2014年全国高考理科数学试题选编数列.doc

2014年全国高考理科数学试题选编六.数列试题一.选择题和填空题1.北京5设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件2.(大纲全国.10)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D33.(福建3)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D144.(湖南8)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A B C D5.(辽宁8)设等差数列an的公差为d，若数列为递减数列，则()Ad0 Bd0 Ca1d0 Da1d06.(重庆2)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列7.(北京.12)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大8.（天津.11)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_9.（安徽.12)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.10.(广东13)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.二.解答题1(课标全国.17满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由2. (课标全国.17满分12分)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.3. (大纲全国.18满分12分)等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设，求数列bn的前n项和Tn.4. (湖北18满分12分)已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由5. (湖南20满分13分)已知数列an满足a11，|an1an|pn，nN*.(1)若an是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式6. (浙江19满分14分)已知数列an和bn满足a1a2a3an若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an与bn；(2)设 (nN*)记数列cn的前n项和为Sn.求Sn；求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn.7. (广东19满分14分)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式8. (江西17满分12分)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令，求数列cn的通项公式；(2)若，求数列an的前n项和Sn.9. (山东19满分12分)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令，求数列bn的前n项和Tn.10. (四川19满分12分)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为，求数列的前n项和Tn.11. (重庆22满分12分)设a11，(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论六.数列试题解析一.选择题和填空题1.北京5设an是公比为q的等比数列，则“q1”是“an为递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：等比数列an为递增数列的充要条件为或故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件故选D.2.(大纲全国.10)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5 C4 D3解析：a42，a55，a4a5a1a8a2a7a3a610，lg a1lg a2lg a8lg a1a2a8lg(a1a8)4lg(a4a5)44lg a4a54lg 104，选C.3.(福建3)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D14解析：因为S33a13212，所以d2.所以a6a1(61)d25212.故选C.4.(湖南8)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A BC D解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p1)(q1)设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1x)2(p1)(q1)，解得，故选D.5.(辽宁8)设等差数列an的公差为d，若数列为递减数列，则()Ad0 Bd0 Ca1d0 Da1d0解析：数列为递减数列，nN*，a1ana1an1，a1(an1an)0.an为公差为d的等差数列，a1d0.故选C.6.(重庆2)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列解析：根据等比数列的性质，若mn2k(m，n，kN)，则am，ak，an成等比数列，故选D.7.(北京.12)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大解析：由等差数列的性质可得a7a8a93a80，即a80；而a7a10a8a90，故a90.所以数列an的前8项和最大8.（天津.11)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_解析：由已知得S1a1，S2a1a22a11，而S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，整理得2a110，解得.9.（安徽.12)数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.解析：设数列an的公差为d，则a1a32d，a5a32d，由题意得，(a11)(a55)(a33)2，即(a32d1)(a32d5)(a33)2，整理，得(d1)20，d1，则a11a33，故q1.10.(广东13)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.解析：因为an为等比数列，所以由已知可得a10a11a9a12a1a20e5，于是ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a3a20)，而a1a2a3a20(a1a20)10(e5)10e50，因此ln a1ln a2ln a20ln e5050.二.解答题1(课标全国.17满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由分析：(1)已知数列an的前n项和Sn与相邻两项an，an1间的递推关系式anan1Sn1，要证an2an，故考虑利用an1Sn1Sn消去Sn进行证明(2)若an为等差数列，则有2a2a1a3，故可由此求出，进而由an2an4验证an是否为等差数列即可解：(1)由题设，anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减，得an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)由题设，a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4.由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列2. (课标全国.17满分12分)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.分析：在第(1)问中，通过题目给出的条件，得出与的关系，从而证明是等比数列，然后再由的通项公式求出an的通项公式；在第(2)问中，由第(1)问得出的通项公式，再通过适当放缩，结合等比数列前n项和得出结论解：(1)由an13an1得.又，所以是首项为，公比为3的等比数列，因此an的通项公式为.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是.所以.3. (大纲全国.18满分12分)等差数列an的前n项和为Sn.已知a110，a2为整数，且SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设，求数列bn的前n项和Tn.分析：(1)通过条件分析，a2为整数，且SnS4，得到a50，a40，把a4，a5用公差d和a1表示，得到公差的取值范围，从而确定公差，进而求出an的通项公式(2)将(1)的结果代入，整理变形后利用裂项求前n项和Tn.解：(1)由a110，a2为整数知，等差数列an的公差d为整数，又SnS4，故a40，a50，于是103d0,104d0.解得.因此d3.数列an的通项公式为an133n.(2).于是Tnb1b2bn.4. (湖北18满分12分)已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由分析：(1)根据an是等差数列，首项a1已知，可设公差为d，由a1，a2，a5成等比数列，即建立关于d的方程求出d来，可得通项公式an.第(2)问可由(1)问求出的an，求出数列an的前n项和Sn，解不等式Sn60n800.若有解则存在正整数n，若无解则不存在解：(1)设数列an的公差为d，依题意，2,2d,24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800，此时不存在正整数n，使得Sn60n800成立当an4n2时，.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.5. (湖南20满分13分)已知数列an满足a11，|an1an|pn，nN*.(1)若an是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若，且a2n1是递增数列，a2n是递减数列，求数列an的通项公式分析：对于第(1)问，根据an是递增数列，可将已知|an1an|pn的绝对值符号去掉再根据a11，用p表示出a2，a3来，然后由条件a1,2a2,3a3成等差数列，建立关于p的方程求出p的值对于第(2)问，可先由已知条件a2n1是递增数列与a2n是递减数列建立不等关系，再依据已知条件|an1an|pn得出a2na2n1与a2n1a2n的表达式最后利用累加法，求出an.解：(1)因为an是递增数列，所以an1an|an1an|pn.而a11，因此a2p1，a3p2p1.又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2a13a3，因而3p2p0，解得，p0.当p0时，an1an，这与an是递增数列矛盾故.(2)由于a2n1是递增数列，因而a2n1a2n10，于是(a2n1a2n)(a2na2n1)0.但，所以|a2n1a2n|a2na2n1|.由，知，a2na2n10，因此.因为a2n是递减数列，同理可得，a2n1a2n0，故.由，即知，.于是ana1(a2a1)(a3a2)(anan1).故数列an的通项公式为.6. (浙江19满分14分)已知数列an和bn满足a1a2a3an若an为等比数列，且a12，b36b2.(1)求an与bn；(2)设 (nN*)记数列cn的前n项和为Sn.求Sn；求正整数k，使得对任意nN*均有SkSn.分析：(1)an为等比数列，且a12，要求an，只需求公比q.又已知b36b2，故由a1a2a3an可得，由此可求出a3，进而由a3a1q2可求出q，则an可求求出an，则a1a2an可求，从而bn可求(2)先由(1)中所求an，bn求出cn，进而求出Sn；若存在正整数k，使得对任意nN*，均有SkSn，则说明Sn具有最大值，即判断数列cn中各项的符号先具体判断前4项的符号，再用作差法判断从第5项开始的以后各项的符号解：(1)由题意，b3b26，知，又由a12，得公比q2(q2，舍去)，所以数列an的通项为an2n(nN*)所以，故数列bn的通项为bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知(nN*)，所以(nN*)因为c10，c20，c30，c40，当n5时，而，得.所以，当n5时，cn0.综上，对任意nN*恒有S4Sn，故k4.7. (广东19满分14分)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由Sn2nan13n24n得，S24a320，S3S2a35a320.又S315，a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，a25，a1S12a273.综上知a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1(nN*)，以下用数学归纳法证明：当n1时，结论显然成立；假设当nk(kN*，且k2)时，有ak2k1成立，则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，k(k2)2kak13k24k，解得ak12k32(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，数列an的通项公式为an2n1(nN*)8. (江西17满分12分)已知首项都是1的两个数列an，bn(bn0，nN*)满足anbn1an1bn2bn1bn0.(1)令，求数列cn的通项公式；(2)若，求数列an的前n项和Sn.分析：(1)根据，将anbn1an1bn2bn1bn0转化，将cn构造成等差数列，利用等差数列的知识求出通项cn.(2)借助于(1)的结论可先求出an，利用求数列前n项和的方法(本题用错位相减法)求出an的前n项和Sn.解：(1)因为anbn1an1bn2bn1bn0，bn0(nN*)，所以，即cn1cn2.所以数列cn是以首项c11，公差d2的等差数列，故cn2n1.(2)由bn3n1知ancnbn(2n1)3n1，于是数列an前n项和Sn130331532(2n1)3n1，3Sn131332(2n3)3n1(2n1)3n，相减得2Sn12(31323n1)(2n1)3n2(2n2)3n，所以Sn(n1)3n1.9. (山东19满分12分)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令，求数列bn的前n项和Tn.分析：第(1)问中可利用等差数列知识，用首项与公差表示出前n项和，再根据S1，S2，S4成等比数列求出首项，从而求得an.求第(2)问时，可结合第(1)问中an的结果得出bn的通项公式，最后对项数n按奇数和偶数两种情况讨论并求出bn的前n项和Tn.解：(1)因为S1a1，S22a122a12，S44a124a112，由题意得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2).当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以.10. (四川19满分12分)设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为，求数列的前n项和Tn.分析：在第(1)问中，利用已知条件(a8,4b7)在f(x)的图象上，得到关于a8，a7的方程，然后结合(a7，b7)在f(x)的图象上，求出公差d，再利用等差数列前n项和公式求出数列an的前n项和Sn；在第(2)问中，充分利用已知条件求出切线方程，得到a2，然后利用a11，求出公差d，从而得到an，bn，再利用乘公比错位加减法求出Tn.解：(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有2a842a72a72.解得da8a72.所以，Snna12nn(n1)n23n.(2)函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在x轴上的截距为.由题意，解得a22.所以，da2a11.从而ann，bn2n.所以，.因此，.所以，11. (重庆22满分12分)设a11，(nN*)(1)若b1，求a2，a3及数列an的通项公式；(2)若b1，问：是否存在实数c使得a2nca2n1对所有nN*成立？证明你的结论分析：(1)方法一：若b1，则，根据其特点，可研究数列(an1)2的性质，由(an1)2的通项，进而求an的通项方法二：先求出an的前几项，猜想an并用数学归纳法证明(2)方法一：令an1anc