人教2011 初二下 变量与函数

变量与函数 育才中学 司徒卓铿教材分析函数是数学中最重要的基本概念之一，它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型.通过变量之间的关系，能使学生进一步审视已有的代数式、方程、不等式、平面直角坐标系等知识及其联系，增强综合应用知识的意识，提高分析问题和解决问题的能力.学情解析变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的又一大飞跃.“变量与函数”对学生在认知上和思维上都有较高要求，入门会有一定困难.创设丰富的现实情景，使学生在丰富的现实情景中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律.目标和目标解析（1）学生通过直观感知，能分清实例中的常量与变量,领悟函数概念的意义，能列举函数的实例，并能写出简单的函数关系式.(2)学生通过对实际问题中数量之间相互依存关系的探索，学会用函数思想去描述、研究其变化规律，初步理解对应的思想，逐步学会运用函数的观点观察、分析问题.在本节教学时，教师应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生在丰富的现实情境中感知变量和函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律，真正起好组织者、引导者和合作者的作用. 在教学过程中，学生的学法应以自主探究与合作交流为主.教学过程一、情景屋（引出课题）师：同学们，大千世界是处在不停的运动变化之中的，请看屏幕一组镜头：（电脑演示一组画面）1、 学生欣赏运动变化的画面：（1） 红旗飘扬过程 （2） 花开过程（3） 波涛汹涌过程2、 思考：师：如何来研究这些运动变化并寻找规律呢？你还能举出类似的例子吗？ 这些运动变化都有一定规律，数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化。通过实际问题初步认识函数及其图象，第一节：“变量与函数”二、实例库（形成概念）1.票房收入问题：每张电影票的售价为10元.（1）若一场售出150张电影票，则该场的票房收入是 元；（2）若一场售出205张电影票，则该场的票房收入是 元；（3）若一场售出310张电影票，则该场的票房收入是 元；（4）若一场售出张电影票，则该场的票房收入元，则 .小结反思：（1）票房收入随售出的电影票变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当售出票数取定一个确定的值时，票房收入的取值是否唯一确定？(例如，当=150时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：_2.圆周长问题：如果用表示圆的半径，圆的周长用表示.（1）=_；（2）当时，=_； （3）当时，=_. 小结反思：（1）圆周长随 变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当半径取定一个确定的值时，圆周长的取值是否唯一确定？(例如，当=5时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：_3.行程问题：汽车以60千米/秒的速度匀速行驶，行驶里程为千米，行驶时间为小时.请根据题意填表：（时）1234510（千米）小结反思：（1）行驶路程随 的变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当行驶时间取定一个确定的值时，行驶路程的取值是否唯一确定？(例如，当=3时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：_4.温度变化问题：如图一，是北京春季某一天的气温随时间t变化的图象，看图回答：图一（1）这天的8时的气温是 ，14时的气温是 ，22时的气温是 ； （2）这一天中，最高气温是 ，最低气温是 ；（3）这一天中，在4时12时，气温（ ），在12时14时气温（ ），在16时24时，气温（ ）.A.持续升高 B.持续降低 C.持续不变小结反思：（1）天气温度随 的变化而变化，即随 的变化而变化；（2）当时间取定一个确定的值时，温度的取值是否唯一确定？(例如，当=12时，的取值是唯一、还是有多个值？)答：_三、问题苑（认识概念）在一个变化过程中：（1）发生变化的量叫做 ； （2）不变的量叫做 ；（3）如果有两个变量和，对于的每一个值，都有 的值与之对应，称是 ，是的 ；（4）如果当时，叫做当时的函数值.四、快乐套餐（巩固练习）练习一指出前面四个问题中的常量、变量、自变量与函数.1.“票房收入问题”中， 是常量， 是变量， 是自变量，是的函数.2.“圆周长问题”中， 是常量， 是变量， 是自变量，是 的函数.3.“行程问题”中， 是常量， 是变量， 是自变量， 是 的函数.4.“气温变化问题”， 是常量， 是变量， 是自变量， 是 的函数.注意：常量与变量必须依存于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，关键看它在这个变化过程中是否发生变化.设计意图：巩固常量、变量、自变量、函数的概念，例 一个三角形的底边为5，高可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化.解：（1）面积随变化的关系式_ ，其中常量是 ，变量是 ，图二 是自变量， 是 的函数； （2）当3时，面积_；（3）当10时，面积_；（4）当高由1变化到5时，面积从_ _变化到_.变式1：一个三角形的高为6，底边可以任意伸缩，三角形的面积s也随之发生了变化（1）面积s随a变化的关系式s=_ ，其中常量是 ，变量是 ， 是自变量， 是 的函数； （2）当底边a由1变化到5时，函数值s从_ _变化到_. 6变式2：蛋糕师傅现要做一个底面为三角形且面积为200平方厘米规格的蛋糕，你能帮他设计一下蛋糕底面三角形形状吗？（1）底边a随高h变化的关系式a=_,变量是_，自变量是_，_是_的函数。(2)填表帮蛋糕师傅完成设计：高h(cm)102040底a(cm) 8ha变式3：一个等腰直角三角形的腰长a可以任意伸缩，三角形的面积s也随之发生了变化（1）面积s随a变化的关系式s=_ ，其中常量是 ，变量是 ， 是自变量， 是 的函数； （2）当函数值s=50时，对应腰长a=_.a变式4：如图所示，等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm,AC与MN在同一直线上。开始时A点与M点重合，让ABC向右运动，最后A点与N点重合。（1）试写出重叠部分面积y随MA长度x变化关系式.（2）当MA=2cm时，求重叠部分的面积。B10ACQPNM五、沉思阁（概念拓展）练习三1.填表并回答问题：14916与具有函数关系吗？为什么？变式：若,则与具有函数关系吗？为什么？2.下列各图中，表示是的函数的有_（可以多选）.六、点金帚（归纳小结）1、函数的概念：自变量（确定）函数值（ 确定）设计意图：通过小结，让学生抓住理解函数概念的实质2、回顾“票房收入问题”、“圆周长问题”、“行程问题”、“气温变化问题”，表示两个变量的对应关系有哪些方法？(1) ；(2) ；(3) 七、作业1. 写出下列问题中的函数解析式：（1）正方形的面积与边长关系式；（2）秀水村的耕地面积是m2，这个村人的占有耕地面积随这个村人数的变化而变化.解：（1）函数解析式： ， 是自变量， 是 的函数；（2）函数解析式： ， 是自变量， 是 的函数.2. 一年期的存款利率是4%，（）填表： 本金（元）1002005001000一年到期后所得的利息（元）（）本金元与一年到期后所得的利息元之间的关系式是_；（）常量是 ，变量是 ，其中 是自变量， 是 的函数.3. 小明、爸爸和爷爷同时从家中出发到同一目的地又立即返回.小明去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行. 三人的步行速度不等，小明与爷爷骑自行车的速度相等. 下面表示各人行走的