2015年学而思杯五年级试卷解析

2015 年第九届北京学而思综合能力测评 学而思杯 数学试卷解析 五年级 一 一 填空题填空题 每题 每题 5 分 共分 共 20 分 分 1 4 月 5 日清明节是中国二十四节气之一 已知一年有 24 个节气 那么 平均每个月有 个节气 考点 平均数问题 难度 答案 2 分析 24 122 2 甲 乙两人玩井字棋游戏 轮流在一个3 3 的方格棋盘内画符号 甲画 先走 乙画 后走 谁能将棋盘的一整行 一整列或一整条对角线的 3 个格都画上自己的符号 谁就赢 如果 前 4 步甲乙所下位置如下左图所示 那么 甲下一步应该下在 号位置 位置编号如下 右图所示 才能保证必胜 54 32 1 考点 必胜策略 难度 答案 1 分析 甲不得不走 1 此时 3 4 双杀 乙挡不住了 3 俗话说 卢沟桥的狮子 数不清 俊俊去卢沟桥数狮子 发现一共有 300 只狮子 其中大狮子与 小狮子的数量之比是2 1 那么 小狮子有 只 考点 比例应用题 难度 答案 100 分析 300 2 1 1 100 4 如图 已知圆的半径是 10 厘米 六条直径将圆十二等分 那么 阴影面积之和是 平方 厘米 取 3 14 考点 圆与扇形 难度 答案 157 分析 2 102157 二 二 填空题填空题 每题 每题 6 分 共分 共 24 分 分 5 佳佳是一位国旗爱好者 他从全世界 193 个国家的国旗中 挑出了 43 面带星星图案或带月亮图案 的国旗 发现其中带星星图案的国旗有 34 面 带月亮图案的国旗有 18 面 那么 既带星星图案 又带月亮图案的国旗有 面 考点 容斥原理 难度 答案 9 分析 34 18439 6 东东喝一瓶浓度是 40 的饮料 喝到剩 60 克饮料时 觉得饮料太浓了 就加了一些水 将饮料的 浓度兑成了 30 那么 东东加了 克水 考点 浓度问题 难度 答案 20 分析 40 6030 6020 或用十字交叉算出饮料和水的质量比为 3 1 也可以 7 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 的计算结果末尾有 个连续的 0 考点 质数与合数 难度 答案 2 分析 末尾的 0 由质因数 2 和 5 的个数共同决定 质因数 5 只有 2 个 质因数 2 有不止 2 个 8 一个容积是 100 立方厘米的水杯 即这个水杯装满水时 水的体积是 100 立方厘米 内有一部分 水 盛盛向杯中放入了一个小正方体 水溢出了 20 立方厘米 盛盛又向杯中放入了一个相同的小 正方体 水又溢出了 30 立方厘米 如图 那么 原来水杯中装有 立方厘米的水 溢出20cm3 又溢出30cm3 考点 水中浸物 难度 答案 90 分析 第二个正方体体积是 30cm3 所以第一个也是 那么只溢出 20cm3说明原来有 10cm3的空 所 以原有水 90cm3 三 三 填空题填空题 每题 每题 7 分 共分 共 28 分 分 9 一项工程 甲 乙 丙三人合作完成 原定甲做 1 天 乙做 2 天 丙做 3 天 刚好可以完成这项 工程 但是在开工之前 甲因故退出 乙和丙只得代替甲完成工作 方案有两种 乙额外做 3 天 或者乙 丙额外各做 1 天 都能完成甲的工作 那么 这项工程如果由乙单独完成 需要 天 考点 工程问题 难度 答案 11 分析 从题目描述中可以得知 乙做 3 天顶甲做 1 天 丙做 1 天顶乙做 2 天 所以丙做 3 天的活乙 要做 6 天 32611 10 下图 七角星 中共有 个三角形 考点 几何计数 难度 答案 35 分析 七条边两两相交且三线不共点 3 7 C35 11 定义新运算符号 和 如果ab 那么 ab 表示 a 与 b 中较小的数 a b 表 示 a 与 b 中较大的数 那么 35528841 1132015288 的计算结果的整数部分 是 考点 比较与估算 难度 答案 21 分析 左括号由于取小 结果必然不大于 即不超过 3 142 右括号由于取大 结果大于 1 7 2882881 201520167 所以原式结果接近 1 3 142 7 但不会超过它 3 142 722 所以不会超 过 22 12 下面的加法竖式中 相同的汉字代表相同的数字 不同的汉字代表不同的数字 那么 四位数 喜气羊羊的最大值是 3 羊开泰 羊羊得意 羊年大吉 喜气羊羊 考点 数字谜 难度 答案 7922 分析 一共出现了 10 个不同汉字 所以 10 个不同数字均出现了 接下来极端分析 若喜 9 则羊可以是 2 或 3 若羊 3 上下总数字和为455 3363 而上下数字和差 9 的倍数 结合题目 百位不能向千位进位 和又是奇数 所以上下方数字和的差是3 927 或 9 此时下方数字和为 18 或 27 气 3 或 12 均不成立 若喜 9 羊 2 上下总数字和为455 2358 而上下数字和差 9 的倍数 结合题目 百 位向千位进 2 位 和又是偶数 所以上下方数字和的差可以为 18 或 36 此时下方数字和为 20 或 11 气 7 经验证无法向千位进两位 若喜 8 则羊 2 上下总数字和为455 2358 而上下数字和差 9 的倍数 结合题目 百位向千位进 1 位 和又是偶数 所以上下方数字和的差可以为 18 或 36 此时下方数字和为 20 或 11 气均没有合适的取值 若喜 7 则羊可以是 1 或 2 若羊 2 类似喜 8 时的分析 得出可能合理的四位数 7922 经验证成立 如图 则其在喜取得最大值的前提下后三位均为合理的最大值 必然为最大值 3281 2205 2436 7922 四 四 填空题填空题 每题 每题 8 分 共分 共 32 分 分 13 两对夫妇约好下班后一起吃饭 他们预定了一家饭店的某张饭桌 饭桌的桌椅分布如下图所示 已 知他们四人先后入座 座位可自选 但要求同一对夫妇两人必须坐在桌子的同一侧 那么 这四 人的入座方法有 种 坐的位置不同 或者入座顺序不同 都算不同的入座方法 椅 椅椅 椅 桌 考点 排列组合 难度 答案 192 分析 若按先后顺序考虑 第四人不用考虑 第一人 4 种情况 其座位 4 种情况 第二人若是第一 人伴侣 1 种情况 其座位 1 种情况 第三人 2 种情况 其座位 2 种情况 若不是第一人伴侣 2 种情况 其座位 2 种情况 第三人 2 种情况 其座位 1 种情况 所以是 4 4 1 1 2 22 2 2 1 192 种 但考虑到先把座位定好 入座先后顺序只需乘以 4 4 A 而座位只有2 2 2 两对夫妇互换 夫妇间互换 种情况 所以是 4 4 A2 2 2192 种 14 如图 直角三角形 ABC 中 90ABC 14AC 四边形 BCDE 和四边形 ABFG 都是正方形 连 结 AD 与 BC 相交于点 H 如果 GH 与 AC 平行 那么 阴影四边形 BEDH 的面积是 H G F ED C B A 考点 等积变形 勾股定理 难度 答案 98 分析 连接 BD 有 BHDAHCAHGAGF SSSS 所以 222 111 98 222 BHDBED SSSabc 其中 a b c 代指直角三角形三边 15 我们知道分母是 7 的真分数化成小数时 循环节由 1 4 2 8 5 7 这六个数字组成 这六个数 字还能组成一个恰好有 28 个因数的六位完全立方数 那么 这个六位数的后五位是 考点 数论综合 难度 答案 21875 分析 这个数的数字和为 27 必然为 9 的倍数 完全立方数由于是三个一样的数乘出 指数是 3 的倍数 在此基础上逆用因数个数定理 28271 3 1 6 1 显然原数为 36 pq 形式 即 2 3 pq 且两质数中有一个是 3 且由于 3 4064000 3 452025 45100000 所以底数只能是在 45 100 之间 有可能的只有 23 37 250047 23 311 970299 2 3 3 5 421875 16 甲 乙两人从 A 地 丙从 B 地同时出发 相向而行 当甲 丙相遇时 乙刚好走了全程的 1 5 此 时甲立即掉头向 A 地行走 乙 丙仍按原方向行走 当甲 乙相遇时 丙距离 B 地 336 米 三人 继续行走 当乙 丙相遇时 甲恰好回到 A 地 那么 A B 两地之间的距离是 米 考点 比例法解行程 难度 答案 720 分析 此类行程题 速度比最重要 注意到甲往返路程相同 而最后乙丙正好相遇 则在甲丙相遇 时 乙丙应合走了全程的一半 则在此时刻三人路程比为 7 2 3 即 7 2 3vvv 甲乙丙 所以甲乙 相遇时 丙走了全程的 37137 101057215 7 336720 15 五 五 计算题计算题 每题 每题 8 分 共分 共 16 分 分 17 计算下列题目 写出简要的计算过程与计算结果 1 1111 4122440 2 636528 253 757285 考点 分数计算 裂项 难度 答案 2 5 28 分析 1 裂项 11112222111111112 4122440244 66 88 102446688105 或通分 1111301053482 41224401201201201201205 2 提取公因数 636528286628 253 23 528 7572855775 18 解下列方程或方程组 写出简要的解方程过程与方程的解 1 15 4 32 xx 2 3432 4331 xy xy 考点 解分数方程 解二元方程组 难度 答案 7x 4 5 x y 分析 1 15 42 1 243 5 7 32 xx xxx 2 得到9xy 从而得到 4 5 x y 六 六 解答题解答题 每题 每题 15 分 共分 共 30 分 分 19 如图 正方形 ABCD 与两个直角三角形 ADE BCF 拼成了等腰梯形 ABFE 已知12AB 4EDCF 1 请求出三角形 ADE 的面积 4 分 2 请求出三角形 ABE 的面积 4 分 3 请求出 EG GB 4 分 4 请求出阴影部分的总面积 3 分 O HG FEDC BA 考点 基本公式 比例模型 难度 答案 24 72 1 3 63 分析 1 11 12424 22 ADE SADDE 2 11 12 1272 22 ABE SABh 3 由风筝模型 241 723 AED ABD SEG GBS 或由蝴蝶模型 41 123 EGED GBAB 4 1 4 AGE ABE SEG SEB 11 7218 44 AGEABE SS 由风筝模型或蝴蝶模型 5 3 EO OB 3 8 AOB ABE SBO SEB 33 7227 88 AOBABE SS 27 18 263 20 将一个数进行如下反复四舍五入的操作 从最低位开始 直到某次操作后 只剩最高位 且其它 位数都是 0 为止 例如 1546 471546 51547155016002000 记为 1546 472000T 66T 利用这种操作解决下列问题 1 计算 234 5T 144 5T 只填空即可 每空 2 分 共 4 分 2 使得 100T x 的整数 x 有多少个 5 分 3 将一个数直接从第二高位进行一次四舍五入的操作记为 F 操作 例如 14871000F 66F 请问 1239991000TTTTT 和 1239991000FFFFF 作比 较 谁更大 大多少 6 分 考点 定义新运算 难度 答案 200 200 50 个 T 大 大 4500 分析 1 234 5235