2019版高考数学第三章 第1节

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形(2)分类(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|2k，kZ2弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角的弧度数公式|(l表示弧长)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式l|r扇形面积公式Slr|r23.任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin ，cos ，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线、余弦线和正切线1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)小于90的角是锐角()(2)三角形的内角必是第一、第二象限角()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第二象限()答案：(1)(2)(3)(4)2已知角的终边过点P(1,2)，则sin ()A. B.C D解析：选B因为|OP|(O为坐标原点)，所以sin .3若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由sin 0，可知的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限4已知角的终边过点P(8m,3)，且cos ，则m的值为()A B.C D.解析：选A由题意得，且m0.解得m.5已知扇形的圆心角为60，其弧长为2，则此扇形的面积为_解析：设此扇形的半径为r，由题意得r2，所以r6，所以此扇形的面积为266.答案：66在0到2范围内，与角终边相同的角是_解析：与角终边相同的角是2k，kZ，令k1，可得与角终边相同的角是.答案：考什么怎么考高考对象限角及终边相同的角直接考查较少，多渗透到三角函数求值及性质中，属于基础题.1给出下列四个命题：是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确命题的个数为()A1B2C3 D4解析：选C是第三象限角，故错误；，从而是第三象限角，故正确；40036040，从而400是第四象限角，故正确；31536045，从而315是第一象限角，故正确，故选C.2在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ)，解得k(kZ)，从而k2或k1，代入得675或315.答案：675或3153终边在直线yx上的角的集合为_解析：在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴正半轴的夹角是，终边在直线yx上的角的集合为.答案： 4若角是第二象限角，则是第_象限角解析：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角答案：一或三怎样快解准解1象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(00时，cos ；当t0，则()Asin 0 Bcos 0Csin 20 Dcos 20解析：选C由tan 0，可得的终边在第一象限或第三象限，此时sin 与cos 同号，故sin 22sin acos 0，故选C.4若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选C由sin tan 0可知sin ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)答案：(kZ)题型技法利用三角函数线求解三角不等式的方法对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集题“根”探求1思维趋向要明确(1)看到角终边上的点或终边所在的直线想到三角函数定义的应用(2)看到角所在的象限想到三角函数值符号的判断(3)看到三角式比较大小、解三角不等式(方程) 想到三角函数线的应用2二级结论要谨记(1)三角函数值符号的结论：一全正、二正弦，三正切、四余弦(2)当时，sin 1.冲关演练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos 的值为()A. BC. D解析：选D因为点A的纵坐标yA，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点的横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .2已知点P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B由题意得所以角的终边在第二象限3函数y 的定义域为_解析：因为sin x，作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x的集合为.答案：，kZ(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2B4C6 D8解析：选C设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2lr|r24r2，解得r1，lr4，所以所求扇形的周长为2rl6.2已知点P在角的终边上，且0,2)，则的值为()A. B.C. D.解析：选C因为点P在第四象限，根据三角函数的定义可知tan ，又0,2)，可得.3若角与的终边关于x轴对称，则有()A90B90k360，kZC2k180，kZD180k360，kZ解析：选C因为与的终边关于x轴对称，所以2k180，kZ.所以2k180，kZ.4已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得2a3.5下列选项中正确的是()Asin 3000 Bcos(305)0Ctan0 Dsin 100解析：选D30036060，则300是第四象限角；30536055，则305是第一象限角；因为8，所以是第二象限角；因为310，所以10是第三象限角故sin 3000，cos(305)0，tan0，sin 100，故D正确6集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，结合图象知选C.7若1 560，角与终边相同，且360360，则_.解析：因为1 5604360120，所以与终边相同的角为360k120，kZ，令k1或k0可得240或120.答案：120或2408在直角坐标系xOy中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90到B点，则B点坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30，BOx120，设点B坐标为(x，y)，所以x2cos 1201，y2sin 120，即B(1，)答案：(1，)9若两个圆心角相同的扇形的面积之比为14，则这两个扇形的周长之比为_解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为，半径分别为r，R(其中rR)，则，所以rR12，两个扇形的周长之比为12.答案：1210已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，则m_.解析：由题设知点P的横坐标x，纵坐标ym，r2|OP|2()2m2(O为原点)，即r.sin ，r2，即3m28，解得m.答案：B级中档题目练通抓牢1若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0)的弧度数为()A. B.C. D.解析：选C设圆的半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为R，所以圆弧长为R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为.2已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1 B1C3 D3解析：选B由2k(kZ)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.所以y1111.3设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan ()A. B. C D解析：选D是第二象限角，xcos x成立的x的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x.答案：6已知，且lg(cos )有意义(1)试判断角所在的象限；(2)若角的终边上一点M，且|OM|1(O为坐标原点)，求m的值及sin 的值解：(1)由，得sin 0，所以是第四象限角(2)因为|OM|1，所以2m21，解得m.又为第四象限角，故m0，从而m，sin .7若角的终边过点P(4a,3a)(a0)，(1)求sin cos 的值；(2)试判断cos(sin )sin(cos )的符号解：(1)因为角的终边过点P(4a,3a)(a0)，所以x4a，y3a，r5|a|，当a0时，r5a，sin cos .当a0时，r5a，sin cos .(2)当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cos sin0；当a0时，sin ，cos ，则cos(sin )sin(cos )cossin 0.综上，当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为负；当a0时，cos(sin )sin(cos )的符号为正C级重难题目自主选做已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，当且仅当2rl，即r2，l4，2时，扇形面积取得最大值4.圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，l4，即2时，扇形面积取得最大值4.弦长AB2sin 124sin 1.(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45(kZ)Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)解析：选C由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为2k或k36045(kZ)，结合选项知C正确2已知点P在角的终边上，且0,2)，则的值为()A. B.C. D.解析：选C因为点P在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan ，又0,2)，可得.3若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(00，所以m，故B，根据三角函数的定义得tan .(2)若AOB为等边三角形，则AOB，故与角终边相同的角的集合为.10已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1)由题意可得解得或或6.(2)法一：2rl8，S扇lrl2r224，当且仅当2rl，即r2，l4，2时，扇形面积取得最大值4.圆心角2，弦长AB2sin 124sin 1.法二：2rl8，S扇lrr(82r)r(4r)(r2)244，当且仅当r2，l4，即2时，扇形面积取得最大值4.弦长AB2sin 124sin 1.B级拔高题目稳做准做1.已知点P落在角的终边上，且0,2)，则的值为()A. B.C. D.解析：选D由sin 0，cos 0知角是第四象限角，因为tan 1，0,2)，所以.故选D.2.已知sin sin ，那么下列命题成立的是()A若，是第一象限的角，则cos cos B若，是第二象限的角，则tan tan C若，是第三象限的角，则cos cos D若，是第四象限的角，则tan tan 解析：选D由三角函数线可知选D.3.若角是第三象限角，则是第_象限角解析：因为2k2k(kZ)，所以kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n，是第二象限角，当k2n1(nZ)时，2n2n，是第四象限角，综上知，当是第三象限角时，是第二或四象限角答案：二或四4.(2018石家庄模拟)在(0,2)内，使sin xcos x成立的x的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x.答案：5.已知角的终边在直线y3x上，求10sin 的值解：设终边上任一点为P(k，3k)，则r|k|.当k0时，rk，sin ，10sin 330；当k0时，rk，sin ，10sin 330.综上，10sin 0.6若角的终