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函数的奇偶性 y x2 x x 当x1 1 x2 1时 f 1 f 1 当x1 2 x2 2时 f 2 f 2 对任意x f x f x 偶函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫偶函数 奇函数定义 如果对于函数定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫奇函数 例1 判断下列函数的奇偶性 3 解 1 因为f x 2x f x 所以f x 是奇函数 因为f x x 2 x 2 f x 所以f x 是偶函数 因为 是偶函数 1 2 判断奇偶性 只需验证f x 与f x 之间的关系 5 6 4 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件 故f 2 不存在 所以就谈不上与f 2 相等了 由于任意性受破坏 所以它没有奇偶性 解 4 5 函数的定义域为 2 2 故f 2 不存在 同上可知函数没有奇偶性 6 故函数没有奇偶性 思考 在刚才的几个函数中有的是奇函数不是偶函数 有的是偶函数不是奇函数 也有既不是奇函数也不是偶函数的 那么有没有这样的函数 它既是奇函数又是偶函数呢 f x 0 是不是具备这样性质的函数解析式只能写成这样呢 例2 已知函数f x 既是奇函数又是偶函数 求证 f x 0 证明 因为f x 既是奇函数又是偶函数所以f x f x 且f x f x 所以f x f x 所以2f x 0即f x 0 这样的函数有多少个呢 函数按是否有奇偶性可分为四类 奇函数偶函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数 例3 判断下列函数的奇偶性 1 解 当b 0时 f x 为奇函数 当b0时 f x 既不是奇函数 也不是偶函数 2 解 当a 0时 f x 既是奇函数又是偶函数
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