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复 数 的 综 合 复 习例1 填空题：（1）若复数所对应的点在第三象限内，则实数的取值范围是 。（2）设，当 时，；当 时，；当 时，为纯虚数；当 时，。（3）满足的实数 ，纯虚数 。（4）在复数集上，方程的解集是 。解（1）复数所对应的点在第三象限， 。（2）；为纯虚数；。（3）当时，；当为纯虚数时，设，则， 。（4）原方程 或 或， 原方程的解集为。例2 单项选择题：（1）设复数满足关系式，那么的值为 （ ）（）； （）； （）； （）。（2）与命题“复数、不都为零”等价的命题是 （ ）（）； （）；（）； （）。（3）把复数对应的向量绕原点顺时针旋转，得到的向量所对应的复数是 （ ）（）； （）； （）； （）。（4）虚数、互为共轭复数的充要条件是 （ ）（）； （）；（）； （）以上都不对。解（1）；（2）；（3）；（4）。例3 已知，求复数模的取值范围。解：，当时，；当时， 。例4 关于的方程有实数解，求复数的模的最小值。解：由方程的常数项非零知方程没有零根，设方程的非零实根为，则，等号成立， 。例5 已知，求在复平面中的对应点的轨迹。解：设，则，消去参数得，由，故在复平面中的对应点的轨迹是抛物线的一部分，即，。例6 已知 满足，求复数 在复平面内对应点所围成区域的面积解： ， 。例7 已知平行四边形的四个顶点按逆时针排列，其三个顶点、所对应的复数分别是、，求（1）向量、对应的复数；（2）点对应的复数。解（1）记，它们在复平面上对应的向量分别为，。由 向量对应的复数是，向量对应的复数是；（2）注意到，则由向量，即点对应的复数是。例8 正三角形的一个顶点在原点，中心为，求正三角形另外两个顶点的坐标。解：由条件可得，正三角形另外两个顶点、关于直线：对称，设交于，记、在复平面上对应的复数分别为、，由分为：，则，由、关于点对称可设，则 又，则 解、联立的方程组得：或，因而正三角形另外两个顶点为：。例9 已知方程。（1）若方程有实根，求的值与相应方程的根；（2）若方程有纯虚数根，求的值与相应方程的根。解（1）设方程的实根为，则原方程，当时，原方程，设方程的另一根为，由韦达定理得：； ，原方程的解集为。（2）设方程的纯虚数根为，则原方程 ，当时，原方程，设方程的另一根为，由韦达定理得：； ，原方程的解集为。 例10 方程两根为、且，求实数的值。解：1当，即时， ，则，矛盾；或；2当，即时，则；综合可得：。例11 求同时满足下列两个条件的所有复数：（1）且；（2）。解：，若，则，由与同号得：，不符合条件（1）
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