但不是必要条件 注意 例 不可约 但找不到素数p 也是本原的 高等代数北大三版第一章课件 121 二 整系数多项式的有理根 定理1 9 3 设 则 证 有一次因式 高等代数北大三版第一章课件 122 即 2 设 是整数 高等代数北大三版第一章课件 123 的有理根只能是 高等代数北大三版第一章课件 124 定理1 9 4 证 由 高等代数北大三版第一章课件 125 1 10多元多项式 高等代数北大三版第一章课件 126 前面介绍了一元多项式的基本性质 但是除了一元多项式外 还有含多个文字的多项式 即多元多项式 如 下面简单介绍有关多元多项式的一些概念 如果两个单项式中相同文字的幂全一样 那么它们就称为同类项 一些单项式的和 高等代数北大三版第一章课件 127 就称为n元多项式 简称多项式 和一元多项式一样 n元多项式也可以定义相等 相加 相减 相乘 相等 如果F上两个n元多项式有完全相同的项 或者只差一些系数为零的项 则称这两个多项式是相等的 相加 高等代数北大三版第一章课件 128 例如 设 则f与g的和是 相减 设 把g的系数都换成各自的相反数 所得多项式叫做g的负多项式 记为 高等代数北大三版第一章课件 129 相乘 例如 则 高等代数北大三版第一章课件 130 这样定义的多项式的加法和乘法与中学代数里多项式的运算一致 n元多项式的运算满足以下运算律 设 则 加法结合律 加法交换律 乘法结合律 乘法交换律 乘法分配律 高等代数北大三版第一章课件 131 的多项式环 记作 同一元多项式一样 也可以谈论n元多项式的次数 设 对f来说其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式f的次数 记为 设f g是F上两个不等于零的n元多项式 则f与g的和与积的次数与f g的次数有如下关系 1 2 高等代数北大三版第一章课件 132 结论1是显然的 但要证明结论2 还得先考虑多元多项式的排列顺序 在一元多项式中 我们看到多项式的升幂 或降幂 排列对许多问题的讨论是方便的 为此 对多元多项式也引入一种排列顺序的方法 这种方法是模仿字典排列的原则得出的 因而称为字典排列法 每一类单项式 1 都对应一个n元数组 为了给单项式之间一个排列顺序的方法 我们只要对n元数但定义一个先后顺序就可以了 高等代数北大三版第一章课件 133 考虑 而 记为 例如 对多项式 按字典排列法写出来就是 高等代数北大三版第一章课件 134 应该注意的是 把一个多项式按字典排列法书写后 次数较高的项并不一定排在次数较低的项的前面 例如上面的首项次数为4 第二项的次数为6 而 关于多项式的首项有以下定理 这个定理在下一节讨论对称多项式时将要用到 定理1 10 1 高等代数北大三版第一章课件 135 证明 的首项为 为了证明它们的积 为fg的首项 只要证明数组 先于乘积中其他单项式所对应的有序数组就行了 高等代数北大三版第一章课件 136 其中 于是 高等代数北大三版第一章课件 137 推论1 10 1 推论1 10 2 现在回到两个n元多项式的乘积的次数上来 则称f是一个k次齐次多项式 简称k次齐次 例如 就是一个4次齐次多项式 高等代数北大三版第一章课件 138 两个齐次多项式的乘积仍是齐次多项式 它的次数就等于这两个多项式的次数之和 任何一个m次多项式 都可以唯一地表成几组齐次多项式的和 即 是i次齐次多项式 若 就是f的一个i次齐次成分 数域F上两个不等于零的n元多项式的 乘积的次数等于这两个多项式次数的和 定理1 10 2 高等代数北大三版第一章课件 139 证明 它们的次数分别为m和s 把f与g分别写成齐次多项式的和 于是 高等代数北大三版第一章课件 140 由推论1 10 2 且是一个m s次齐式 其余各项 或者等于零 或者是一个次数低于m s的齐式 因此 同一元多项式一样 F上n元多项式与多项式函数是相同的 就得到数域F中一个确定的数 称为 高等代数北大三版第一章课件 141 如果 由此一个n元多项式就确定一个n元多项式函数 对 作映射 的值 高等代数北大三版第一章课件 142 设 如果 则对 都有 这说明相等的多项式确定相同的多项式函数 下面证明其反面也成立 定理1 10 3 设 如果对任意 高等代数北大三版第一章课件 143 证明思路 这里 任意取定 代入得 高等代数北大三版第一章课件 144 已知对 有 取 则有 由于定理对一元多项式成立 故有 有 由归纳假设 故 从而 高等代数北大三版第一章课件 145 1 11对称多项式 高等代数北大三版第一章课件 146 对称多项式是多元多项式中常见的一种 也是一类比较重要的多