2019_2020学年高中数学第1章三角函数1.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象教案（含解析）新人教A版必修4.docx

1.5函数yAsin(x)的图象学 习 目 标核 心 素 养1.理解参数A、对函数yAsin(x)的图象的影响，能够将ysin x的图象进行变换得到yAsin(x)的图象(重、难点)2.会用“五点法”画函数yAsin(x)的简图；能根据yAsin(x)的部分图象确定解析式(重点)3.求函数解析式时值的确定(易混点)1.通过观察参数A、对函数yAsin(x)图象变化的影响，领会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，提升学生直观想象素养.2.通过对函数yAsin(x)图象和性质的研究，使学生体会数形结合思想的作用，提升数学抽象素养.1对ysin(x)，xR的图象的影响2(0)对ysin(x)的图象的影响3A(A0)对yAsin(x)的图象的影响4由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”先平移后伸缩ysin x的图象ysin(x)的图象ysin(x)的图象yAsin(x)的图象先伸缩后平移ysin x的图象ysin x的图象ysin(x)的图象yAsin(x)的图象思考：由函数ysin x的图象平移多少个单位得到ysin(x)个单位？为什么？提示平移个单位，而不是平移|单位，原因是图象的变换是针对x而言，并非针对x而言5函数yAsin(x)，A0，0中参数的物理意义1函数ysin 4x的图象可由函数ysin x的图象经过怎样的变换得到()A所有点的横坐标变为原来的4倍B所有点的横坐标变为原来的C所有点的纵坐标变为原来的4倍D所有点的纵坐标变为原来的Bysin x图象上所有点的横坐标变为原来的后变为ysin 4x的图象2要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度Bysinsin 4，故只需将ysin 4x图象向右平移个单位即可得到3函数yAsin(x)1(A0，0)的最大值为5，则A_4由已知得A15，故A4.4函数y3sin的频率为_，相位为_，初相为_x频率为，相位为x，初相为.作函数yAsin(x)的图象【例1】用“五点法”画函数y2sin在一个周期内的简图思路点拨：列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x取0，2即可找到五点解先画函数在一个周期内的图象令X3x，则x，列表如下：X02xy020201本例中把“一个周期内”改为“”，又如何作图？解x，3x，列表如下：3x2x0y120201描点，连线2本例中，把“五点法”改为“图象变换法”，怎样画法？解法一：(先平移再伸缩)ysin xysinysiny2sin.法二：(先伸缩再平移)ysin xysin 3xysiny2sin.1确定函数yAsin(x)的图象一般有两种方法：(1)“五点法”；(2)图象变换法2用“五点法”作函数yAsin(x)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点3用“五点法”作函数yAsin(x)图象的步骤是：第一步：列表：x02xy0A0A0第二步：在同一坐标系中描出各点第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象1已知f(x)1sin，画出f(x)在上的图象解列表：x2x0f(x)211112三角函数图象之间的变换【例2】(1)将函数ycos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为_(2)将ysin x的图象怎样变换可得到函数y2sin1的图象？思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式(2)法一：ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移法二：左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移(1)ycos 2x3ycos的图象向左平移个单位长度，得ycoscos(2x)cos 2x，再向下平移3个单位长度得ycos 2x3的图象(2)解法一：(先伸缩法)把ysin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y2sin x的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y2sin 2x的图象；将所得图象沿x轴向左平移个单位，得y2sin 2的图象；将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y2sin1的图象法二：(先平移法)将ysin x的图象沿x轴向左平移个单位，得ysin的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得ysin的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y2sin的图象；将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y2sin1的图象1本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数y2sin1图象怎样变换可得到函数ysin x的图象？解y2sin1y2sinysinysinysin x.2本例(2)中把“ysin x”改为“ycos x”，该怎样变换？解ycos xsin，ycos xsinysinysiny2siny2sin1.由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin(x)(A0，0)的图象，其变化途径有两条：(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)(2)ysin xysin xysin(x)sin(x)yAsin(x)提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|个单位(2)是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意2(1)要得到ycos的图象，只要将ysin 2x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位(2)把函数yf(x)的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y2sin，则f(x)的解析式是()Af(x)3cos x Bf(x)3sin xCf(x)3cos x3 Df(x)sin 3x(1)A(2)A(1)因为ycossinsinsin 2，所以将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ycos的图象(2)y2siny3siny3siny3sin3sin3cos x已知函数图象求解析式【例3】(1)已知函数f(x)Acos(x)B的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Ay2cos4 By2cos4Cy4cos2 Dy4cos2(2)函数f(x)Asin(x)中A0，0，|，且图象如图所示，求其解析式思路点拨：由最大(小)值求A和B，由周期求，由特殊点坐标解方程求.(1)A由函数f(x)的最大值和最小值得AB6，AB2，所以A2，B4，函数f(x)的周期为44.又0，所以，又因为点在函数f(x)的图象上，所以62cos4，所以cos1，所以2k，kZ，所以2k，kZ，又|，所以，所以f(x)2cos4.(2)解法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A3，T，所以2，又由点，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)20得，所以f(x)3sin.法二：(方程法)由图象知，振幅A3，T，所以2，又图象过点，所以f3sin0，所以sin0，k(kZ)又因为|，所以k0，所以f(x)3sin.法三：(变换法)由图象知，振幅A3，T，所以2，且f(x)Asin(x)是由y3sin 2x向左平移个单位而得到的，解析式为f(x)3sin3sin.确定函数yAsin(x)的解析式的关键是的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)(2)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口“五点”的x的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x；“第五点”为x2.3.设函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则A_3由图象可以看出A2，由T42，由2得1，又2sin2且得，所以A213.三角函数图象与性质的综合应用探究问题1如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和yAcos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴函数yAsin(x)对称轴方程的求法：令sin(x)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)；函数yAcos(x)对称轴方程的求法：令cos(x)1，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象的对称轴方程为x(kZ)2如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和yAcos(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点函数yAsin(x)对称中心的求法：令sin(x)0，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAsin(x)的图象关于点(kZ)成中心对称；函数yAcos(x)对称中心的求法：令cos(x)0，得xk(kZ)，则x(kZ)，所以函数yAcos(x)的图象关于点(kZ)成中心对称【例4】(1)已知函数f(x)sin(0)，若ff，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则()AB CD(2)已知函数f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求和的值思路点拨：(1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求的值(2)先由奇偶性求，再由图象的对称性和单调性求.(1)B因为ff，所以直线x是函数f(x)图象的一条对称轴又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以当x时，f(x)取得最小值所以2k，kZ，解得8k(kZ)又因为T，所以12.又因为0，所以k1，即8.(2)解由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，f(x)在x0时取得最值，即sin 1或1.依题设0，解得.由f(x)的图象关于点M对称，可知sin0，即k，解得，kZ.又f(x)在上是单调函数，所以T，即.2，又0，k1时，；k2时，2.故，2或.1将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数”改为“在区间上为增函数”，试求的最大值解因为f(x)是奇函数，所以f(0)sin 0，又0，所以0.因为f(x)sin x在上是增函数所以，于是，解得0，所以的最大值为.2本例(2)中增加条件“1”，求函数yf2(x)sin 2x，x的最大值解由条件知f(x)sincos 2x.由x得2x，sin 2x，yf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x.所以当sin 2x时，ymax.1正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数，当k(kZ)时为偶函数；对于函数yAcos(x)，当k(kZ)时为偶函数，当k(kZ)时为奇函数2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)确定函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间1本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式2函数图象的画法有两种：一是五点法；一是图象变换法3A，对函数图象的影响(1)的不同取值，决定着yAsin(x)的起始位置(x0)；(2)的取值，决定了函数图象的横坐标的取值情况，进而决定了函数的周期；(3)A的取值情况，决定了函数图象的最高点和最低点，即函数的值域1下列判断正确的是()A将函数ysin的图象向右平移个单位可得到函数ysin x的图象B将函数ysin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍即可得到函数ysin x的图象C将函数ysin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数ysin的图象D函数ysin的图象是由函数ysin 4x的图象向右平移个单位得到的BA错，应该向左平移个单位；C错，横坐