全国版高考数学第六章不等式推理与证明6.6数学归纳法课时提升作业.docx

数学归纳法(25分钟45分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()A.k2+1B.(k+1)2C.D.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】选D.当n=k时,左边=1+2+3+k2,当n=k+1时,左边=1+2+k2+(k2+1)+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.2.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+-=2时,若已假设n=k(k2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.因为n为偶数,故假设n=k成立后,再证n=k+2时等式成立.3.(2016南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2B.f(k+1)=f(k)+(k+1)2C.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2D.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.f(k+1)=12+22+32+(2k)2+(2k+1)2+2(k+1)2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.4.(2016岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+(nN*)成立,其初始值至少应取()A.7B.8C.9D.10【解析】选B.1+=,整理得2n128,解得n7,所以初始值至少应取8.【加固训练】1.用数学归纳法证明2n2n+1,n的第一个取值应是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为n=1时,21=2,21+1=3,2n2n+1不成立;n=2时,22=4,22+1=5,2n2n+1不成立;n=3时,23=8,23+1=7,2n2n+1成立.所以n的第一个取值应是3.2.用数学归纳法证明不等式+(n2)的过程中,由n=k到n=k+1时,不等式的左边()A.增加了一项:B.增加了两项:,C.增加了两项:,又减少了一项:D.增加了一项:,又减少了一项:【解析】选C.当n=k时,左边=+,n=k+1时,左边=+.5.平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为()A.n+1B.2nC.D.n2+n+1【解析】选C.1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4(个)区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7(个)区域;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+n)=1+=(个)区域.6.(2016南宁模拟)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在正整数m,使得对任意nN*,f(n)都能被m整除,则m的最大值为()A.18B.36C.48D.54【解析】选B.由于f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360都能被36整除,猜想f(n)能被36整除,即m的最大值为36.当n=1时,可知猜想成立.假设当n=k(k1,kN*)时,猜想成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除;当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)3k+1+9=(2k+7)3k+9+36(k+5)3k-2,因此f(k+1)也能被36整除,故所求m的最大值为36.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(2016淮安模拟)当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,当第二步假设n=2k-1时命题为真,进而需验证n=,命题为真.【解析】当n为正奇数时,求证xn+yn被x+y整除,用数学归纳法证明时,第二步假设n=2k-1时命题为真,进而需要验证n=2k+1时命题为真.答案:2k+18.(2016九江模拟)已知f(n)=1+(nN*),经计算得f(4)2,f(8),f(16)3,f(32),则其一般结论为.【解析】因为f(22),f(23),f(24),f(25),所以当n2时,有f(2n).故填f(2n)(n2,nN*).答案:f(2n)(n2,nN*)9.设平面内有n条直线(n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n4时,f(n)=(用n表示).【解析】f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3,f(5)=f(4)+4=2+3+4,f(6)=f(5)+5=2+3+4+5,猜想f(n)=2+3+4+(n-1)=(n4).答案:5(n+1)(n-2)(15分钟30分)1.(5分)(2016天津模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()A.若f(1)1成立,则f(10)100成立B.若f(2)0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式.(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=;a3=f(a2)=;a4=f(a3)=.猜想an=(nN*).(2)当n=1时,a1=1猜想正确.假设n=k(k1,kN*)时猜想正确,则ak=.则ak+1=f(ak)=.这说明,n=k+1时猜想正确.由知,对于任何nN*,都有an=.【加固训练】1.(2016深圳模拟)已知点Pn(an,bn)满足an+1=anbn+1,bn+1=(nN*)且点P1的坐标为(1,-1).(1)求过点P1,P2的直线l的方程.(2)试用数学归纳法证明:对于nN*,点Pn都在(1)中的直线l上.【解析】(1)由P1的坐标为(1,-1)知a1=1,b1=-1.所以b2=.a2=a1b2=.所以点P2的坐标为.所以直线l的方程为2x+y=1.(2)当n=1时,2a1+b1=21+(-1)=1成立.假设n=k(kN*,k1)时,2ak+bk=1成立,则2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1=(2ak+1)=1,所以当n=k+1时,命题也成立.由知,对nN*,都有2an+bn=1,即点Pn都在直线l上.2.在数列an,bn中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(nN*).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:+.【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1,=bnbn+1,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25,猜测an=n(n+1)(nN*),bn=(n+1)2(nN*).用数学归纳法证明:当n=1时,由上可得结论成立.假设当n=k(k1,kN*)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k