名师导学高考数学一轮总复习 7.47 排列与组合的综合应用题课件 理

第47讲排列与组合的综合应用题 学习目标 1 进一步理解排列 组合的概念 了解计数原理的思想 熟练掌握排列 组合计算公式 2 提升综合应用排列组合的知识解决一些简单的应用问题的思维能力和分类讨论的数学思想 基础检测 1 某校开设10门课程供学生选修 其中A B C三门课程由于上课时间相同 至多选一门 学校规定 每位同学选修三门课程 则每位同学不同的选修方案种数是 A 120B 98C 63D 56 B 解析 分两类 第一类 A B C三门课都不选 有C73 35种方案 第二类 A B C中选一门 剩余7门课中选两门 有C31C72 63种方案 故共有35 63 98种方案 2 现有12件商品摆放在货架上 摆成上层4件下层8件 现要从下层8件中取2件调整到上层 若其他商品的相对顺序不变 则不同调整方法的种数是 A 420B 560C 840D 20160 C 解析 从下层8件中取2件 有C82种取法 放到上层时 若这两件相邻 有A51A22种放法 若这两件不相邻 有A52处放法 所以不同调整方法的种数是C82 A51A22 A52 840 故选C 3 从0 1 2 3中任取三个数字 组成无重复数字的三位数中 偶数的个数是 用数字回答 10 解析 考虑三位数 没0 和 有0 两种情况 1 没0 2必填个位 A22种填法 2 有0 0填个位 A32种填法 0填十位 2必填个位 A21种填法 所以 偶数的个数一共有A22 A32 A21 10个 4 已知集合A 5 B 1 2 C 1 3 4 从这三个集合中各取一个元素 构成空间直角坐标系中点的坐标 则确定不同点的个数为 33 解析 若不考虑限定条件 确定的点的个数为C11C21C31A33 36 但集合B C中有相同元素1 由5 1 1三个数确定的相同的点有三个 故所求的个数为36 3 33 知识要点 1 求解排列与组合的综合应用题 通常有三条途径 1 以元素为分析对象 先满足特殊元素的要求 再考虑其他元素 即优元法 2 以位置为分析对象 即先满足特殊位置的要求 再考虑其他位置 即优位法 这两种方法都是直接法 3 先不考虑附加条件 计算出所有排列数或组合数 再减去不符合要求的排列数或组合数 即间接法 2 解决排列与组合应用题常用的方法有 直接计算法与间接计算法 分类法与分步法 元素分析法与位置分析法 插空法与捆绑法等 3 解答组合应用题的总体思路为 1 整体分类 从集合的意义讲 分类要做到各类的并集等于全集 以保证分类的不遗漏 任何两类的交集等于空集 以保证分类的不重复 计算结果时用分类计数原理 2 局部分步 整体分类以后 对每一类进行局部分步 分步要做到步骤连续 以保证分步的不遗漏 同时步骤要独立 以保证分步的不重复 计算结果时用分步计数原理 3 辩证地看待 元素 与 位置 排列 组合问题中的元素与位置 没有严格的界定标准 哪些事物看成元素或位置 要视具体情况而定 有时 元素选位置 问题解决得简捷 有时 位置选元素 效果会更好 解析 1 无序不均匀分组问题 先选1本有C61种选法 再从余下的5本中选2本有C52种选法 最后余下3本全选有C33种选法 故分配方式有C61C52C33 60种 2 有序不均匀分组问题 由于甲 乙 丙是不同的三人 在第 1 题的基础上 还应考虑再分配 分配方式有C61C52C33A33 360种 点评 这是一个分组问题 解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组 无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数 还要充分考虑到是否与顺序有关 有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数 C 解析 由题意可知 先排工序A 有2种编排方法 再将工序B和C视为一个整体 有2种顺序 与其他3个工序全排列共有2A44种编排方法 故实施顺序的编排方法共有2 2A44 96种 故选C 2 某人从 O P Q R 中选2个不同字母 从 0 2 5 6 8 中选3个不同数字组成车牌号 要求前三位是数字 后两位是字母 且数字0不能排在首位 O Q不能同时选 字母O和数字0要求不能相邻 那么满足要求的车牌号有 A 528个B 504个C 456个D 288个 C 解析 1 不选数字0有 2C21 1 C43A33A22 240个 2 选数字0不选字母O有C32C42C21A22A22 144个 3 选数字0也选字母O有C21C42C21 A22 1 72个 所以共有240 144 72 456个 3 研究性学习小组有4名同学要在同一天的上 下午到实验室做A B C D E五个操作实验 每位同学上 下午各做一个实验 且不重复 若上午不能做D实验 下午不能做E实验 则不同的安排方式共有 A 144种B 192种C 216种D 264种 D 解析 根据题意得 上午要做的实验是A B C E 下午要做的实验是A B C D 且上午做了A B C实验的同学下午不再做相同的实验 先安排上午 从4位同学中任选一人做E实验 其余三人分别做A B C实验 有C41A33 24种安排方式 再安排下午 分两类 上午选E实验的同学下午选D实验 另三位同学对A B C实验错位排列 有2种方法 则不同的安排方式有N1 1 2 2种 上午选E实验的同学下午选A B C实验之一 另外三位从剩下的两项和D一共三项中选 但必须与上午的实验项目错开 有3种方法 则不同的安排方式有 N2 C31 3 9种 于是 不同的安排方式共有N 24 2 9 264种 故选D 点评 综合应用排列与组合知识求解的问题的策略通常是 先选后排 和 边选边排 两种方法 D 解析 从1 2 3 9这9个整数中同时取4个不同的数 其和为偶数的取法分为三类 第一类是取四个奇数 即C54 5种取法 第二类是取两个奇数 两个偶数 即C52C42 60种取法 第三类是取四个偶数 即C44 1 故有5 60 1 66种取法 故选D 2 只用1 2 3三个数字组成一个四位数 规定这三个数必须同时使用 且同一数字不能相邻出现 这样的四位数共有 A 6个B 9个C 18个D 36个 C 解析 对于1 2 3三个数组成一个四位数 其中必有一个数要重复 从三个中选一个有C31种 这样重复的数有2个 利用插空法知共有A33种 因此共有3A33 18个这样的四位数 3 由1 2 3 4 5 6组成没有重复数字且1 3都不与5相邻的六位偶数的个数是 A 72B 96C 108D 144 C 解析 先选一个偶数字排个位 有3种排法 若5在十位或十万位 则1 3有三个位置可排 共有3A32A22 24个 若5排在百位 千位或万位 则1 3只有两个位置可排 共3A22A22 12个 算上个位偶数字的排法 共计3 24 12 108个 点评 有关由若干个数字组成满足某条件的数的问题通常应用 特殊元素先排法 或 减去法 思考这类问题时应注意数字 0 是否参与 组成的数是多少位数 数字使用时是否可以重复这三个基本方面 30 解析 根据A球所在位置分三类 若A球放在3号盒子内 则B球只能放在4号盒子内 余下的三个盒子放球C D E 则根据分步计数原理得 此时有A33 6种不同的放法 若A球放在5号盒子内 则B球只能放在4号盒子内 余下的三个盒子放球C D E 则根据分步计数原理得 此时有A33 6种不同的放法 若A球放在4号盒子内 则B球可以放在2号 3号 5号盒子中的任何一个 余下的三个盒子放球C D E 有A33 6种不同的放法 根据分步计数原理得 此时有A31A33 18种不同的放法 综上所述 由分类计数原理得不同的放法共有6 6 18 30种 2 如图 花坛内有5个花池 有5种不同颜色的花卉可供栽种 每个花池内只能种同种颜色的花卉 相邻两池的花色不同 则栽种方案的种数为 A 180B 240C 360D 420 D 解析 本题中区域2 3 4 5地位相同 都与其他四个区域中的3个区域相邻 故应先种区域1 有5种栽种方案 再种区域2 有4种栽种方案 接着种区域3 有3种栽种方案 种区域4时应注意 区域2与4种同色花时 区域4有1种栽种方案 此时区域5有3种栽种方案 区域2与4种不同色花时 区域4有2种栽种方案 此时区域5有2种栽种方案 故共有5 4 3 1 3 2 2 420种栽种方案 3 如图 用四种不同颜色给图中A B C D E F六个点涂色 要求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则不同的涂色方法共有 A 288种B 264种C 240种D 168种 B 解析 分两类 第一类 涂三种颜色 先涂点A D E有A43种方法 再涂B C F有2种方法 共有A43 2 48种方法 第二类 涂四种颜色 先涂点A D E有A43种方法 再涂点B C F有3C31种方法 共有A43 3C31 216种方法 由分类加法计数原理 共有48 216 264种不同涂法 故选B 点评 本小题考查排列组合 计数原理等基础知识以及分类讨论的数学思想 12 解析 由题意知本题是一个分类计数问题 当组成的数字有三个1 三个2 三个3 三个4共有4种情况 当有三个1时 2111 3111 4111 1211 1311 1411 1121 1131 1141 当有三个2 3 4时 2221 3331 4441 根据分类计数原理得到12种结果 故答案为12 2 渐升数 是指每个数字比它左边的数字大的正整数 如1458 若把四位 渐升数 按从小到大的顺序排列 则第30个数为 1359 B 点评 有关排列 组合的创新型问题通常是新定义型问题 分析求解的关键是由题意理解新定义的含义及设置的条件 1920 当x 5时 y 5 10 15 20 25 30 35 40 45 此时有9个整点 同理 当x 10 15 20 25 30 35 40 45时 也分别有9个整点 所以 x 5 10 15 20 25 30 35 40 45时 四棱柱下底面中包含的整点个数共有9 9 81个 当x 1时 y 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 此时有10个整点 同理 当x 2 3 4 6 7 8 9 11 49时 也分别有10个整点 所以 当x 1 2 3 4 6 7 8 9 11 49时 四棱柱下底面中包含的整点个数共有40 10 400个 综上 该四棱柱内部 不含表面 中所包含的整点个数为2401 400 81 1920 排列组合问题的常见解法主要有以下几种 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 7 定序问题除法处理的策略 8 分排问题直接处理的策略 9 小集团 排列问题中先整体后局部的策略 10 构造模型的策略 1 2013全国大纲 6个人排成一行 其中甲 乙两人不相邻的不同排法共有 种 用数字作答 480 解析 先排另外四人 方法数是A44 再在隔出的五个位置安插甲乙 方法数是A52 根据乘法原理得不同排法共有A44A52 24 20 480种 命题立意 本题考查排列知识 考查思维的全面性 属中档题 2 2013浙江 将A B C D E F六个字母排成一排 且A B均在C的同侧 则不同的排法共有 种 用数字作答 480 解析 先在6个位置找3个位置 有C63种情况 A B均在C的同侧 有CAB CBA ABC BAC 而剩下D E F有A33种情况 故共有4C63A33 480种排法 命题立意 本题考查排列与组合知识 考查思维的全面性 属中档题 1 5本不同的书 全部分给四名学生 每人至少一本 不同分法的种数为 A 480B 240C 120D 96 B 解析 先将5本书分成4组 有C52种方法 再将4组书分给4名同学有A44种 由分步计数原理知共有C52A44 240种分法 2 将4个不同的小球放入3个不同的盒子 其中每个盒子都不空的放法共有 A 81种B 256种C 18种D 36种 D 解析 必有一个盒子放2个小球 将4个小球分成3组 其中有2个小球为一组 另外2个小球为二组 共有6种分组方法 然后 每一种分组的小球放入3个不同盒子 按分步计数原理 有3 2 1种放法 共有6 3 2 1 36种放法 故选D 3 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换 任意两位同学之间最多交换一次 进行交换的两位同学互赠一份纪念品 已知6位同学之间共进行了13次交换 则收到4份纪念品的同学人数为 A 1或3B 1或4C 2或3D 2或4 D 解析 C62 13 15 13 2 设仅有甲与乙 丙没交换纪念品 则收到4份纪念品的同学人数为2人 设仅有甲与乙 丙与丁没交换纪念品 则收到4份纪念品的同学人数为4人 4 过三棱柱任意两个顶点的直线共有 条 以三棱柱的顶点为顶点的三棱锥共有 个 过三棱柱任两个顶点的异面直线共有 对 15 12 36 解析 两点确定一条直线 共C62 15条 不在同一平面内的四个点确定一个三棱锥 由排除法得C64 3 12个三棱锥 每个三棱锥可确定三对异面直线 故有12 3 36对异面直线 5 用数字1 2 3 4 5 6组成无重复数字的四位数 然后把它们由小到大排成一个数列 1 这数列的第200项是 2 求这个数列各项的和为 4253 1399860 2 数1出现在千位上的四位数的个数为A53 出现在百位上的四位数的个数为A53 出现在十位和个位上的四位数的个数都应该是A53 同理2 3 4 5 6每一个数在千 百 十和个位上出现的四位数的个数都是A53 于是这个数列各项的和是 1 2 3 4 5 6 103 102 10 1 A53 21 1111 60 1399860 6 有五张卡片 它们的正 反面分别写有0与1 2与3 4与5 6与7 8与9 将其中任意三张并排放在一起组成三位数 共可组成 个不同的三位数 432 解析 解法一 间接法 任取三张卡片可以组成不同的三位数C53 23 A33 个 其中0在百位的有C42 22 A22 个 这是不符合题意的 故共有不同的三位数 C53 23 A33 C42 22 A22 432 个 解法二 直接法 第一类 0与1卡片放首位 可以组成不同的三位数有C4222A22 48 个 第二类 0与1卡片不放首位 可以组成不同的三位数有 C412 C4222A22 8 48 384 个 故共有不同三位数 48 384