高考数学一轮总复习名师精讲 第45讲棱柱与棱锥课件.ppt

第四十五讲 第四十六讲 文 棱柱与棱锥 回归课本1 棱柱棱柱的定义 有两个面互相平行 其余各面都是四边形 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行 这些面围成的几何体叫做棱柱 3 棱柱的主要性质 1 侧棱都相等 侧面是平行四边形 2 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 3 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 4 平行六面体与长方体定义 底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体 底面是矩形的直平行六面体叫长方体 棱长都相等的长方体叫正方体 5 棱柱的侧面积和体积公式 1 直棱柱的侧面积和体积公式如果直棱柱的底面周长是c 高是h 那么它的侧面积是s直棱柱侧 ch 如果直棱柱的底面面积是s 高是h 那么它的体积是v直棱柱 sh 2 斜棱柱的侧面积和体积公式如果斜棱柱的直截面 垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面 的周长为c 侧棱长为l 那么斜棱柱的侧面积是s斜棱柱侧 cl 如果斜棱柱的直截面的面积为s 侧棱长为l 那么它的体积是v斜棱柱 sl 6 棱锥的概念和性质 1 棱锥 有一个面是多边形 其余各面是有一个公共顶点的三角形 由这些面所围成的几何体叫做棱锥 2 棱锥的分类 棱锥的底面可以是三角形 四边形 五边形 因此我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥 四棱锥 五棱锥 3 性质定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截面和底面相似 并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比 7 正棱锥的概念和性质 1 正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面内的射影是底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥 2 正棱锥的性质 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 各侧面底边上的高叫棱锥的斜高 正棱锥的斜高相等 棱锥的高 斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形 棱锥的高 侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形 考点陪练1 下列有关棱柱的命题中正确的是 a 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱b 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱c 一个棱柱至少有五个面 六个顶点 九条棱d 棱柱的侧棱长有的都相等 有的不都相等解析 a b都不能保证侧棱平行这个结构特征 对于d 由棱柱的结构特征知侧棱都相等 一个最简单的棱柱是三棱柱 有五个面 六个顶点 九条棱 答案 c 2 答案 d 3 2010 宜昌市调研 如图 1 所示 已知正方体的面对角线长为a 沿阴影面将它切割成两块拼成如图 2 所示几何体 那么此几何体的全面积为 答案 b 4 如图 在正三棱锥a bcd中 e f是ab bc的中点 ef de 若bc a 则正三棱锥a bcd的体积为 答案 b 5 棱锥被平行于底面的平面所截 当截面分别平分侧棱 侧面积 体积时 相应截面面积为s1 s2 s3 则 a s1 s2 s3b s3 s2 s1c s2 s1 s3d s1 s3 s2 答案 a 类型一棱柱 棱锥的概念与性质解题准备 熟练掌握棱柱 棱锥的概念与性质 典例1 设有四个命题 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长相等的直四棱柱是正方体 有四条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 以上四个命题中 真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 命题 不是真命题 因为底面是矩形 若侧棱不垂直于底面 这时四棱柱仍然是斜平行六面体 命题 不是真命题 若底面是菱形 底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体 命题 也不是真命题 因为有两条侧棱垂直于底面一边 这时两个相对的侧面是矩形 但是不能推出侧棱与底面垂直 命题 是真命题 由对角线相等 可得出平行六面体的对角面是矩形 从而推得侧棱与底面垂直 这个平行六面体是直平行六面体 故选a 答案 a 探究1 下面是关于三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编号 解析 显然正确 如图 反例 图中ac bc cd bd ad ab 每个侧面为等腰三角形 但此棱锥不是正三棱锥 图中取 acb adb 120 有各侧面面积相等 但此棱锥不是正三棱锥 由已知顶点在底面射影为内心也是底面外心 故底面三角形为正三角形 又各侧棱 斜高可推出彼此相等 故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形 故 正确 答案 误区指津 棱柱 棱锥有很多类似的概念或性质 极易混淆 要注意从内涵和外延两个方面去比较它们 点评 要注意正三棱锥的定义 性质与判定方法的联系与区别 正三棱锥中 每一条侧棱都相等 侧棱与底面所成的角都相等 侧面与底面所成的角都相等 相邻两个侧面所成的角也相等 但侧棱相等的三棱锥 侧棱与底面所成角相等的三棱锥 侧面与底面所成角都相等的三棱锥 相邻两个侧面所成的角都相等的三棱锥却不一定是正三棱锥 类型二棱柱 棱锥中的线面关系解题准备 以棱柱 棱锥为载体来考查四大关系 平行 垂直 夹角 距离 典例2 如图所示 正四棱柱abcd a1b1c1d1 底面边长为2 侧棱长为4 e f h分别为棱ab bc a1b1的中点 ef bd g 1 求证 平面b1ef 平面bdd1b1 2 求证 ch 平面b1ef 3 求点d1到平面b1ef的距离d 解析 1 证明 证法一 连结ac 正四棱柱abcd a1b1c1d1的底面是正方形 ac bd 又bb1 ac 所以ac 平面bdd1b1 e f分别为ab bc的中点 故ef ac ef 平面bdd1b1 平面b1ef 平面bdd1b1 证法二 be bf ebd fbd 45 ef bd 又ef d1d ef 平面bdd1b1 平面b1ef 平面bdd1b1 2 证明 连结ah 则ah b1e 又ac ef 而ah ac a 平面ahc 平面eb1f 又 ch 平面ahc ch 平面b1ef 3 如图所示 在对角面bdd1b1中 作d1m b1g 垂足为m 平面b1ef 平面bdd1b1 且平面b1ef 平面bdd1b1 b1g d1m 平面b1ef 且垂足为m 点d1到平面b1ef的距离d d1m 探究2 如图所示 四棱锥p abcd的底面是边长为a的正方形 侧面pab和侧面pad都垂直于底面ac 且侧棱pb pd都和底面成45 角 1 求pc与bd所成的角 2 求pc与底面abcd所成角的正切值 3 若m n分别为bc cd的中点 求底面中心o到平面pmn的距离 3 bd ac bd pa bd 平面pac 又mn bd mn 平面pac 平面pac 平面pmn 设mn ac q 连结pq 则平面pac 平面pmn pq 作oh pq 垂足为h 则oh 平面pmn oh的长即为o到平面pmn的距离 作ag pq于g 点评 1 解决空间角度问题 应特别注意垂直关系 如果空间角为90 就不必转化为平面角来求 2 注意借助辅助平面 如本题中的平面pac 将空间距离转化为平面距离来求 3 棱锥体积具有自等性 即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点 相对的面作为底面 利用等积法可求点到平面的距离等 类型三棱柱 棱锥的面积与体积解题准备 求侧面积 体积时要抓好以下三个环节 1 准确 熟练地记忆 应用各种面积 体积公式 2 求出公式所需要的量及对相关量进行推理论证 3 进行正确简明的运算 求解过程中要注意方程思想的运用 典例3 正三棱锥的底面边长为a 侧棱与底面成45 角 1 求其侧面积和体积 2 若过底面一边作一平面 使之与底面成30 的二面角 求截面面积 分析 1 如图 求正棱锥的侧面积和体积的关键是求出棱锥的斜高和高 2 作出截面abe 易知 abe是等腰三角形 可求出底边上的高de 点评 解决正棱锥的计算问题 关键是利用有关直角三角形和两个重要的角 通过直角三角形来求解各元素 探究3 如图所示 已知三棱柱a1b1c1 abc的底面是边长为2的正三角形 侧棱aa1与下底面相邻两边ab ac均成60 角 1 求点a1到平面b1bcc1的距离 2 若点a1到平面abc与到平面bcc1b1的距离相等 求aa1的长及棱柱的侧面积 体积 解析 1 过b作be aa1于e 连结ec 则可知 abe ace aec aeb 90 ec aa1 可知a1a 面bec 又 b1b a1a b1b 面bec 而bb1 面bb1c1c 面bb1c1c 面bec 且面bec为棱柱a