河南省百校联盟2016届高三(上)质检数学试卷(理科)(a卷)(解析版).docVIP

2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）质检数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）ABCD2已知集合A=y|y=log2x，0x1，B=y|y=（）x，x1，则（RA）B=（）A（0，）B（0，1）C（，1）D3（1+tan12）（1tan147）=（）A1B2C3D44已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD=60，BAD=90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（）ABCD5已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=20，则6a4+3a5=（）A20B4C12D206在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A，B，C，D，7设Sn为等比数列an的前n项和，记命题甲：4a2a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A1000B200CD9在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则=（）ABCD10已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A1B2C3D411如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2a10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A1BCD212已知定义域为R的函数g（x），当x（1，1时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对xR恒成立，若函数f（x）=g（x）m（x+1）在区间1，5内有6个零点，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，（，+）C，）D，二、填空题：本大题共4小题每小题5分13函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为14已知点（sin，an+）在直线l：y=x+2上，则数列an的前30项的和为15在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，ABC的面积为S=c，则ab的最小值为16定义函数：G（x）=，下列结论正确的G（a）G（b）=G（a+b）；G（a）+G（b）2G（）；G（a+b）1+a+b；G（ab）=G（a）G（b）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2015秋河南月考）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， =（）求角B；（）求sinAcosC的取值范围18（12分）（2015秋河南校级月考）已知Sn是数列an的前n项和，S2=2，且2Sn+nS1=nan（）求数列an的通项公式；（）设bn=+2，求数列bn的前n项和Tn19（12分）（2015秋沧州月考）设函数h（x）=x2mx，g（x）=lnx（）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016）=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，求实数m的取值范围20（12分）（2015秋沧州月考）如图，在ABC中，AOBC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将ABO沿OA折起，使二面角BOAC为直二面角（）在底面BOC的边BC上是否存在一点P，使得OPGH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（）求二面角AGHD的余弦值21（12分）（2015秋河南月考）已知f（x）是定义在（0，+）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0，f（3）=1（）集合A=x|f（x）f（x1）+2，B=x|f（）0，且满足AB=，求正实数a的取值范围；（）设ab，比较f（）与f（）的大小，并说明理由22（12分）（2015秋河南校级月考）设函数f（x）=ax（1）若a=0，求f（x）的单调增区间；（2）当b=1时，若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a成立，求实数a的最小值（其中e为自然对数的底数）2015-2016学年河南省百校联盟高三（上）质检数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）ABCD【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；对应思想；定义法；数系的扩充和复数【分析】先对复数进行化简运算，由共轭复数的定义可得答案【解答】解： =，复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算及复数的基本概念，属基础题2已知集合A=y|y=log2x，0x1，B=y|y=（）x，x1，则（RA）B=（）A（0，）B（0，1）C（，1）D【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A补集与B的交集即可【解答】解：由A中y=log2x，0x1，得到y0，即A=（，0），RA=0，+），由B中y=（）x，x1，得到0y，即B=（0，），则（RA）B=（0，），故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3（1+tan12）（1tan147）=（）A1B2C3D4【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题；函数思想；转化思想；三角函数的求值【分析】化简表达式，利用两角和的正切函数求解即可【解答】解：（1+tan12）（1tan147）=（1+tan12）（1+tan33）=1+tan12+tan33+tan12tan33=1+tan45（1tan12tan33）+tan12tan33=2故选：B【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，考查计算能力4已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD=60，BAD=90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间角【分析】延长AD，过D1作D1EAD于E，连结BE，说明D1BE为直线BD1与平面ABCD所成的角，然后求解即可【解答】解：延长AD，过D1作D1EAD于E，连结BE，因为平面A1ADD1平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCD=AD，所以D1E平面ABCD，即BE为BE在平面ABCD内的射影，所以D1BE为直线BD1与平面ABCD所成的角，因为D1E=2sin60=，BE=，所以，tanD1BE=故选：C【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查计算能力，空间想象能力5已知等差数列an的前n项和为Sn，S5=20，则6a4+3a5=（）A20B4C12D20【考点】等差数列的前n项和【专题】计算题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】求出数列的第三项，然后化简所求的表达式，求解即可【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，S5=20，可得a3=4，6a4+3a5=6（a3+d）+3（a3+2d）=3a3=12故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查计算能力6在四边形ABCD中，M为BD上靠近D的三等分点，且满足=x+y，则实数x，y的值分别为（）A，B，C，D，【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】可画出图形，根据向量加法、减法，及数乘的几何意义便有，这样根据平面向量基本定理便可得出x，y的值，从而找出正确选项【解答】解：如图，=；又；故选：A【点评】考查向量加法、减法，以及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理7设Sn为等比数列an的前n项和，记命题甲：4a2a4=0，命题乙：S4=5S2，则命题甲成立是命题乙成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】方程思想；等差数列与等比数列；简易逻辑【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质和通项公式的计算进行判断即可【解答】解：若4a2a4=0，则4a2=a4，即，解得q=2，当q=1时，S4=5S2，不成立，即q1，则由S4=5S2，得=5，即1q4=5（1q2），即（1q2）（1+q2）=5（1q2），则（1q2）（q24）0，即q2=1或q2=4，即q=2或q=1（舍）或q=1，则命题甲成立是命题乙成立的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式是解决本题的关键8一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为（）A1000B200CD【考点】由三视图求面积、体积【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形，高为10的直三棱柱，且三棱柱外接球的半径是三棱柱对角线的一半，结合图形即可求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为直角三角形，且直角边长分别为6和8，高为10的直三棱柱，如图所示；所以该三棱柱外接球的球心为A1B的中点，因为A1B=10，所以外接球的半径为5，体积为=故选：D【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目9在平行四边形ABCD中，AC=5，BD=4，则=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】利用向量加法、减法的三角形法则把用向量表示，平方后作差得答案【解答】解： ，=，则=故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，训练了向量加法、减法的三角形法则，是中档题10已知实数x，y满足，的最大值为6，则实数a的值为（）A1B2C3D4【考点】简单线性规划【专题】数形结合；换元法；不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式函数的性质将条件进行化简，结合一元二次函数的性质建立方程关系进行求解即可【解答】解： =（）22（）+3=（1）2+2，设k=，则k的几何意义是区域内的点到原点的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（1，1），则点A（1，1）在直线x+ya内，即a1+1=2，由得即B（1，a1），AC对应直线为y=x，斜率k=1，则k=的最大值为k=a1，则1ka1，（a2），则当=a1时，取得最大值为6，即（a11）2+2=6，即（a2）2=4，解得a2=2或a2=2，即a=4或a=0（舍），故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分式函数的性质结合一元二次函数的单调性和最值的关系是解决本题的关键综合性较强11如图所示：一张正方形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a，b（2a10），剪去部分的面积为8，则+的最大值为（）A1BCD2【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】应用题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】由题意，2ab=8，b=，从而将问题转化为关于a的函数，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：由题意，2ab=8，b=，2a10，+=+=1+=，当且仅当a=，即a=6时， +的最大值为，故选：C【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，正确转化是关键12已知定义域为R的函数g（x），当x（1，1时，g（x）=，且g（x+2）=g（x）对xR恒成立，若函数f（x）=g（x）m（x+1）在区间1，5内有6个零点，则实数m的取值范围是（）A（，）B（，（，+）C，）D，【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】若函数f（x）=g（x）m（x+1）在区间1，5内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间1，5内有6个交点画出函数的图象，数形结合可得答案【解答】解：g（x+2）=g（x）对xR恒成立，函数g（x）的周期为2又当x（1，1时，g（x）=，函数g（x）的图象如下图所示：令函数f（x）=g（x）m（x+1）=0，则g（x）=m（x+1），若函数f（x）=g（x）m（x+1）在区间1，5内有6个零点，则y=g（x）与y=m（x+1）的图象在区间1，5内有6个交点y=m（x+1）恒过点（1，0），过（1，0），（4，2）点的直线斜率为，过（1，0），（2，2）点的直线斜率为，根据图象可得：x（，），故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，难度中档二、填空题：本大题共4小题每小题5分13函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为2xye=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案【解答】解：由f（x）=xlnx，得f（x）=lnx+1，则f（e）=lne+1=2，又f（e）=e，函数f（x）=xlnx在点（e，f（e）处的切线方程为ye=2（xe），即2xye=0故答案为：2xye=0【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题14已知点（sin，an+）在直线l：y=x+2上，则数列an的前30项的和为59【考点】数列与解析几何的综合【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；三角函数的求值【分析】把点（sin，an+）代入直线l，得an=2sin，由sin的取值是1，0，1，0的循环，能求出数列an的前30项和【解答】解：点（sin，an+）在直线l：y=x+2上，an=2sin，sin的最小正周期为4，取值是1，0，1，0的循环，数列an的前30项和：S30=302 7（1+01+0）+1+0=59故答案为：59【点评】本题考查数列的前30项和的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的周期性的合理运用15在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2ccosB=2a+b，ABC的面积为S=c，则ab的最小值为【考点】余弦定理；正弦定理【专题】综合题；解三角形【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=，C=根据ABC的面积为S=absinC=ab=c，求得c=3ab再由余弦定理化简可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，由此求得ab的最小值【解答】解：在ABC中，由条件用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，2sinBcosC+sinB=0，cosC=，C=由于ABC的面积为S=absinC=ab=c，c=3ab再由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，整理可得9a2b2=a2+b2+ab3ab，当且仅当a=b时，取等号，ab，故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题16定义函数：G（x）=，下列结论正确的G（a）G（b）=G（a+b）；G（a）+G（b）2G（）；G（a+b）1+a+b；G（ab）=G（a）G（b）【考点】分段函数的应用【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】画出函数G（x）=的图象，数形结合逐一分析四个结论的真假，可得答案【解答】解：G（x）=的图象如下图所示：当a0，b0时，G（a）G（b）=G（a+b）不成立，故错误；函数在y轴左侧的图象平等于x轴不具有凸凹性，函数在y轴右侧为凹函数，故G（a）+G（b）2G（）恒成立，故正确；由图可得：G（x）1+x恒成立，故G（a+b）1+a+b恒成立，故正确；当a，b2时，G（ab）=G（a）G（b）不成立，故错误；故正确的结论是：，故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，难度中档三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2015秋河南月考）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边， =（）求角B；（）求sinAcosC的取值范围【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形【分析】（）由正弦定理及已知可解得tanB=，结合范围B（0，），即可求得B的值（）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简可得sinAcosC=sin（2A+）+，结合范围0，利用正弦函数的图象和性质即可得解取值范围【解答】（本题满分为10分）解：（）由正弦定理可得， =sinB=cosB，可得tanB=，B（0，），B=4分（）sinAcosC=sinAcos（A+B）=sinAcos（A+），sinAcos（A+）=sinA（cosAsinA）=sin（2A+）+，0，2A+，sinAcosC，10分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，正弦函数的图象和性质及两角和的余弦函数公式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18（12分）（2015秋河南校级月考）已知Sn是数列an的前n项和，S2=2，且2Sn+nS1=nan（）求数列an的通项公式；（）设bn=+2，求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（）由S2=2，且2Sn+nS1=nan，得a1=0，a2=2， =，n2，由此利用累乘法能求出an=2n2（）由an=2n2，得Sn=n2n，从而得到bn=+2=2（），由此利用裂项法能求出数列bn的前n项和【解答】解：（）Sn是数列an的前n项和，S2=2，且2Sn+nS1=nan，2a1+a1=a1，解得a1=0，a2=2，2Sn1+（n1）S1=（n1）an1，n2，得：2an=nan（n1）an1，n2，=，n2，an=2n2，当n=1时，上式成立，an=2n2（）an=2n2，Sn=2（1+2+3+n）2n=22n=n2n，bn=+2=+2=2=2（），数列bn的前n项和：Tn=2（1+）=2（1+）=3【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用19（12分）（2015秋沧州月考）设函数h（x）=x2mx，g（x）=lnx（）设f（t）=m（sinx+cosx）dx且f（2016）=2，若函数h（x）与g（x）在x=x0处的切线平行，求这两切线间的距离；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；定积分【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（）运用定积分的运算法则和三角函数的特殊值，可得m=1，分别求出g（x），h（x）的导数，求得切线的斜率，切点，再由点斜式方程可得切线的方程，再由两直线平行间的距离，计算即可得到所求；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，即为x2mxlnx0，由x0，可得mx，设F（x）=x，求出导数，讨论x1，0x1导数的符号，判断单调性，可得最小值，即可得到m的范围【解答】解：（）f（t）=m（sinx+cosx）dx=m（sinxcosx）|=m（sintcost）（10）=m（sintcost1），f（2016）=2，可得m（11）=2，解得m=1，则h（x）=x2+x的导数为h（x）=2x+1，g（x）=lnx的导数为g（x）=，由题意可得2x0+1=，解得x0=（1舍去），即有h（x）在x=处的切线的方程为y=2（x），即为2xy=0；g（x）在x=处的切线的方程为yln=2（x），即为2xy1ln2=0则两切线间的距离为d=；（）任意x0，不等式h（x）g（x）恒成立，即为x2mxlnx0，由x0，可得mx，设F（x）=x，F（x）=1=，当x1时，F（x）0，F（x）递增；当0x1时，F（x）0，F（x）递减即有x=1处取得极小值，且为最小值1，则有m1，即m的取值范围是（，1【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数运用单调性求最值，考查运算能力，属于中档题20（12分）（2015秋沧州月考）如图，在ABC中，AOBC于O，OB=2OA=2OC=4，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，BD与AE相交于H，CD与AF相交于G，将ABO沿OA折起，使二面角BOAC为直二面角（）在底面BOC的边BC上是否存在一点P，使得OPGH，若存在，请计算BP的长度；若不存在，请说明理由；（）求二面角AGHD的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用【分析】（）根据条件便知H，G分别为AOB，AOC的重心，从而有GHEFBC，并可说明BOC为直角，过O作OPBC，从而有OPGH，而根据摄影定理便有，这样即可求出BP的长度；（）根据上面知OB，OC，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可以根据条件求出图形上一些点的坐标，从而可以得到向量的坐标，可设平面AGH的法向量为，而根据即可求出，同样的方法可以求出平面DGH的一个法向量，根据cos=即可得出二面角AGHD的余弦值【解答】解：（）H，G分别为AOB和AOC的重心；连接EF，则GHEF；由已知，EFBC，GHBC；OAOB，OAOC，二面角BOAC为直二面角；BOC为直角；在RtBOC中，过O作BC的垂线，垂足为P，OPBC，又BCGH；OPGH，则由摄影定理得：OB2=BPBC；（）分别以OB，OC，OA为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：O（0，0，0），A（0，0，2），D（0，0，1），B（4，0，0），C（0，2，0），H（），；，；设为平面AGH的法向量，则：；取x1=1，则y1=2，z1=1，；设为平面DGH的法向量，则：；取x2=1，则；由图可知二面角AGHD为锐角，该二面角的余弦值为【点评】考查三角形重心的概念及其性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，以及二面角的平面角的定义，直角三角形的摄影定理的内容，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角问题的方法，平面的法向量的概念及求法，能求空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，向量垂直的充要条件，以及向量夹角的余弦公式，清楚两平面所成二面角的大小和两平面的法向量夹角的关系21（12分）（2015秋河南月考）已知f（x）是定义在（0，+）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x1时，f（x）0，f（3）=1（）集合A=x|f（x）f（x1）+2，B=x|f（）0，且满足AB=，求正实数a的取值范围；（）设ab，比较f（）与f（）的大小，并说明理由【考点】抽象函数及其应用【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（）先证明函数的单调性，在分别求出集合A，B，根据AB=，求正实数a的取值范围；（）首先判断的正负情况，利用构造函数得出g（