含绝对值不等式的解法 新课标 人教

含绝对值不等式的解法 一 复习目标 掌握解含绝对值的不等式的方法 步骤与技巧 二 重点解析 1 绝对值等式与不等式具有的性质及运算法则是解绝对值不等式的依据 2 解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号 基本方法有如下几种 1 分段讨论 2 利用等价不等式 f x g x g x f x g x f x g x f x g x 或f x g x 两端同时平方 即运用移项法则 使不等式两边都变为非负数 再平方 从而去掉绝对值符号 三 知识要点 2 f x 0 a f x a x a 的几何意义 数轴上表示数x与a的两点间的距离 f x a a 0 f x a f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f2 x g2 x 3 形如 x a x b c a b 的绝对值不等式的解法有二 零点分区间讨论法 运用绝对值的几何意义 4 重要绝对值不等式 a b a b a b 使用时 特别是求最值 要注意等号成立的条件 即 a b a b ab 0 a b a b ab 0 a b a b b a b 0 a b a b b a b 0 注 a b a b a a b b a b b a b b b a b 0 同理可得 a b a b b a b 0 典型例题1 解不等式 x 1 x 3 5 解 原不等式的解集是下面三个不等式组解集的并集 满足 的x不存在 典型例题1 解不等式 x 1 x 3 5 另解 如图 数轴上表示数 1 3的两个点之间的距离为4 学一学 练一练 不等式 x 4 x 3 a有解 求a的取值范围 解 不等式 x 4 x 3 x 4 x 3 成立 a大于数轴上表示数3与4的两点间的距离1 故a的取值范围是 1 或先考虑无解时a的范围 典型例题2 解法一零点分区间讨论 解不等式 x 3 x 3 3 原不等式等价于 解法二两边平方 原不等式等价于 x 3 x 3 2 9 即2x2 9 2 x2 9 2x2 9 2 2 x2 9 2 即4x2 9 0 典型例题2 解法三利用绝对值不等式性质 解不等式 x 3 x 3 3 3 x 3 x 3 x 3 x 3 2x 即2 x 3 学一学 练一练 解 x2 3 x 3 1 1 x2 3 x 3 1 解不等式 x2 3 x 3 1 典型例题3 x 4或 1 x 1或x 4 原不等式的解集为 4 1 1 4 典型例题3 9x2 x2 4 2 x 2 x4 17x2 16 0 x2 1或x2 16 x 4或 1 x 1或x 4 原不等式的解集为 4 1 1 4 学一学 练一练 学一学 练一练 备选题1 2 x 2 x 3 4等价于 1 x 2 2 x 1或1 x 2 故原不等式的解集为 2 1 1 2 备选题2 解 m R 可讨论如下 1 2m 3x 2 2m 1 解关于x的不等式 3x 2 2m 1 m R 备选题3 解 依题意当x 3时 不等式 x2 4x p x 3 5恒不成立 当x 3时 x2 4x p x 3 5恒成立 即当x 3时 x2 4x p 8 x恒成立 即x2 4x p 8 x或x2 4x p x 8对3 x 8恒成立 显然当x 8时 x2 4x p 8 x恒成立 只要当38 x恒成立即可 由 式对3 x 8恒成立得p 8 由 式对3 x 8恒成立得p 32 p 32或p 8 已知符合不等式 x2 4x p x 3 5的x的最大值为3 求p的值 但当x 3时 x2 4x p x 3 5要成立 即 p 3 5 2 p 8 故由 知p 8 备选题4 解 1 f 0 f 1 b 1 a b a 1 f x x3 x b x22 x1x2 x12 1 x1 x2 1 1 且x1 x2 0 x22 x1x2 x12 3 即 k 2 2 0 x1 x2 1 已知函数f x x3 ax b定义在区间 1 1 上 且f 0 f 1 又P x1 y1 Q x2 y2 是其图象上任意两点 x1 x2 1 设直线PQ的斜率为k 求证 k 2 2 若0 x1 x2 1 求证 y1 y2 1 1 x22 x1x2 x12 1 2 x22 x1x2 x12 1 2 由 1 知 y2 y1 2 x2 x1 2 x2 x1 又 y2 y1 f x1 f x2 f x1 f 0 f 1 f x2 f x1 f 0 f 1 f x2 2 x1 0 2 1 x2 2 x1 x2 2 即 y2 y1 2 x1 x2 2 得 2 y1 y2 2 y1 y2 1 备选题5 解 原不等式等价于 2x m x m x m 2x m x m x 0且x 2m 当m 0时 x不存在 当m 0时 0 x 2m 故当m 0时 原不等式的解集为 当m 0时 原不等式的解集为 0 2m 备选题6 解关于x的不等式 x2 2x 3 a 解 显然当a 0时 x R 当a 0时 x2 2x 3 a x2 2x 3 a或x2 2x 3 a 由 方程x2 2x 3 a 0中 16 4a 0 其两不等根为 即a 0时 x2 2x 3 a 0 或x2 2x 3 a 0 由 方程x2 2x 3 a 0中 16 4a 当a 4时 0 x不存在 当0 a0 方程x2 2x 3 a 0的两不等根为 解法二 数形结合利用函数y x2 2x 3 及y a的图象求解 备选题7 解 由题设A x 2a x a2 1 方程x2 3 a 1 x 2 3a 1 0的解为x 2或x 3a 1 2a 3a 1且a2 1 2 解得a 1 2a 2且a2 1 3a 1 解得1 a 3 综上所述 使A B的a的取值范围是 1 1 3 备选题8 解不等式 logax loga ax2 2 0 a 1 解 令t logax 则原不等式等价于 t 1 2t 2 t 2 1 2t t 2 2 1 2t 2 t2 4 t 4 4t2 4t 1 4t 3t2 4t 3 3t2 4t 3 4t 3t2 4t 3 3t2 8t 3 0且3t2 3 0 解得t1 即logax1 0 a 1 x a 3或0 x a 原不等式的解集为 0 a a 3 备选题9 解 原不等式等价于 备选题10 解法1原不等式等价于x x2 2 x2 3x 4或x x2 2 x2 3x 4 x2 2x 1 6 解不等式 x x2 2 x2 3x 4 原不等式的解集为 3 即x 3 解法2 x x2 2 x2 x 2 而x2 x 2 0恒成立 原不等式等价于x2 x 2 x2 3x 4 即2x 6 x 3 原不等式的解集为 3 备选题11 解 1 由 x 1 a 1 0得 x 1 1 a 当1 a1时 x R 当1 a 0即a 1时 x2 a 故当a 1时 原不等式的解集为R 当a 1时 原不等式的解集为 a 2 a 2 由题设 当a 1时 CUA 当a 1时 CUA x a x 2 a 2sin x 由2sin x 0得 x k k Z 即x k Z B Z 当 CUA B恰有三个元素时 a应满足 a 1且2 2 2a 4 解得 1 a 0 备选题12 1 证 当 1 x 1时 f x 1 取x 0有 c f 0 1 即 c 1 2 证 g x ax b的图象是一条直线 只需证明 g 1 2且 g 1 2 由已知 f 1 1 f 1 1 又由 1 知 c 1 g 1 a b f 1 c f 1 c 1 1 2 已知a b c是实数 函数f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1时 f x 1 1 证明 c 1 2 证明 当 1 x 1时 g x 2 3 设a 0 当 1 x 1时 g x 的最大值为2 求f x g 1 a b f 1 c f 1 c 1 1 2 g 1 2且 g 1 2 当 1 x 1时 g x 2 备选题12 已知a b c是实数 函数f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1时 f x 1 1 证明 c 1 2 证明 当 1 x 1时 g x 2 3 设a 0 当 1 x 1时 g x 的最大值为2 求f x 由已知及绝对值不等式的性质得 1 1 2 当 1 x 1时 g x 2 备选题12 3 解 a 0 g x 在 1 1 上是增函数 又 当 1 x 1时 g x 的最大值为2 已知a b c是实数 函数f x ax2 bx c g x ax b 当 1 x 1时