文科高等数学课程教学大纲.doc

人文学科类数学课程设置和教学内容、体系改革的研究与实践文科高等数学课程教学大纲 （法政类）周学时4, 4总学时136 学分4, 4教学对象（本课程适合的专业和年级）：适于人文与社会学科各专业本科生，包括社会学、哲学、政治学、法学系等各专业一年级本科生。预备知识： 初等数学的基础知识，包括二元、三元线性方程组，直角坐标系，函数及其图形（基本初等函数），排列、组合等。课程在教学计划中的地位作用： 本课程是以上各专业的基础课程，为一年级必修课程。课程的基本要求：文科类高等数学是一门重要的基础课，通过一学年的学习，学生将系统地获得线性代数、微积分、概率和统计、逻辑等一些最基本的知识，较好地掌握基本概念、基本运算、基本技巧。它以某些数学知识为载体，通过知识的学习，使学生潜移默化的接受逻辑思维训练，达到提高逻辑推理与抽象思维能力，这样能更好地改善文科大学生的综合素质，使他们在今后长期的生活、工作中受益，发挥潜移默化的不可替代的作用。课程内容及学时分配：第一学期 68学时第一章 线性代数（18学时） 第1节 矩阵及其初等变换（4学时）111 n线性方程组。n线性方程组，n齐次线性方程组，方程组的特解，通解，同解（等价）方程组，上三角形方程组，阶梯形方程组。 112 矩阵的定义。 矩阵，方阵，行向量，列向量，矩阵相等，零矩阵，转置矩阵。 113 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 线性方程组的系数矩阵，线性方程组的增广矩阵。 114 矩阵的初等变换。 矩阵的初等行变换，矩阵的初等列变换。 115 阶梯形矩阵。 阶梯形矩阵，矩阵的秩，标准形矩阵。本节从线性方程组的求解导出矩阵、初等变换和秩的定义，要求掌握矩阵的基本概念，熟练运用初等变换将矩阵化成阶梯形矩阵，从而掌握求矩阵的秩的方法，并能求出一般线性方程组的解。 第2节 矩阵的运算（6学时） 121 矩阵的加减法。 同形矩阵，两个矩阵的和，两个矩阵的差，负矩阵，矩阵加法的基本性质。 122 矩阵的倍数。矩阵的倍数（矩阵与数的乘法，矩阵的数乘），数乘运算的基本性质。 123 矩阵乘法的定义。两个矩阵乘积，两个矩阵能够相乘的条件。 124 矩阵乘法的性质。 矩阵乘法的基本性质，单位矩阵。 125 矩阵的逆。 逆矩阵，逆矩阵的基本性质。 126 可逆矩阵方程。可逆矩阵方程，可逆矩阵方程的求解。本节要求掌握矩阵运算的基本法则学会用矩阵的乘法重新解释线性方程组中各个量之间的关系，熟练运用矩阵的初等变换求矩阵的逆和可逆矩阵方程的解。第3节 行列式（4学时）131 二、三阶行列式。二阶行列式，三阶行列式，系数行列式。132 行列式的定义。行列式，任一元素的余子式和代数余子式，行列式按某行或某列展开式。133 行列式的基本性质。134 行列式的扩展性质。135 行列式的计算。上三角形行列式，下三角形行列式。136 对逆矩阵的应用。满秩矩阵，非奇异矩阵，奇异矩阵。137 *线性方程组求解的克拉默法则。138 *克拉默法则的应用求逆矩阵。伴随矩阵，克拉默法则的应用求逆矩阵。本节要求了解行列式的定义，掌握行列式的性质，能熟练计算低阶数字行列式的值，理解行列式对于判别方阵是否可逆的作用。第4节 一般线性方程组的求解（4时）141 线性方程组在几何中的应用。142 线性方程组的一般理论。线性方程组的解存在的定理，齐次线性方程组的解存在的定理。143 *性方程组在经济中的应用。本节要求熟练掌握一般线性方程组的求解方法，初步了解线性方程组在实际中的一些应用。第二章 微积分 50学时第1节 函数（2学时）映射，函数，分段函数，函数四则运算，复合函数，反函数，初等函数，函数的奇偶性，函数的周期性，函数的单调性，函数的有界性，经济学函数，数列，*多元函数，*数理语言学。本节要求在复习中学函数知识的基础上加深理解函数概念。1掌握由已知函数产生新函数的方法函数的四则运算、函数的复合、反函数，归纳出初等函数的概念； 2扩展对函数种种实例的认识，熟悉基本初等函数的图象；3 结合图象 理解函数的四种性态：奇偶性、周期性、单调性、有界性。第2节 极限（8学时）221 数列的极限。数列的极限（数列收敛），数列发散。222 函数极限的概念。函数在某个自变量变化过程中的极限，左极限，右极限。223 极限运算的性质。224 函数的连续性。函数在某点的连续性，左连续，右连续，函数在开区间连续，函数在闭区间连续。225 两个重要极限。226 无穷小量和无穷大量。无穷小量，无穷大量，有界变量与无穷小量之间的关系。227 无穷小量的等价。无穷小量的等价，无穷小量的等价代换。228 无穷大量的等价。229 应用举例。2210 *函数极限的分析定义。本节要求在中学数列极限的基础上掌握函数极限的直观意义和运算法则，学会运用重要极限： ， 。 计算一些函数或数列的极限，理解无穷小量与无穷大量及其等价的意义，掌握运用无穷小量等价计算极限的方法，了解初等函数的连续性，初步了解极限概念的应用。 第3节 导数与微分（8学时） 231 曲线的切线斜率232 导数的定义。自变量的改变量，函数的改变量，函数的差商（平均变化率），函数在某点可导。233 变化率的问题。瞬时变化率，运动速度问题，经济学函数的边际值，经济学函数的边际函数。234 微分的概念。微分，微分近似计算公式，可导与可微的关系。235 导数与微分的四则运算。导数与微分的四则运算公式。236 复合函数的导数与微分。复合函数的导数与微分的链锁法则。237 基本初等函数的导数与微分公式。238 导数的导数二阶导数。二阶导数，高阶导数。239 *隐函数方程的导数与微分。2310 *经济学函数的弹性。相对改变量，平均弹性，弹性。2311 *微分作近似计算。计算函数值的近似公式。2312 *二元函数的导数与微分。偏导数，全微分。2313 *分段函数的导数。可导与连续之间的关系，左导数，右导数，可导的充分必要条件。本节要求深刻理解导数与微分的基本概念，学会运用求导法则熟练计算初等函数的导数与微分，并要求了解导数与微分在有关变化率实际问题中的初步应用。第4节 导数的应用（8学时） 241 复习根轴法 根轴，符号曲线，根轴法。242 函数的单调性。函数单调性的判定方法。243 函数达到极值的必要条件。极值，极值点，极大值，极大值点，极小值，极小值点，驻点，函数达到极值的必要条件。244 函数达到极值的充分条件。函数达到极值的第一充分条件，函数达到极值的第二充分条件。245 函数的最值。最大值，最小值，最值，最值点，最值的求解。246 最值问题的应用举例。247 洛必达法则。型不定式的求法，型不定式的求法，其他不定式的求法。248 *幂指函数的极限。本节学习导数的应用，要求掌握运用导数分析初等函数单调性与极值的方法，并会分析解决几何与经济学中简单的最值问题。第5节 不定积分（8学时）251 原函数与不定积分的概念。原函数，不定积分，积分常数，积分法。252 基本积分公式表。253 不定积分的线性运算。254 第一换元法（凑微分法）。255 第二换元法。256 分部积分公式。257 积分表的使用。本节要求掌握原函数与不定积分概念，熟悉基本积分公式表，并会运用两种换元法与分部积分公式求解简单可积初等函数的积分。第6节 定积分（8学时）261 运动物体走过的路程。262 曲边梯形的面积与定积分的概念。曲边梯形，定积分，可积函数。263 微积分基本定理。264 *微积分基本定理的几何解释。265 定积分的基本性质。266 定积分的换元法。267 定积分的分部积分法。268 无穷区间上的广义积分。广义积分，广义积分收敛，广义积分的值，广义积分发散。本节要求掌握定积分概念及与不定积分的关系微积分基本定理，会用换元法与分部积分公式计算简单可积初等函数的定积分，了解无穷区间上广义积分的数学意义，并会计算一些简单函数的广义积分。第7节 积分应用（8学时）271 变化率的反问题。272 用定积分计算平面图形的面积。273 定积分一般应用举例。*微元法，旋转体体积的求法。274 可分离变量的微分方程。微分方程，微分方程的解，通解，积分曲线组，特解，积分曲线，可分离变量的微分方程，可分离变量的微分方程的解法。275 *几种常用的模型。指数模型，学习模型，逻辑斯蒂模型。本节同时介绍不定积分与定积分的应用，要求掌握已知变化率求原函数的应用问题解法与可分离变量微分方程的解法，要求掌握定积分计算平面图形面积的方法。 第二学期 68学时第三章 概率统计（64学时）第1节 随机事件及其运算（3学时）311 随机试验。随机试验，随机试验的特点。312 随机事件。随机事件，必然事件，不可能事件，基本事件，基本事件组，样本空间。313 事件间的关系。包含与相等，事件的和（或并），事件的积（或交），事件的差，互不相容（互斥）事件，对立（互补）事件，完备事件组。314 事件运算的性质。本节要求掌握随机试验及随机事件的概念，能够熟练掌握事件之间的关系，并会运用事件运算的性质求解一些具体问题。第2节 概率的定义（4学时）321 概率的统计定义。频率，频率的性质，概率的统计定义。322 概率的定义。323 概率的性质。324 古典概型。古典概型，古典概率。325 *几何概型及其计算公式。本节要求了解概率的统计定义及概率的定义，掌握概率的性质，熟记并深刻领会古典概型的概率公式，并能运用公式及概率的性质解决实际问题。第3节 条件概率及全概率公式（9学时）331 条件概率。条件概率，计算条件概率的两种方法。332 概率的乘法公式。概率的乘法定理，概率的乘法公式及其另一乘法公式。333 全概率公式。全概率定理，全概率公式及其推导过程。334 两个事件的独立性。两个事件的独立性，两个事件独立的充分必要条件。335 多个事件的独立性。三个事件的独立性，三个事件独立必须满足的条件。336 *伯努利概型。伯努利试验，n重伯努利试验，伯努利概型，伯努利定理。337 *贝叶斯公式。贝叶斯定理，贝叶斯公式及其推导。本节要求正确理解条件概率的概念及其运算公式，学会运用概率的乘法定理，对于全概率公式不但要求能深刻理解其内在含义，而且要求会熟练运用此公式去解决实际问题；同时要求掌握两个事件独立的概念，了解多个事件事件相互独立的条件。第4节 随机变量及其分布（10学时）341 随机变量的概念。342 随机变量的分布函数。随机变量的分布函数，分布函数的基本性质。343 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量，离散型随机变量的概率分布（概率函数），概率分布列，概率分布的性质。344 离散型随机变量的分布函数。离散型随机变量的分布函数，离散型随机变量的分布函数的特性。345 常见离散型随机变量的概率分布两点分布（0-1）分布），二项分布，泊松分布，泊松分布作为二项分布的近似。346 *离散型随机变量函数的分布。347 连续型随机变量的概念。连续型随机变量，概率分布密度函数，连续型随机变量的分布函数，连续型随机变量分布函数的特性。348 分布密度函数的性质。349 常见连续型随机变量的分布。均匀分布，正态分布，标准正态分布，非标准正态分布化为标准正态分布，标准正态分布函数值的查表。3410 *连续型随机变量函数的分布。本节要求了解随机变量的概念，理解分布函数的概念和性质。要掌握对离散型随机变量、连续型随机变量的描述，理解它们的概率分布、概率密度函数的概念和性质，能了解概率分布或分布函数、密度函数及随机变量落在某个区间的概率这几个概念之间的关系，并能够利用概率分布的性质或分布函数的性质解决问题，熟记一系列理论上、应用上都十分重要的常见的离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的分布函数（或密度函数）。第5节 随机变量的数字特征（6学时）351 体现随机变量“平均取值”的数学期望。352 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望存在的条件，离散型随机变量的数学期望的计算公式。353 连续型随机变量的数学期望。连续型随机变量的数学期望存在的条件，连续型随机变量的数学期望的计算公式。354 几种重要随机变量的数学期望。服从两点分布、二项分布、均匀分布、正态分布的随机变量的数学期望。355 数学期望的基本性质。356 随机变量的方差的概念。随机变量的方差，标准差（根方差），方差计算的简化公式。357 离散型随机变量的方差。离散型随机变量的方差及计算公式。358 连续型随机变量的方差。连续型随机变量的方差及计算公式。359 几个重要随机变量的方差。服从两点分布、二项分布、均匀分布、正态分布的随机变量的方差。3510 方差的基本性质。3511 *随机变量函数的数学期望。离散型随机变量函数的数学期望，连续型随机变量函数的数学期望。3512 *配对问题的数学期望。本节要求切实掌握随机变量的数学期望、方差等数字特征的定义及其含义，并能够熟练地运用数学期望或方差的计算公式及其性质求解一些具体问题。对于一些常用的分布，不但要会按定义进行数学期望、方差的计算，还要熟记它们的概率分布或密度函数、数学期望和方差，并能灵活运用。第6节 抽样分布（4学时）361 总体与样本总体，个体，试验（观测），抽样，样本（子样），样本容量，样本点，样本观测值。362 简单随机样本。简单随机样本，简单随机抽样。363 统计数据的整理与统计图统计数据的整理分组，组频数，组频率，累计频率，频数直方图，频率直方图，累计频率直方图，修正后的直方图。364 统计量的概念。统计量，样本均值，样本均值的观测值，样本方差，样本方差的观测值，样本标准差，样本标准差的观测值。365 统计中几个常用的分布。2分布，2分布临界值，2分布临界值表，t分布，t分布临界值，t分布临界值表，F分布，F分布临界值，F分布临界值表。366 单个总体的抽样分布。抽样分布，U统计量的分布，2统计量的分布，t统计量的分布，中心极限定理。367 两个总体的抽样分布。两个正态总体（方差已知）的抽样分布，两个正态总体（方差未知，但相等）的抽样分布，两个非正态总体（大样本）的抽样分布。本节要求掌握总体、个体、样本、样本容量、简单随机样本和统计量等概念的内涵及其统计特性；了解2分布、t分布、F分布的定义，并会查表求这几种分布的临界值对与正态分布有关的抽样分布，一是要熟记它们的分布，二是要能够熟练运用它们的分布解决一些实际问题。第7节 参数估计（9学时）371 估计量。估计量，参数估计。372 点估计。参数的点估计。373 矩估计法。矩估计法，矩估计法的基本思想，总体数学期望的矩估计，总体方差的矩估计。374 极大似然估计法。极大似然估计法的思想，似然函数，似然方程，极大似然估计量。375 估计量的优劣标准。无偏估计，有效估计。376 区间估计。区间估计，置信度，置信区间。377 单个正态总体均值的区间估计（总体方差已知）。378 单个正态总体均值的区间估计（总体方差未知）。379 非正态总体均值的区间估计（总体方差已知，大样本）。3710 非正态总体均值的区间估计（总体方差未知，大样本）。3711 两个正态总体均值差的区间估计（总体方差已知）。3712 两个正态总体均值差的区间估计（总体方差未知，但相等）。3713 两个正态总体均值差的区间估计（总体方差未知，大样本）。3714 *单个正态总体方差的区间估计。3715 *使用Mathematica系统作区间估计。本节要求切实掌握矩估计法、极大似然估计法的基本原理和方法，了解评价估计量的优良性准则，对于各种条件下参数的区间估计，不仅要会选用合适的统计量及其观测值对未知参数作出符合要求的估计，而且还要对于蕴涵其间的统计推断思路有较为清晰的了解，为统计方法的学习奠定基础. 第8节 假设检验（8学时）381 假设检验的基本思想。假设，原假设，备择假设（对立假设），假设检验（统计假设检验），参数假设，参数假设检验，假设检验依据的基本原理，显著性水平（检验水平），拒绝域，接受域，临界值。382 双侧和单侧假设检验。双侧假设检验，单侧假设检验，三种假设检验模型及其相应的拒绝域。383 假设检验的一般步骤。384 假设检验的两类错误。假设检验的第一类错误及概率，假设检验的第二类错误及概率。385 单个正态总体均值的假设检验（总体方差已知）。386 单个正态总体均值的假设检验（总体方差未知）。387 两个正态总体均值之差的假设检验（总体方差已知）。388 两个正态总体均值之差的假设检验（总体方差未知，但相等）。389 两个非正态总体均值之差的假设检验（大样本）。3810 *单个正态总体方差的假设检验。3811 *两个正态总体方差之差的假设检验。3812 *Mathematica系统的假设检验软件包的使用。假设检验是数理统计方法的重要基础.因此,本节要求深刻理解假设检验的基本思想,清晰地了解其间所蕴涵的辨证哲理,掌握假设检验的基本步骤,知道假设检验可能产生的两类错误.掌握本节所讲的单个和两个正态总体下均值和方差的显著性检验.对于实际问题,能正确运用所讲方法确定原假设和备择假设;选择正确的统计量做出显著性检验.第9节 方差分析（5学时）391 方差分析的意义。因素，水平，处理，单因素试验，单因素方差分析，多因素试验，多因素方差分析。392 单因素等重复试验方差分析假设模型。393 单因素等重复试验方差分析的方法。组间离差平方和，组内离差平方和，单因素方差分析表。394 双因素无重复试验方差分析的假设模型。395 双因素无重复试验方差分析的方法。因素A、B的离差平方和，误差平方和，双因素方差分析表。396 *单因素不等重复试验的方差分析。397 *双因素有重复试验方差分析。398 *Mathematica系统的方差分析计算程序。方差分析是通过试验，以观察某一种或多种因素的变化对试验结果的观测数值是否具有显著影响，从而选取最优生产方案的一种数理统计方法本节要求深刻理解方差分析的定义，能够熟练运用单因素等重复试验的方差分析方法及双因素无重复试验的方差分析方法解决实际问题在此基础上，进一步了解单因素不等重复试验的方差分析方法和双因素有重复试验的方差分析第10节 回归分析（7学时）3101 回归分析的基本思想。统计关系（相关关系），回归分析，一元回归分析，多元回归分析。3102 一元线性回归的数学模型。一元线性回归的数学模型，线性回归方程（回归直线方程），回归常数项，回归系数。3103 一元线性回归中未知参数的最小二乘估计。3104 一元线性回归效果的显著性检验（F检验法）。3105 *一元线性回归效果的显著性检验（相关系数检验法）。3106 一元线性回归的预测问题。3107 一元线性回归的控制问题。3108 *二元线性回归方程。3109 *使用Mathematica系统作线性回归分析。回归分析是一种统计工具，它利用两个或两个以上变量之间的关系，由一个或几个变量来预测另一个变量，它是