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弗完备解悖方案评估王文方教授阳明大学心智哲学研究所：112台北市北投区立农街二段155号最近几年间，国际哲学界里有两种与语意悖论有关的、非正统途径（orthodox approach）的重要解悖方案；它们分别是以G. Priest（1987, 2006）与Jc Beall（2009）为代表的弗一致途径（paraconsistent approach）、以及以S. Kripke（1975）与H. Field（2003, 2008）为代表的弗完备途径（paracomplete approach）。逻辑上，前者提倡某种弗一致逻辑paraconsistent logic作为解决语意悖论的主要方法，后者主张放弃古典逻辑中的排中律（Law of Excluded Middle, LEM）来作为避免悖论产生的手段。哲学上，前者主张将悖论型语句归类为既真且假的语句，并因而主张有些矛盾为真，后者则主张所有悖论型的语句与没有根据的语句都是缺乏真假的语句，并因而主张真值鸿沟（truth-value gap）。基于篇幅的考虑，本论文只讨论弗完备途径的理论；在以下的说明中，我将先简单解释正统途径的解悖方案及其问题，然后举两个例子说明弗完备途径的解悖方案以及我所看到的、有关于该途径的困难之处。1. 正统的解悖理论所谓正统的解悖理论，我指得是那些区分真述词阶层与/或语言阶层的理论。有关于语意悖论的正统解悖途径始自A. Tarski。Tarski（1933, 1944）认为，一个可被接受的、有关于某个对象语言L的真理理论，不仅应该在实质上是恰当的（materially adequate），而且应该在形式上是正确的（formally correct）。所谓实质上恰当的，塔斯基指的是，这样的理论应该在逻辑上蕴涵所有具有下列形式的T-双条件句： Tarski（1933）对于实质恰当性的要求其实有两项，另一项要求该理论必须在逻辑上蕴含这样的结果：所有可以说得上为真的事物都是语句。由于这个额外的要求对于以下的讨论并非必要，因此我在这里略去它不予考虑。（T） X在L中为真，若且唯若p。其中，X是L中语句p的名称。 建立语言标准名称的方式并不限于使用单引号或双引号，其它的方式还包括Tarski（1933）所谓的架构名（structural-descriptive names）、以及哥德尔数码（Godel numbering）等等。一些具有这种形式的T-双条件的例子如（假设L是中文）：雪是白的在中文中为真，若且唯若雪是白的。以及雪是白的在中文中为真在中文中为真，若且唯若雪是白的在中文中为真。所谓形式上正确的，Tarski部分指的是：尽管表达这个理论的后设语言L*应该包含在L中为真（以下简称L真）这样的述词，但L和L*却不可以包含自己的真述词；而这也就是说：L不可以包含任何述词”j(x)”使得所有”j(X)若且唯若p”这样的语句对于L中的每个语句p来说都为真（其中，X是L中语句p的名称），而L*也不可以包含任何述词”y(x)”使得所有”y(Y)若且唯若q”这样的语句对于L*中的每个语句q来说都为真（其中，Y是L*中语句q的名称）；或者，以Tarski自己的话来说，L及L*都不可以是语意上封闭的（semantically closed）语言。由于自然语言通常被认为包含了自己的真述词（并因而是一个语意上封闭的语言）， Tarski（1933）认为自然语言不只是封闭的，还是全般性的（universal）语言任何在其它语言中能够被表达的内容，在自然语言中都能够被表达因而不可能在这样的语言中定义其真理概念而不导致矛盾。并且由于Tarski相信，替一个够丰富的封闭语言（如自然语言）提供一个一致的、满足实质恰当性要求的真理定义是不可能的，因此，Tarski并不认为他的真理理论可以应用在自然语言之上。但让我在此稍微说明一下这两个问题。（a）：多丰富的语言才算是一个够丰富的语言？以及（b）：为什么Tarski会认为：为一个够丰富的封闭语言（如自然语言）提供一个一致的、满足实质恰当性要求的真理定义是不可能的？第一个问题的答案是这样的：一个语言L只要包含了（1）L中每一个语句的名称、（2）L真这个述词（或一个与L真有着相同外延的述词”T”）、以及（3）直接或间接自我指称（self-reference）的语言设计（如指示词”this”或其它的设计 有时候，量化的语言设计加上一些经验的事实就足以造成自我指称的语句。有关于这一点，详见Kripke（1975, sec. 1）。另外，透过哥德尔数码，一个语言中的语句也可能间接地指称它自己。），我们便说它是一个够丰富的语言。现在，让我们假设L是一个够丰富的语言，并且让我们假设，我们已经为其中的述词L真（或”T”）提供了一个实质上恰当的定义。由于L是一个够丰富的语言，因此，让我们假设它有一个能够说它自己并不是L真的语句；让我们称之为（说谎者）。让我们假设（说谎者）同时也是该语句在L中的名称之一（该语句的另一个名称则是它的引号名）；因此，下述的语句（1）在L当中为真：（1）（说谎者）=（说谎者）不是L真。由于我们假设对L真的定义是一个实质上恰当的定义，因此，该定义蕴涵了所有L中语句的T-双条件句；特别是，该定义蕴涵了（2）（说谎者）不是L真是L真，若且唯若（说谎者）不是L真。但（1）和（2）和莱布尼兹定律（Leibnizs Law）共同蕴涵了一个在Tarski及古典逻辑学家看来是自我矛盾的语句：（说谎者）是L真，若且唯若（说谎者）不是L真；因而，为够丰富的语言（如自然语言）所提出的实质恰当真理定义，似乎一定会是一个不一致的定义。但为什么Tarski及古典的逻辑学家会认为（说谎者）是L真，若且唯若（说谎者）不是L真是一个自我矛盾的语句呢？Field（2008, p. 7-8）认为，Tarski以及他的一些追随者之所以认为该语句是一个自我矛盾的语句，似乎是因为他们接受下面这个被Field称为从等值到矛盾的核心论证（the central argument from equivalence to contradiction）的缘故： Field（2008, p. 7-8）的论证包括四个大的步骤，以及每个步骤中的细部证明。这些步骤和证明相当于以下我所给的1-9的证明。1. （说谎者）是L真，若且唯若（说谎者）不是L真。 Premise2. 或者（说谎者）是L真，或者（说谎者）不是L真。 LEM3. （说谎者）是L真。 Assumption4. （说谎者）不是L真。 1, 3, Logic5. （说谎者）是L真而且（说谎者）不是L真。 3, 4, Conj.6. （说谎者）不是L真。 Assumption7. （说谎者）是L真。 1, 6, Logic8. （说谎者）是L真而且（说谎者）不是L真。 6, 7, Conj.9. （说谎者）是L真而且（说谎者）不是L真。 2, 3, 5, 6, 8, CD.由于Tarski和他的一些追随者共同接受了上述的核心论证，因而他们很自然地结论说：替日常的语言提供一个一致的、并且满足实质性要求的真理定义是一件不可能的事情。不过，让我很快地在此指出：在上述的论证中，诉诸于排中律（步骤2）是一个重要的步骤。因而一个认为排中律并非逻辑定律的哲学家（如Kripke和Field）并不会轻易地被上述的核心论证所说服。尽管Tarski和他的一些追随者认为他的真理理论并不适用于自然语言，但他的其他追随者如C. Parsons（1974）和T. Burge（1979）却不如此认为；后者相信，去为一个像中文（让我们称之为”L”）这样的自然语言提供一个一致的真理定义，仍然是一件可能的事情，而其中的关键就在于：我们必需将L看作是一个由无数多个阶层的语言所构成的语言，并将L中的为真这个述词看作是在该语言中系统性地歧义（systematically ambiguous）的述词。在为L提出一个有关其语句的真理定义时，我们可以先将L中所有不涉及为真这个述词的语句所形成的语句集合看作是一个语言，并称之为”L0”。我们可以为L0这个语言依照Tarski的方式而定义出在L0中为真（简称为真1）这个述词，并将L1这个语言当作是这样的一个语句集合：该集合包含了所有L0中的语句、以及由L0中的语句、这些语句的名称、以及真1所形成的任何语句。在这样的理解下，真1将适用于L0中每一个为真的语句，但不适用于L0中任何为假的语句，也不适用于L1中的任何语句。然后，我们可以再为L1这个语言依照Tarski的方式而定义出在L1中为真（简称为真2）这样的述词，并将L2这个语言看作是这样的一个语句集合：该集合包含了所有L1中的语句、以及由L1中的语句、这些语句的名称、以及真2所形成的任何语句。在这样的理解下，真2将适用于L1（及L0）中每一个为真的语句，但不适用于L1（及L0）中任何为假的语句，也不适用于L2中的任何语句。然后，我们可以再为L2依照Tarski的方式而定义出在L2中为真（简称为真3）这个述词，并将L3看作是这样的一个语句集合：该集合包含了所有L2中的语句、以及由L2中的语句、这些语句的名称、以及真3所形成的任何语句。在这样的理解下，真3将适用于L2（及L0、L1）中每一个为真的语句，但不适用于L2（及L0、L1）中任何为假的语句，也不适用于L3中的任何语句。我们可以继续这样下去，并形成一系列的语言，其中的每一个语言Ln都包含了之前的语言Lm（mn）作为一部份，也都包含了一个这样的真述词真n：该述词适用于每一个Lm（mn）中为真的语句，但不适用于任何一个Lm（mn）中为假的语句，也不适用于任何一个Lk（nk）中的语句。现在，我们可以将自然语言L看作是所有这些语言Ln的联集，并且将L中的述词为真看作是系统性地歧义的述词：它的某次使用究竟指称这一系列述词真n中的哪一个这件事情，取决于它被使用时的脉络和使用者当时的意图；我们甚至可以假设，每次当为真被使用时，说话者都暗中赋予了一个下标给该述词。当我们这样看待L时，任何下列这种形式的语句（Tn） p是真n，若且唯若p。依然成立，但其中的p必须是某个语言Lm（mn）中的语句。假设S是S不是真n这个语句，那么，S并不属于真n这个述词的外延（因为S会是某个语言Lk（nk）中的语句）。从此，我们可以结论说S不是真n。但从S不是真n以及（Tn），我们却无法推论出S是真n以及某个矛盾，而这是因为（Tn）并不适用于S这样的语句的缘故。简单地说，对于S这样的语句来说，它的（Tn）个例，亦即：（3）S不是真n是真n，若且唯若S不是真n。并不成立。严格地说起来，上述的（Tn）并不完全满足Tarski的实质恰当性要求；（Tn）充其量只是（T）的一个限制性版本。但在1975年之前，Parsons和Burge的看法被许多的哲学家认为是唯一能够有意义地谈论自然语言的真述词的方法；Kripke（1975）甚至称这个看法在当时是正统的途径。Kripke对正统的途径提出了许多有力的批评，我将这些批评简单地列举如下：1. 我在上一段落中所提到的那个假定每次当为真这个述词被使用时，说话者都暗中赋予了一个下标给该述词并不是一个事实。多数时候，一个自然语言的用户丝毫无法决定他所使用的真述词的阶层为何。举例来说，如果John说：Smith今天所说的话都为真，但他却不完全清楚Smith今天说了些甚么，在这种情况下，John便无法决定他所使用的真述词的阶层为何。2. 有些时候，我们甚至不可能一致地将下标赋予两个显然具有意义、并且在直觉上具有真假值的语句。为了要说明这一点，让我们考虑下述这样的情形。A：B所说有关于F的事情都是假的。B:A所说有关于F的事情都是假的。显然，这样的两个语句都有清楚的意义。假设A与B都曾经说过至少一件有关于F、并且为真的事情，那么，上述那两个语句在直觉上就都为假。但问题在于，想要致地将下标赋予这两个语句是不可能的：我们必须将每个人所说的为真都赋予一个比对方所说的为真还要高的下标，而这是一件不可能的事情。3. 正统的途径告诉我们如何去定义L1、L2、Ln中每一个有限阶层的语言，也告诉我们如何去定义真1、真2、真n中每一个有限阶层的真述词，但正统的途径缺乏一个清楚的理论告诉我们如何去定义一个超出有限（transfinite）阶层的语言（如Lw）以及其中的真述词（如真w），因而正统的途径缺乏了数学上可欲的高度通则性与普遍性。4. 正统的途径无法保证我们说：在一个阶层的语言里，为真的语句（不论是第几个阶层的真）一定会是有根据的（grounded）语句。（所谓一个有根据的语句，我们可以暂时将之想作是：其真假可以由非语意事实来决定的语句。有关这个概念的细节，详见下一节中的说明。）事情之所以如此，那是因为在理论上我们可以有这样一系列、无穷多个的语言L0, L1, L2, 是这样的：其中每一个语言Ln都包含了在Ln+1为真这样的述词。这一序列的语言似乎能够产生在直觉上可以被称为真、但却是没有根据的语句。我认为Kripke（1975）对于正统途径的这几点批评是很中肯的，而其中的第一点与第二点尤其具有杀伤力。但更为重要的是，正统的途径并不能给我们一个满足实质恰当性要求、一致的或非琐碎的（non-trivial）、有关于自然语言的真理理论。部份为了提供一个这样的真理理论，Kripke以及之后的哲学家们分别采取了两种不同的解悖方案：弗完备解悖方案以及弗一致解悖方案。以下我先从弗完备解悖方案开始说起。2. 弗完备解悖方案：以Kripke及Field为例在批评正统途径的同时，Kripke（1975）也提出了一种通常被称作固定点理论（fixed point theory）的想法。 与Kripke同时提出固定点理论的人还有R. L. Martin和P. W. Woodruff（1975）。但为了简单起见，我将省略说明他们两人共同的看法。不过，平心而论，与其说Kripke（1975）提出了一种真理理论，倒不如说他企图完成并成功地完成了下面这两件事情：1. 使用固定点论证去证明：为了要能够一致性地谈论某个语言L中的语句是否为真，我们并非总是（如同Tarski和正统的理论家所认为的）需要使用一个较L更为丰富的、或较L在阶层上来得更高的后设语言不可；许多三值或多值的语言本身便可以包含自己的真述词而不需要划分层级，替这样一个多值的丰富语言提供一个一致性的真理定义仍然是可能的。2. 提供了一种数学上的工具，使得我们可以更为严谨地去界定有根据（groundedness）这个概念，并因而为真理是根据在非语意事实之上这个直觉的想法提供一个为更严谨的说明。在进一步说明Kripke的这两项成就之前，让我先引一段Kripke（1975）的话来对有根据这个概念作一个直觉上的说明：一般而言，如果一个语句断说了某一集合C中的语句（全部、一些或大部分）为真，那么，一旦C中的语句的真假能够被确定，该语句的真假也就能够被确定。如果有些C中的语句涉及到真理的概念，它们的真假则需进一步透过确定其它语句的真假来加以确定。如果这样的程序最终将停留在不涉及真理概念的语句上，则起初那个陈述的真假就能够被确定，而我们也就称那个起初的语句为有根据的；否则的话，我们就称它为没根据的。直觉上来说，一个有根据的语句是能够在最终透过非语意事实（不涉及语意指涉、满足、真假等概念的事实）去决定其真假的语句，而一个没有根据的语句则不能在最终透过非语意的事实去决定该语句的真假。前者的例子如雪是白的是真的和雪是白的是真的是真的这样的语句，后者的例子如（说谎者）和以下的（老实人）（Truth Teller）这样的语句：（老实人） （老实人）是真的。（老实人）这个语句的特性在于：没有任何的非语意事实足以决定该语句的真假值；或者说，不论我们假设它为真或假，这样的假设都兼容于所有的非语意事实。Kripke（1975）的基本看法是：只有有根据的语句才是有真假可言的语句，而像（老实人）及（说谎者）这种没有根据的语句则都没有真假。但如果没有根据的语句并没有真假可言，理论上我们便应该采取一种容许真值鸿沟的三值语言去处理涉及了（说谎者）语句的语意悖论。这样的语言通常允许既不为真也不为假的语句，而排中律在这样的语言中也并非普遍地为真。由于排中律在许多的三值（及多值）语言中并不成立，因而这样的三值（及多值）语言将可以有效地阻断前一节中所提到的核心论证。Kripke（1975）的重要成就之一就在于他证明了：有一些三值的语言 从现在起，我将像Gupta（2001）一样将一个语言L看作是一个三位有序序列L=，其中，L是L的语法，M是L的一个模型，而v则是一个赋值架构（valuation scheme），亦即对L中的连接词的语意说明可以一致地包含自己的真述词，并因而可以避免语意的悖论。但哪一些三值的语言可以一致地包含自己的真述词呢？Kripke（1975）实际上以一个强的K3（strong K3）语言作为例子，但在以下的说明中，我们将看出如何将他所证明的结果予以通则化。为了方便说明起见，让我先详细说明两个简单的、强的K3语言。让我们假设我们有两个语言和L+是这样的：L是一个初阶的语言，其中包含了”l”, “t”, “c1”, “c2” ”cn”、以及L+中每一个语句的标准名称（我们假设L使用单括号名作为语句的标准名称 在以下的讨论中，双括号是后设语言中的符号，而单括号则是对象语言中的符号。）作为L中的个体常数。此外，L也包括了”F1”, “F2”, ”Fm”这几个一位述词 将个体常数以及一元述词的数量限制为有限多个，这对于以下的证明来说并非必要；同样地，将述词限制为只有一元述词，这对于以下的证明来说也非必要。但这样的限制将会使得下述的说明变得容易得多。、以及左右括号、”x1”, “x2,”这些个体变数、”、”&”、 ”、和”等等这几个逻辑符号。L+和L的字汇几乎一样，但多了”T”这个一位述词（我们的目标是去将”T”解释成在L+中为真这个述词，并因而让L+成为一个够丰富的语言）。L和L+的文法规则如下：任何一个一位述词之后接着一个个体变量或常数都是一个式子（formula）；任何一个式子之前接着”或”xi”（对于任何的iN）也都是一个式子；而如果f和y是两个式子，则(f & y)或(f y)仍然是一个式子。在L和L+中，一个所谓的语句（sentence），也就是任意一个不包含任何自由变量出现的式子。让我们假设L是一个经过解释的（interpreted）语言，而L+则是一个部份被解释的语言。一个对L或L+的解释或模型必需要指定两件事情：D和I；其中，D是一个非空的论域，而I则是对于每一个非逻辑字词（名称和述词）的指称的说明。我将假设L有一个特定的模型M=，其论域D里包括了L+中的每一个语句以及这个世界里的每一个人（至于它们还包括些什么事物，则不是一件重要的事情）。我还将假设，该模型中的说明I将每一个L+的语句的标准名称”p”都解释成指称”p”这个语句（举例来说，在这样的理解下，”F1l”将指称”F1l”这个语句），并将“c1” 解释成指称王文方这个人，而将”l”和“t”这两个个体常数解释为分别指称”Tl”, “Tt”这两个语句；直觉上，在这样的解释中，”l”是一个说自己不为真的语句的名字，因而是一个说谎者，而“t”则是一个说自己为真的语句的名字，因而是一个老实人。（至于其它的个体常数如何被解释，则不是一件重要的事情。）我还假设L中的每一个述词在I的说明之下也都得到了一个特定的解释。对于一个述词”F”作出一个特定的解释也就是对之指定D中一对没有交集的两个集合的序对，前者被称为是”F”这个述词的外延（extension），也就是”F”这个述词真于（true of）的对象所形成的集合，后者则被称为是”F”这个述词的反外延（anti-extension），也就是”F”这个述词假于（false of）的对象所形成的集合。如果一个D中的事物d并不落于”F”的外延或反外延中，”F”便既不真于d亦不假于d。由于L中的每一个非逻辑字词在M中都有了一个明确的说明（让我们假设I将”F1”解释为真于所有的人，而假于其它的东西；其它的述词我们则不用管），因此，L是一个被M完全解释了的语言；而这个对于L的完整解释M，同时也是一个对L+的部份解释：除了”T”这个述词以外，该解释同时说明了L+中每一个非逻辑字词的指称。如果，除了M的解释之外，我们还对”T”这个述词的外延和反外延作出某个特定的说明，比方说，让”T”的外延和反外延分别等于D的某个子集合A和B（A和B没有交集），那么，M加上这个特定的、对于”T”的说明就会是对L+的一个完整解释或模型，我将称这样的解释或模型为M+。在一个强的K3语言中，各种语句的真假值是这样决定的：(i)如果”F”是一个一位述词，而”c”是一个个体常数或语句名称，那么，”Fc”为真(假)若且唯若”c”所指称的事物属于”F”的(反)外延；否则的话，”Fc”便既不为真也不为假。(ii)由真值函数连接词连接了一或两个语句所形成的复杂语句，系以下述的方式去决定其真假值（在以下有关于”&”和”的两个真值表中，左方直行代表的是该复杂句左边的语句的真假值，上方横列代表的是该复杂句右边的语句的真假值，”t”代表真，”f”代表假，”n”则代表既不为真也不为假）：p p & t n f t n ft f t t n ft t n fn n n n n fn t n nf t f f f ff t t t(iii)如果”fxi”对于论域D中的所有事物来说都为真，那么，”xif”便为真；如果”fxi”对于论域D中的某个事物来说为假，那么，”xif”便为假；而如果”fxi”对于论域D中的有些（但非所有）事物来说为真，却不对D中的任何事物来说为假，那么，”xif”便既不为真也不为假。显然，在经过M的解释之后，L中的每一个语句都有了一定的真假值（真、假、或既不为真也不为假）。但L是一个不包含自己的真述词的语言：在语法上，它缺乏一个企图去表达在L中为真的述词；在语意上，我们也可以假设：在前述M的解释下，没有任何一个L的述词的外延会刚好是所有L中的真语句所形成的集合，也没有任何一个L的述词的反外延会刚好是所有L中的假语句所形成的集合；因此，L并不是一个我们真正关心的语言。我们关心的是像L+这样的语言：它在语法上包括了一个企图去表达在L+中为真的述词”T”；而我们当前的问题在于：我们是否可能将之前的解释M扩展成一个完整的、对于L+的解释M+，并使得A和B（也就是”T”这个述词的外延和反外延）刚好分别是L中所有的真语句和L+中所有的假语句所形成的集合？如果这件事情是可能的，那么，”T”在M+这个解释下便会是L+这个够丰富的语言的真述词，而我们也就完成了我们的使命。但问题是：这样的解释可能吗？如果可能，它如何可能？Kripke（1975）的论文的重要性就在于：该论文不仅证明了，对于一个像L+这样的强的K3语言来说，将”T”解释成为L+的真述词总是可能的；它还额外告诉我们两件事情：（1）这样的解释要如何建构起来；相较而言，Martin和Woodruff (1975）虽然也证明了这样的解释是可能的，但他们却没有告诉我们这如何可能。以及（2）这样的结果如何可能推广到其它三值或多值的语言上。在说明这两点之前，让我们先看一下强的K3语言的一个特性：单调性（monotonicity）。跟随Gupta（2001），让我们先定义一个介于两个述词的解释之间的关系如下：对于任意一个述词F的任意两个解释和来说，若且唯若而且BD。（我们可以将”读成这个对于F的解释比这个对于F的解释来得弱。直觉上，当这个解释比来得弱时，在前一解释中为的事物在后一解释中也是，而且，在前一解释中不是的事物在后一解释中也不是；但反之则不必然。）现在，我们可以定义一个介于任意两个具有相同论域的模型M1和M2之间的关系如下：M1M2若且唯若（a）M1和M2对于述词之外的其它语词（常数、函数名等等）所作出的解释完全相同；（b）对于每一个述词F来说，I1对于所作出的解释都弱于I2对于所作出的解释；亦即，对于每一个述词F来说，I1()= I2()。（直觉上来说，当M1M2时，前者是一个比后者来得弱的解释。）现在，我们可以来说明什么是单调性了。一个语言是单调的语言，若且唯若对于该语言的任意两个解释M1和M2来说，如果M1M2，那么，任何在M1的解释下为真的语句在M2的解释之下也会为真，而且任何在M1的解释下为假的语句在M2的解释之下也会为假。（直觉上，当一个语言L具有单调性时，对该语言的较强解释会比较弱的解释包含更多的真理和假理。）我们可以透过数学归纳法证明，每一个强的K3的语言都是一个具有单调性的语言。 我们也可以说，三个段落之后的函数k是一个在下述意义下单调的函数：对于任何的A, B, C, D来说，如果，那么，k()k()。（除了强的K3语言之外，许多其它的三值或多值语言也都具有单调性，但并非所有的三值或多值语言都具有单调性。）现在，我们便来看看如何将L+中的述词”T”解释成为该语言的真述词。Kripke（1975）教了我们一个重复建构的方法，以便去建构出这样的一个解释。在建构的最初阶段阶段0中，我们将L+解释成M+=M+。换句话说，我们将”T”解释成：既不真于任何的语句和事物，也不假于任何的语句和事物。虽然在这个阶段中我们将”T”解释为不真于任何的事物，但在该解释下，仍然有许多的语句为真，举例来说，”F1c1”和”Tt F1c1”便是如此，让我们称所有这些在M+的解释下为真的语句所形成的集合为S1。同样地，虽然M+将”T”解释为不假于任何的事物，但在该解释下仍然有许多的语句为假，举例来说，”F1c1”和”Tt & F1c1”便是如此，让我们称所有这些在M+的解释下为假的语句所形成的集合为S1。除了上述这两类语句之外，其它的语句在M+的解释下则都是既不为真也不为假的语句，比方来说，”Tt”、”Tl”、”Tt”、”Tl”、”TF1c1”、”TF1c1”等等便都是如此。显然，S0S1，但S0S1。同样地，S0S1，但S0S1。由于S0S1而且S0S1，因而，将”T”解释成并不能使得”T”成为L+在这个解释下的真述词；但我们却可以从此进行到下一个阶段阶段1的解释。在阶段1中，我们将L+解释成M+。换句话说，我们将”T”解释成真于前一阶段中的真语句，而假于前一阶段中的假语句。虽然我们将”T”作了如此的解释，但是在M+的解释下，我们将会发现，”T”仍然不会是L+在这个解释下的真述词。事情之所以如此，那是因为在M+的解释下，虽然在前一阶段中为真的语句仍然会在这个新的解释下为真（而这是因为之前所提到的单调性使然），但却会有更多的语句比方来说，”TF1c1”和”TTt F1c1”在这个新的解释下成为真的语句；让我们称所有这些在M+的解释之下为真的语句所形成的集合为S2。同样地，虽然在前一阶段中为假的语句仍然会在这个新的解释下继续为假（而这同样是因为之前所提到的单调性使然），但却会有更多的语句比方来说，”TF1c1”和”TTt & F1c1”在这个新的解释下成为假的语句；让我们称所有这些在M+的解释下为假的语句所形成的集合为S2。（而且，一如前一个阶段，在M+的解释下，仍然有许多的语句会继续是既不为真也不为假的语句，比方来说，”Tt”、”Tl”、”Tt”、”Tl”、”TTt”等等便都是如此。）显然，S1S2，但S1S2。同样地，S1S2，但S1S2。由于S1S2而且S1S2，因此，将”T”解释成同样不能将之解释成为L+在这个解释下的真述词；但我们还可以由此进行到下一个阶段阶段2的解释。在阶段2中，我们将L+解释成M+等等。我们可以一直重复这样的操作，一直到无穷的阶段。在一个无穷的阶段比方说，在w（或w+w等等）的阶段中，我们可以将L+解释成M+，其中，Sw是将所有之前各阶段中的Si联集起来的结果，而Sw则是将所有之前各阶段中的Si联集起来的结果。由于每一个阶段中的真理和假理都只可能比前一个阶段中的真理和假理来得更多，而不可能来得更少（因为强的K3语言具有单调性），因而这一序列对于”T”的解释只有可能使得”T”的外延和反外延持续地增加，绝无可能使之在任一阶段中变得比以前减少。现在，让我们问一下这个紧要的问题：在这一序列的解释M+、M+、M+、M+、当中，有没有可能每一个对于”T”的解释都是这样的：Si并不等于在M+之下为真的语句的集合，而Si也不等于在M+之下为假的语句的集合，因而对于”T”的解释并未能将之解释成L+在该解释下的真述词？如果这是可能的，那么，我们为L+建构一个真述词的希望就落空了。不过，稍微想想，我们便会知道这是不可能的。这件事之所以不可能，那是因为L+的语句只有可数的无限多个，而我们的解释阶段却可以有不可数的无限多个阶段。由于我们的强的K3语言L+具有单调性，因而，如果我们所设想的情况是可能的，那么，L中为真及为假的语句将会有不可数的无限多个，但这抵触了L+中的语句只有可数无限多个的事实，因而这个设想中的情况是不可能的。因此，在这一序列的解释当中，一定至少有一个解释M+是这样的：Sa刚好等于在M+之下为真的语句的集合，而Sa也刚好等于在M+之下为假的语句的集合。（而在该解释之后的每一个解释M+也都是这样的：Sb刚好等于在M+之下为真的语句的集合，而Sb也刚好等于在M+之下为假的语句的集合。）如果我们将+中的”T”解释成这样的（或任何之后的），那么，”T”就会是L+这个语言在该解释下的的真述词。到这里为止，Kripke算是完成了他的第一个目标：使用固定点论证去证明说，为了要能够一致性地谈论某个语言L中的语句是否为真，我们并非总是需要使用一个较L更为丰富的、或较L在阶层上来得更高的后设语言不可；一个像L+这样的三值的语言便可以包含自己本身的真述词，而不必然导致矛盾。像前述M+（或之后任何的M+）这样的解释，又叫一个固定点（fixed-point）的解释。一般性地说，对于任何的论元X和任何的一位函数f来说，如果f(X)=X，则X就叫做f的一个固定点。有些一位函数完全没有任何的固定点可言，如x+3这个函数；有些一位函数则只有一个固定点，如x2这个函数；但也有些一位函数有不只一个的固定点。我们在前三个段落中所说的重复建构的方法，其实定义了一个附加于M的、从”T”的各种解释到”T”的各种解释的一个函数k（这样的函数通常被称为”kapa-跳跃”（k-jump）：对于任何一个附加于模型的、对于”T”的解释来说，k()=，而其中的Sj是所有在的解释之下为真的语句的集合，而Sj则是所有在的解释之下为假的语句的集合。Kripke的上述建构法显示说，该函数至少有一个固定点。事实上，我们可以进一步证明说：函数k有不只一个的固定点，而在它的所有固定点中，上述的是其中最小的一个固定点；换句话说，对于任何k的其它固定点来说，SaSb而且Sa Sb。 相对地来说，马丁及伍卓夫(1975）所证明的是，在一个弱的K3语言上，我们可以定义出一个类似的函数k，而这个函数k会有一个最大的（maximal）固定点；亦即，没有常义延伸的固定点。在最小的固定点解释下，L+中的许多语句为真（如”F1c1”、 “TF1c1”、“TTF1c1”、“TTTF1c1”等等），许多的语句则为假（如”F1c1”、 “TF1c1”、“TTF1c1”、“TTTF1c1”等等），但也有许多语句是既不为真也不为假的语句（如”Tt”、”Tl”、”Tt”、”Tl”、”TTt”等等）。直觉上，在最小固定点的解释之下，”T”的外延包括了一切描述了非语意事实的语句、以及由这些语句和T双条件句可以推论出来的语句，而”T”的反外延则包括了一切描述了非语意的非事实的语句、以及由这些语句和T双条件句可以推论出来的语句；因而，它们在直觉上都是有根据的语句。Kripke因而称一个语句为有根据的语句，若且唯若，该语句属于最小固定点解释M+中”T”的外延或反外延。至此，Kripke算是完成了他的第二个目标：提供了一种数学上的工具，使得我们可以更为严谨地去界定有根据这个概念，并因而为真理是根据在非语意事实之上这个想法提供了更为严谨的说明。上述这些有关于固定点的想法的一个附带好处是：我们可以在其中严格地区分像（说谎者）这样的语句和像（老实人）这样的语句。直觉上来说，两者都是没有根据的语句（而它们在Kripke的理论中的确也都是没有根据的语句），但（说谎者）会导致吊诡的结果，而（老实人）则不会。为了区分这两者，Kripke定义吊诡的（paradoxical）语句如下：吊诡的语句在任何的固定点解释中都是既不为真也不为假的语句。由于（说谎者）”Tl”在所有的固定点解释中都既不为真也不为假，所以它是吊诡的语句；但（老实人）”Tt”则不是，”Tt”在有些固定点的解释下为真，在有些固定点解释下为假，而在有些固定点解释（如最小的固定点）下则是既不为真也不为假。我们可以很容易便可以看出：如何去将上述这些对于L+这个特殊的强的K3语言的研究结果加以进一步地推广。首先，除了”T”之外，这个语言里包含些什么样的述词或个体常元这件事情，对于证明上述的结果来说其实是没差别的。其次，任何一个三值或多值的语言，只要它具有单调性（或者说，只要我们在其上所定义的k-跳跃是单调的，这样的语言包括弱的K3及LP），我们都可以为之证明出类似上述的结果。最后，将这些结果限制在初阶语言之上似乎也是不必要的；同样的证明似乎同样可以用在比方说高阶的语言、带有通则化的量化词的语言、以及模态的语言之上。我说过，对于同一个语言，比方说L+，我们可以作出好几个不同的固定点解释；在每一个固定点的解释下，”T”都是该语言在该解释之下的真述词。但在这许多不同的解释当中，有没有哪一个才是正确的解释呢？Kripke（1975）倾向于将最小固定点的解释当作是正确的解释。但这样的解释有一个小的问题：在该解释下，像”x1(Tx1 Tx1)”这种直觉上为真的语句（以及许多在古典逻辑中是逻辑真理语架的例子的语句）变成了一个既不为真也不为假的语句，而这似乎违反了我们的直觉。不过，这个问题或许不是一个太大的问题：如果我们采取van Fraassen的超评估（supervaluation）多值逻辑，那么，我们便可以既采取最小固定点解释，又让”x1(Tx1 Tx1)”这种直觉上为真的语句（以及任何在古典逻辑中是逻辑真理语架的例子的语句）都变成真的语句 但Kripke（1975, 注30）说，如果我们认为句子之所以不真不假，那是因为它们并不表达命题的缘故，那么，使用van Fraassen的理论去解决这个小问题得作法就会变得不太有吸引力。Kripke的构想真正难以克服的问题似乎在于（Gupta, 2001）：K1. 在一个像L+这种具有固定点解释的强的K3语言中，如果我们将”pq”这样的语句理解为只是在缩写”(p q) & (q p)”这样的句子，那么，我们便可以很容易地证明：并不是每一个具有”Tp p”这种形式的语句在最小的固定点解释下都会为真。事实上，许多具有这种形式的语句（如”TTl Tl”）在任何一个固定点的解释下都是既不为真也不为假的语句。这个结果之所以会产生，主要是因为”p p”这种形式的语句在L+中甚至不是逻辑真理的缘故。 事实上，强的K3语言中没有任何的逻辑真理可言。但假如”p p”这种形式的语句在L+中都是逻辑真理，那么，由于在固定点的解释中任何一个语句”p”与”Tp”都会有相同的真假值，因而每一个具有”Tp p”这种形式的语句都将会在最小的固定点解释下为真。这个结果似乎显示说：具有固点点解释的多值语言似乎仍然会违反Tarski对于真理理论所提出的实质恰当性要求，而这个问题似乎无法透过前述的超评估逻辑来加以克服。K2. 如果我们想要引介一个比较强的真值函数连接词”到前述的L+中，以使得所有具有”p p”这种形式的语句都成为逻辑真理，并因而解决上述1中所提到的问题，（一个可以考虑的选项是下述这一个俗称为L3的逻辑当中的函数：(t,t)=(f,f)=(n,n)=t；(f,t)=(t,f)=f；在其它情况下，的值为n），那么，我们便会发现：如果这样一个强化后的语言满足一定的条件 这些条件包括：（1）该语言中至少有一个为假的语句A；（2）该语言中有一个名字”b”指称着”A Tb”这个语句；以及（3）该语言中有一个名字”c”指称着”Tb Tc”这个语句。满足这些条件的语言将会是不一致的；有关于这个证明，请参见Gupta（2001, p. 100）。，那么，它便会缺乏固定点解释，并因而缺乏自己的真述词。事实上，任何一个允许固定点解释的语言都必然是一个在表达功能上不完备的语言，换句话说，该语言一定有一些无法定义的真值函数；比方来说，在任何这样的语言中加入L3的连接词”（并满足前述的条件）或排除性的否定连接词（t=f, n=t, f=t），都会使得该语言不再具有固定点解释。具有固定点解释（并因而包含了自己的真述词）的语言因而在逻辑资源上是很贫乏的。K3. 有些具有固定点解释的语言不仅在逻辑资源上是很贫乏的，它们在语意上的资源也是很贫乏的。比方来说，虽然一个像L+这样的强的K3语言可以拥有自己的真述词和假述词（我们可以这样定义一个假述词”F”：”Fp”=df ”Tp”），但它却不可能拥有在L+中既不为真也不为假这样的述词，否则的话，该语言就会招致著名的延伸的说谎者（extended liar）的报复。K4. 对于一个像L+这种拥有固定点解释的多值语言来说，一个有关于对象语言与后设语言的区别似乎仍然是无法避免的。举例来说，（说谎者）在L+的任何一个固定点的解释中都是一个既不为真也不为假的语句，但这个事实却无法在对象语言中来加以断说：在固定点的解释下，对象语言中的”TTl & TTl”这个语句并不是一个真语句。上述的这个事实因而似乎只能在L+的后设语言中才能加以断说。但这些缺点仍然不足以让我们立刻对Kripke的构想宣判死刑。Kripe（1975）证明了，替一个多值的丰富语言提供一个一致性的真理定义是可能的，但他构想中的强的K3语言却无法满足Tarski的实质恰当性要求。不过，Field最近（2003, 2008）证明说，我们其实可以有一个一致的、比L+或任何K3的语言都来得更具有表达力的、满足Tarski实质恰当性要求的、同时还有着固定点解释与真述词的三值语言。Field的作法是直接替一个像L+这样的强的K3语言引入一个非真值函数的条件句连接词”，然后证明这样的语言不仅仍然会有一个固定点的解释，而且所有的T-双条件句Tp p 在Field所提议的语言中，”p q”缩写了”(p q) & (q p)”。在该解释下也都会为真。事实上，Field（2003）替这样的语言提供了两种语意论：限制性的语意论（restricted semantics）以及一般性的语意论（general semantics）；但为了简单说明起见，我将只说明前者。让我们假设，我们已经将一个初基的连接词”加入到前述的L+中，并因而形成L这个语言。除了前述L+的文法规则之外，L还有一个额外的文法规则：如果f和y是两个式子，则(f y)仍然是一个式子。Field的限制性语意论与前述L+的语意论基本上并无不同，但由于L中还有一个额外的连接词”，因而Field必须说明如何对一个具有(f y)这种形式的条件句来加以赋值。Field的限制性语意论企图透过一系列、无穷多个固定点PK（K是1, 2, w, 中任意的一个序数）而对这样的条件句加以赋值，而这些固定点之间的关系是这样的：每一个固定点PK都是由某个起始的、对于所有条件句的赋值SK所建构起来的，而每个起始点SK如何对条件句加以赋值这件事，则视它之前的固定点如何对语句加以赋值而定。更详尽地说，S0、S1、Sw等等这些起始点对于条件句的赋值方式是这样决定的：1. 基础阶段：对于所有的f及y来说，S0(f y) = n。2. 后续点（successor）阶段：对于任何一个后续序数K+1来说，如果PK(f) PK(y)，则SK+1(f y) = t；否则的话，SK+1(f y) =