4.1.1 圆的标准方程

第四章圆与方程 4 4 1圆的标准方程 4 1圆的方程 求曲线方程的步骤 选系取动点 找等量 列方程 化简 圆的定义 根据圆的定义怎样求出圆心是C a b 半径是r的圆的方程 平面内与定点距离等于定长的点的集合 轨迹 是圆 定点就是圆心 定长就是半径 x a 2 y b 2 r2 三个独立条件a b r确定一个圆的方程 1 口答 求圆的圆心及半径 1 x2 y2 4 2 x 1 2 y2 1 练习 1 x2 y2 9 2 x 3 2 y 4 2 5 练习 2 写出下列圆的方程 1 圆心在原点 半径为3 2 圆心在 3 4 半径为 3 圆心在 1 2 与y轴相切 练习 x 1 2 y 2 2 1 x 2 2 y 2 2 4或 x 2 2 y 2 2 4 练习 4 圆心在直线y x上 与两轴同时相切 半径为2 5 已知圆经过P 5 1 圆心在C 8 3 求圆方程 练习 x 8 2 y 3 2 13 练习 6 求以c 1 3 为圆心 并和直线3x 4y 6 0相切的圆的方程 解 设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 已知a 1 b 3因为半径r为圆心到切线3x 4y 6 0的距离 所以 3 1 4 3 6 15所以圆的方程为 r 3 x 1 2 y 3 2 9 5 7 已知两点A 4 9 B 6 3 求以AB为直径的圆的方程 提示 设圆方程为 x a 2 y b 2 r2 练习 例2 已知圆的方程是x2 y2 r2 求经过圆上一点M x0 y0 的切线方程 O 思考 1 圆的切线有哪些性质 2 求切线方程的关键是什么 3 切线的斜率一定存在吗 所求的切线方程是 因为点M在圆上 所以 经过点M的切线方程是 解 当M不在坐标上时 设切线的斜率为k 则k 当点M在坐标轴上时 可以验证 上面方程同样适用 整理得 4 除了课本解法 你还能想到哪些方法 例2已知圆的方程是 求经过圆上一点的切线的方程 P x y 由勾股定理 OM 2 MP 2 OP 2 分析 利用平面几何知识 按求曲线方程的一般步骤求解 如图 在Rt OMP中 x0 x y0y r2 P x y 例2 已知圆的方程是 求经过圆上一点的切线的方程 分析 利用平面向量知识 x0 x y0y r2 设P x y 是切线上不同于M的任意一点 则 当P与M重合时 P的坐标仍满足上面方程 经过圆上一点的切线的方程是 x0 x y0y r2 x2 y2 r2xx yy r2x0 x y0y r2 例3 图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度AB 20m 拱高OP 4m 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱A2P2的长度 精确到0 01 思考 1 是否要建立直角坐标系 怎样建立 2 圆心和半径能直接求出吗 3 怎样求出圆的方程 4 怎样求出支柱A2P2的长度 解 建立如图所示的坐标系 设圆心坐标是 0 b 圆的半径是r 则圆的方程是x2 y b 2 r2 答 支柱A2P2的长度约为3 86m 例3 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图 该圆拱跨度AB 20m 拱高OP 4m 在建造时每隔4m需用一个支柱支撑 求支柱A2P2的长度 精确到0 01m y x 思考 利用圆的几何性质 你能否用直线方程求出圆心坐标 进而写出圆的方程 C1 小结 1 牢记 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 2 明确 三个条件a b r确定一个圆 3 方法 待定系数法 数形结合法 用r表示圆的半径 d表示圆心到直线的距离 则 r 1 求圆心C在直线x 2y 4 0上 且过两定点A 1 1 B 1 1 的圆的方程 2 试推导过圆 x a 2 y b 2 r2上一点M x0 y0 的切线方程 4 自圆 x a 2 y b 2 r2外一点M x0 y0 向圆引切线 求切线的长 课外思考题 3 从圆x2 y2 10外一点P 4 2 向该圆引切线 求切线方程 思考题 圆的方程 x a