多面体中无棱二面角的求法

多面体中无棱二面角的求法 一平行类 二相交类 图中两平面已有一个公共点 依据公理二及直线 平面 平面 平面 的性质定理 待求二面角的棱必过该点且平行于图中某一直线 图中两平面已有一个公共点 根据几何图形的几何特征 只需运用平面几何知识找出另一个公共点即可得到二平面的交线 即待求二面角的棱 已知斜三棱柱ABC A1B1C1的棱长都是a 侧棱与底面成600的角 侧面BCC1B1 底面ABC 例1 1 求证 AC1 BC 2 求平面AB1C1与平面ABC所成的二面角 锐角 的大小 D l 证明 1 作C1D CB于D 面BCC1B1 面ABC C1D 面ABC CD为C1C在底面ABC上的射影 C1CD 60O 2CD a ABC是正三角形 AD CB 由三垂线定理知AC1 CB 解 2 A是面AB1C1与面ABC的一个交点 面AC1B1与面ABC有且仅有过A点的一条直线 设为l 面A1B1C1 面ABC 由两平面 平行的性质定理知 C1B1 l l 面AC1D C1AD为所求二面角的平面角 C1D C1AD 45O 所成的二面角为45O AD 又C1B1 CB l CB 由 1 知CB 面AC1D 在直角三角形AC1D中 故平面AB1C1平面ABC 练习1 如图 四棱锥P ABCD的底面是正方形 PA 平面ABCD 2 PA AB 求平面PAB与 平面PCD所成的二面角 锐角 的大小 l 解 P是面PAB与PCD的一个公共点 由公理2知这两个平面有且仅有过点P的一条 公共直线 记面PAB 面PCD l CD BA CD 平面PAB 又平面PCD 经过直线CD且与平面PAB交于l 由直线与平面平行的性质 定理知l CD 易证得 APD为平面PAB与平 面PCD所成二面角 且 APD arctg2 即为所求 例2 在正三棱柱ABC A1B1C1中 E BB1 截面A1EC 侧面AC1 1 求证 BE EB1 2 已知AA1 A1B1 求平面A1EC与平面 ABC所成二面角 锐 角 的大小 E D 解 2 A1是平面A1EC 与平面A1B1C1的一个公共点 只需找到另一个公共点即可 EB1 CC1且CC1 2EB1 CE与C1B1延长后必交于一点D 连A1D即为面A1EC与面A1B1C1 的交线 DB1 B1C1 A1B1 且 A1B1D 600 DA1B1 300 C1A1D 900 即C1A1 A1D 由三垂线定理知CA1 A1D CA1C1为平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的 平面角 易知 CA1C1 450 又面ABC 面A1B1C1 故面A1EC与面ABC所成的二面角为450 证明 1 过E作EF A1C 则EF 平面AC1 F 取AB的中点G G 连BG ABC是正 BG AC 又面ABC 面AC1 BG 面AC1 EF BG EF BG共面 又BE 面AC1 BE FG EBGF为平行四边形 BE与FG平行相等 又BE AA1 FG AA1 而G为AC的中点 AA1 2FG BB1 2BE 故BE EB1 于F 练习2 E 解 由已知 延长DA与CB必相交于一点E 则E为面PAD与PBC的又一公共点 连PE 则 PE为所求二面角的棱 由已知 EB BC 10 PB PBE 1200 EPB 300 EPC 900 即EP PC 又CD 面PAD 由三垂线定理的逆定理知 PD PE DPC为所 求二面角的平面角 在直角 PCD中 sin CPD 即为所求 思考题 如图 在底面是直角梯形的四棱锥S ABC