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第四章 向量空间 自测题 （75分钟）一、选择、填空（20分，每小题4分）1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R上一个向量空间的是（ ）。（A）Rn中，分量满足x1+x2+xn=0的所有向量；（B）Rn中，分量是整数的所有向量；（C）Rn中，分量满足x1+x2+xn=1的所有向量；（D）Rn中，分量满足x1=1，x2，xn可取任意实数的所有向量。2设R4 的一组基为令，则子空间的维数为 ，它的一组基为 。3. 向量空间Rn 的子空间 的维数为 ，它的一组基为 。4. 设W是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即，则它的维数为 ，一组基为 。5若A=为正交矩阵，且|A|=1，则= ，= 。二、计算题（60分）1.（15分）设R3的两组基为：和，向量=（2，3，3）T（1）求由基到基的过渡矩阵。（2）求关于这两组基的坐标。（3）将化为一组标准正交基。2. （15分）在R4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，3（20分）已知是3维向量空间R3的一组基，向量组满足（1）证明：是一组基。（2）求由基到基的过渡矩阵。（3）求向量关于基的坐标。4（10分）已知A是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|AE|。三、证明题（20分）1. （5分）设，且。证明：。2. （5分）设A为正交矩阵，证明：A*为正交矩阵。3（10分）设A、B为n阶正交矩阵，且|A|B|。证明：A+B为不可逆矩阵。参考答案一、选择、填空1 A2 dimW=3，一组基为3 dimW=n-2，一组基为4 dimW3，一组基为。5 =，=二、计算题1(1)基到基的过渡矩阵: (2) 关于的坐标是（0，1，1）关于的坐标是（1，1，2） （3）。2解空间的维数是2，一组基为。3（1）提示：证明与等价，从而r()=3，线性无关。 （2）基到基的过渡矩阵为。 （3）向量关于基的坐标为(2，-5，1)。4 。三
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