第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-1.doc

第三章第三章 矩阵的标准形与若干分解形式矩阵的标准形与若干分解形式 1 矩阵的相似对角形矩阵的相似对角形 一 知识回顾 1 线性变换在两组基下的矩阵相似 相似变换矩阵是两组基下的过渡矩阵 2 特征值与特征向量 特征子空间及其维数 特征值的代数重数与几何重数 V 3 矩阵与对角形相似的充要条件 有 n 个线性无关的特征向量 4 矩阵与对角形相似的充分条件 有 n 个不同的特征值 若为阶矩阵 矩阵An nnnn n n aaa aaa aaa AE 21 22221 11211 称为的特征矩阵 又多项式A n in i nn aaaAEf 1 1 称为的特征多项式 这里 是的所有 阶主AAaa n i ii 1 1 tr 1 Aa n n i aAi 子式的和与的乘积 叫的迹 i 1 AtrA 属于矩阵的同一个特征值的所有特征向量连同零向量一起 构成一个线性空间A 0 称为的特征子空间 特征子空间的维数不超过特征根的重数 0 VA 0 V 0 二 寻找矩阵的相似对角形的方法 例 3 1 研究下列矩阵是否能与对角形相似 1 2 3 121 101 365 A 122 212 221 A 284 014 013 A 提示 1 31 31 2 321 32 1 3 32 1 3 0 1 1 321 xxx 32320 111 332 P 6 3 3 32 1 3 3 2 1 6 3 3 32 1 3 3 2 1 031 1 P 2 5 1 321 32 1 3 32 1 3 0 1 1 321 xxx 111 110 101 P 111 121 112 3 1 1 P 3 的特征子空间是一维的 不存在三个线性无关的特征向量 2 1 321 1 例 3 2 设 求的相似对角形及 163 053 064 AA 100 A 2 矩阵的约当标准形矩阵的约当标准形 当矩阵不能和对角形矩阵相似时 能否找到一个构造比较简单的分块 nn ij CaA 对角矩阵和它相似呢 当我们在复数域内考虑这个问题时 这样的矩阵确实是存在的 C 这就是约当 Jordan 形矩阵 称之为矩阵的约当标准形 A 定义定义 若数域上多项式满足 则称整除P xgqf gqf g 记为 f fg 定义定义 3 1 设是上多项式 如果存在上多项式满足 gfPP d 1 即可以整除 fd gd d gf 2 若有上多项式 则有 则P 1 xd 1 fd 1 gd 1 dd 称是的一个最大公因式 记表示首项系数为 1 的最大公因 d gf gf 式 三个多项式的最大公因式可定义为 hgf hgf hgf 1 行列式因子 设 是的特征矩阵 记为 nn ij CaA AE A A 定义定义 3 2 中所有非零的阶子式的首项 最高次项 系数为 1 的最大公因式 Ak 称为的一个阶行列式因子 k D Aknk 2 1 并且 AEDn 1 kk DD nk 3 2 例 3 3 求下列矩阵的特征矩阵的行列式因子 1 2 2 1 1 A a a A 1 1 2 不变因子 初等因子 定义定义 3 3 下列个多项式n 11 Dd 1 2 2 D D d 2 3 3 D D d 1 n n n D D d 称为的不变因子 把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的 A 乘积 所有这些一次因式的方幂 相同的必须按出现次数计算 称为的初等因子 A 由于这里的完全由决定 所以这里的不变因子及初等因子也AEA A A 常称为矩阵的不变因子及初等因子 A 例 3 4 求下列矩阵的不变因子及初等因子 1 2 2 1 2 1 A 122 020 021 A 例 3 5 设 各个 求的初等因子 a b a ba 0 i bA 3 约当标准形 设矩阵 A 的全部初等因子为 相对于每个初等 s k s kk 21 21 因子构造一个 ki 阶的 Jordan 矩阵块 i k i siJ i i i i 1 1 1 由所有这些 Jordan 块构成的对角矩阵 s J J J J 2 1 称为矩阵 A 的 Jordan 形矩阵 或 A 的约当标准形 定理定理 3 4 每个阶复数矩阵都与一个约当形矩阵相似nAJ JAPP 1 除去约当块的排列次序外 约当形矩阵是被矩阵唯一决定的 JA 这个定理用线性变换的语言来说就是 设是复数域上维线性空间的线性变换 则在中必定存在一个基 使在这个TnVVT 基下的矩阵是约当形矩阵 除去约当块的排列次序外 这个约当块矩阵是被唯一决定的 T 推论 复数矩阵与对角形矩阵相似的充要条件是的初等因子全为一次因式 AA 注意 由于 2211ss JEJEJEJEAE s k s kk 21 21 所以约当形矩阵的主对角线上的元素全为的特征值 并且 但J s 21 Ank s i i 1 ji 时可能有 ji 故不一定是的重特征根 故一般由矩阵的特征多项式不能 i A i k 写出矩阵的约当形矩阵 例 3 6 求矩阵的 Jordan 标准形及所用的矩阵 P 211 212 112 A 解 1 3410 2210 001 211 212 112 2 AE 2 100 010 001 所以 A 的初等因子为 故 A 的 Jordan 标准形为 2 1 1 11 1 1 J 2 设 由 得 即 321 xxx PJAPP 1 JA 321321 xxxxxx 于是有 3321321 xxxxxxx AAA 1 1 xAE 2 32 xx AE 3 3 xAE 方程组 1 3 的基础解系为 TT 1 0 1 0 1 1 21 ee 取 而 为使 2 有解 选择 c1 c2 T 0 1 1 1 x T cccccc 212122113 eex 的值是下面两矩阵的秩相同 2 1 21 111 222 111 111 222 111 c c cc AE 的 c1 2 c2 1 所以 将所求的代入方程 2 并解之得 T 1 2 1 3 x 3 x T 1 1 1 2 x 易证线性无关 321 xxx 110 121 111 P 例 3 7 求矩阵特征多项式 初等因子及约当标准形 163 053 064 A 解 易得的特征多项式为A 2 1 2 AEf 并且可以求得不变因子为 1 1 d1 2 d 2 1 3 d 故初等因子为 1 1 2 因此约当标准形为对角形矩阵 2 1 1 J 例 3 8 求线性微分方程组的通解 31 3 21 2 21 1 2 34 xx dt dx xx dt dx xx dt dx 解 方程组可以写成 其中 x x A dt d 201 034 011 A T xxx 321 x 1 求 A 的初等因子及 Jordan 标准形 11 1 2 J 2 求相似变换矩阵 111 210 100 P 3 作满秩线性变换 其中 则有 即yxP T yyy 321 yy y APP dt d 1 32 3 2 2 1 1 2 yy dt dy y dt dy y dt dy 上述过程实际上是将系统解藕的过程 4 求 的通解 进而求原方程组得通解 t t t ektk ek ek P 32 2 2 1 111 210 100 yx 例 3 9 利用约当标准形证明 若 n 阶矩阵 A 的特征值为 则的特征 n 1 m A 值为 m n m 1 证明 设的约当形矩阵为A s J J J J 2 1 其中 i i i i J 1 1 因 故APPJ 1 PAPJ mm1 但是有 m s m m m J J J J 2 1 m i m i m i m i J 显然的特征值就是的特征值的次幂 而相似矩阵有相同的特征值 故的特征值 m JJm m A 就是的特征值 即 或 的特征值的次幂 证毕 m JAJm 3 哈密顿哈密顿 凯莱定理及矩阵的最小多项式凯莱定理及矩阵的最小多项式 一 哈密顿 凯莱 Hamilton Cayley 定理 定理 1 每个矩阵都是它的特征多项式的根 即若矩阵 A 的特征多项式是 则有 nn nn aaaAEf 1 1 1 3 6 0 1 1 1 EaAaAaAAf nn nn 证明 设是的伴随矩阵 则 BAE 3 7 EfEAEAEB 由于的元素都是次数不超过的的多项式 所以 B1 n 11 2 0 1 n nn BBBB 其中为阶数字矩阵 于是有 i Bn 3 8 ABABBABBBAEB nnn nn 12101 1 0 注意到 3 9 EaEaEaEEf nn nn 1 1 1 由等式 3 7 3 8 3 9 即得 EaABB EB 101 0 EaAB EaABB nn nnn 1 121 以一次右乘上面的第一式 第二式 第式 并将它们加起来 EAAA nn 1 1 n 左边为零 右边即为 Af 例 3 8 设 试计算 010 110 201 AEAAAAA432 2458 定义 方阵的零化多项式 使的多项式 A 0 A 注 如果多项式的次数比的高 则在计算时 存在一个次数比 A 低的多项式 使得 事实上 用去除 得 r ArA 将 A 代入即可 rp 二 矩阵的最小多项式 定义 3 4 设 A 是阶矩阵 则 A 的首项系数为 1 的次数最小的零化多项式 n m 称为 A 的最小多项式 2 最小多项式的性质 1 矩阵的任一零化多项式都能被最小多项式所整除 A 证明 则 由于是最小多项式 只能有 rmq 0 Ar m 是零多项式 r 2 矩阵 A 的最小多项式是唯一的 证明 用结论 1 若有两个最小多项式 则它们互相整除 且都是首一多项式 只 能相等 3 相似矩阵的最小多项式相同 证明 设 B P 1AP 则对于任一多项式 有 从而 A 和 B 的 p PApPBp 1 零化多项式是相同的 4 矩阵 A 的最小多项式的根必定是 A 的特征根 反之 A 的特征根也一定是 A 的 最小多项式的根 证明 由 1 特征多项式能被最小多项式所整除 所以矩阵 A 的最小多 f m 项式的根必定是 A 的特征根 反之 若 则 0 0 xxx A 00 00 mmAmxx 注 求最小多项式的方法之一 若矩阵 A 的特征多项式是 则的最小多项式具有形式 s k s k f 1 1 A s n s n m 1 1 其中 sikn ii 1 例 3 9 求矩阵的最小多项式 其中 A 031 251 233 A 解 A 的特征多项式是 于是 A 的最小多项式只能是 42 2 f 或 42 m f 直接验证得 042 EAEAAm 例 约当块的最小多项式的是 i n i i i i J 1 1 i n i m 证明 的特征多项式为 而 i J i n i 01 01 0 EJ ii 所以的最小多项式为 001 0 00 000 1 i n ii EJ i J i n i 5 设是一个分块矩阵 的最小多项多等于的最A s A A A A 2 1 A i A 小多项式的最小公倍式 si 2 1 证明 设的最小多项式为 的最小多项式为 的最小公倍式是 i A xfiA xf xfi 由整除知 xg xfi xg0 i Agsi 2 1 故 因此整除 0 2 1 s Ag Ag Ag Ag xf xg 又因为 因此对于每一个 有0 2 1 s Af Af Af Af i 即整除 而是的最小公倍式 故整除 0 i Af xfi xf xg xfi xg xf 综上所得 xgxf 因为每一个复数域上的方阵 都可以相似于一个分块矩阵 即 Jordan 标准型 所以利用 Jordan 标准型求最小多项式也是证明中常用的方法 6 的最小多项式即为的不变因子 AA 1 n n n D D d 事实上 将矩阵化为 Jordan 标准形后 各 Jordan 块的最小多项式的最小公倍式 即初 等因子的最小公倍式 即是的最小多项式 n dA 例 3 7 中 矩阵的初等因子为 的最小多项式即为A2 1 1 A 21 m 4 多项式矩阵与多项式矩阵与 Smith 标准形标准形 一 多项式矩阵的概念 1 多项式矩阵的定义 若矩阵的元素都是的多项式 系数属于某一数域 则 nm ij aA ij a P 称为矩阵 或多项式矩阵 如 A AEA 作为多项式矩阵的一种推广就是有理分式矩阵 2 多项式矩阵的秩 至少有一个阶子式不是零多项式 而所有的阶子式都是零多项式 则称 Ar1 r 的秩是 零矩阵的秩定义为零 rAr 3 是满秩的 或非奇异的 A 秩为 不是零多项式 n A 4 是可逆的 或称为单模矩阵 A 存在多项式矩阵 使得 3 11 B EABBA 注 1 的逆矩阵是唯一的 2 满秩矩阵不一定可逆 如 A 2 1 B 定理 3 9 是可逆的充分必要条件是 A 0 cA 证明 设可逆 则有多项式矩阵 使得式 3 11 成立 从而有 A B 1 EBA 故与只能是零次多项式 且不等于零 数 所以当可逆时 A B A 必定等于某个非零常数 Ac 反过来 若 则易知可逆 且其逆矩阵为0 cA A 1 1 A c A 这里是的伴随矩阵 A A 例 3 10 多项式矩阵 453 31 22 A 6523 31 22 B 中 是可逆的 而是不可逆的 因为 A B 4 A0 B 5 多项式矩阵的初等变换 定义 3 5 下列变换称为多项式矩阵的初等变换 A 1 互换的任意两行 列 2 以非零的数乘的某一行 或列 A Pk A 3 以多项式乘的某一行 或某一列 并加到另一行 或列 A 由单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵都是可逆的 即 它们都是单模矩阵 对一个多项式矩阵进行一次初等行 列 变换 相当于用一个相应的初等矩阵左 右 乘该矩阵 6 等价 定义 是指经过有限次初等变换能把化为 BA A B 1 多项式矩阵的等价是一种等价关系 2 的充分必要条件是存在初等矩阵 使得 BA ts QQPP 11 QAPQQAPPB ts 11 与都是单模矩阵 P Q 二 多项式矩阵的 Smith 标准形 引理引理 中 并且至少有一个元素不能被所整 nm ij aA 0 11 a A 11 a 除 则比可以找到一个与等价的多项式矩阵 使得 且 A nm ij bB 0 11 b 的次数低于的次数 11 b 11 a 证明 分为三种情况 1 不能被所整除 则 且的次数低 1 i a 11 a raqai 111 r 于的次数 用的第 行减去乘以第一行 再把第 行和第一行互换即可 11 a Ai qi 2 若在的第一行中存在不能被整除的元素 可类似处理 A 11 a 3 若的第一行 列 中的元素都能被整除 而不能 A 11 a 1 1 jiaij 被整除 设 将第 行减去第一行乘上 再将新的第 行 11 a 111 aai i i 加到第一行上 即成为情形 2 定理定理 3 10 任意非零的多项式矩阵都等价于下形式的 Simith 标准形 nm ij aA 00000 00000 0000 0000 0000 2 1 r d d d J 这里是的秩 是首项系数为 1 的多项式 且r A ridi 1 1 1 1 ridd ii 称为的史密斯 Smith 标准型 J A 证明 经过有限次初等变换后 总可以使矩阵等价于一个多项式矩阵 使 A 1 B 得该矩阵的第元素可以整除其他所有的元素 再通过初等变换把第一行 列 1 1 1 B 的其它所有元素都变成零 对于去掉第一行和第一列后所剩下的矩阵做类似的处理 依次 进行下去 即得定理的证明 例 3 11 求多项式矩阵的 Simith 标准形 200 10 0 1 0 A 例 3 12 化多项式矩阵 为 Simith 标准形 222 2 11 121 A 答案 2100 00 001 3 00 00 001 三 多项式矩阵的行列式因子 不变因子与初等因子 定义定义 3 7 设多项式矩阵的秩 则中所有 k 阶子式的首项系数为 1 A1 r A 的最大公因式 称为的 k 阶