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空间向量及其运算 主讲教师：巫宇霞【知识概述】一、基本概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模单位向量长度或模为1的向量零向量长度为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量向量a，b的夹角过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则AOB叫作向量a，b的夹角，记作a，b，范围是0，.当a，b=时，记作ab；当a，b=0或时，记作ab.平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量二、共线、共面问题和空间向量基本定理1.共线问题对空间任意两个向量a，b（b0），共线的充要条件是存在唯一实数，使a=b.2.共面问题p=xa+yb，其中x，yR，a，b为不共线向量.3.空间向量基本定理如果e1, e2, e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么唯一一组实数组1，2，3，使得a=1 e1+2 e2+3 e3. e1, e2, e3叫作空间的一个基底.三、空间向量的基本运算1.空间向量的线性运算设，则， ， .2.向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫作a，b的数量积，记作ab，即ab=|a|b|cosa，b.3.数量积的运算律结合律：a）b=ab；交换律：ab=ba；分配率：a(b+c)= ab+ ac.4.共线与垂直的坐标表示设，则aba=b ，（a，b均为非零向量）5.模、夹角和距离公式设，则，【学前诊断】1. 难度易设A、B、C、D四点坐标依次是A(1，0)，B(0，2)，C(4，3)，D(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2. 难度中已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )A.30B.150C.150D.30或1503. 难度中如图，在ABC中，设=a，=b， =c,=a,(0 1), =b(01),试用向量a，b表示c.【经典例题】例1 给出下列命题：，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段； 若ab0,若ab，则x的值为()A8 B4 C2 D0 例4. 已知空间三个向量 a(1，2，z)，b(x，2，4)，c(1，y, 3 )，若它们分别两两垂直，则x_，y_，z_.例5. 平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，则AC1的长为_例6. 如图所示，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAAD2DCAB1，M是PB的中点求AC与PB所成角的余弦值；例7. 如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BED1 F .证明：A、E、C1、F 四点共面.【本课总结】要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的重点的向量，我们可以把这个法则成为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点（P,A,B）共线空间四点（M,P,A,B）共面且同过点P对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O，空间向量的数量积运算与坐标运算：当题目条件有垂直关系时，转化为数量级为零进行应用；异面直线所成的角，利用它们所在的向量转化为向量的夹角来进行运算，应该注意的是，所以；立体几何中求线段的长度可以同过解三角形，也可依据转化为向量的数量积求解.间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比，可以比较容易地掌握空间向量的坐标运算问题. 【活学活用】1 难度易在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a，b共线的充要条件；若ab，则存在惟一的实数，使ab；若ab0，bc0，则ac；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一基底；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3 C4 D5 2 难度中已知a与b是非零向量且满足