江苏省扬州市2018届高三数学下学期开学考试2月试题.doc

江苏省扬州中学2018届高三数学下学期开学考试（2月）试题一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程。1.复数的共轭复数是_2设全集,则图中阴影部分表示的区间是_3运行如图所示的伪代码，其结果为_S1For I From 1 To 7 Step 2SSIEnd ForPrint S4.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 5.甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88、89、90；乙组：87、88、92，如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是 6.矩形中，沿,沿将矩形折成一个直二面角，则四面体外接球的体积为 7设满足，则的最大值为 8已知为等差数列，为其前项和，公差为，若，则的值为_9已知函数，当时恒有，则关于的不等式的解集为_10.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆相切于点，与圆相交于点，且，则正数的值为 11.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为_12.函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为_13.在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，点满足，且，则线段在轴上的投影长度的最大值为 14.在中，若当面积取最大值时,则 二.解答题：本大题共6小题，共计90分15（本小题满分14分）已知的内角所对的边分别为，已知.(1)求角的大小；(2)若的面积为，求.16. （本小题满分14分）如图，在三棱锥中，已知平面平面.(1)若，求证： ；(2)若过点作直线平面，求证：平面.17（本小题满分14分）如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽m(从拐角处，即图中A，B处开始)假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为，将线段PQ的长度l表示为的函数；(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由18（本小题满分16分）如图，点A(1，)为椭圆1上一定点，过点A引两直线与椭圆分别交于B，C两点(1)求椭圆方程；(2)若直线AB，AC与x轴围成的是以点A为顶点的等腰三角形求直线BC的斜率；求ABC的面积的最大值，并求出此时直线BC的方程19（本小题满分16分）函数f(x)1lnx，其中k为常数(1)若k0，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若k5，求证：f(x)有且仅有两个零点；(3)若k为整数，且当x2时，f(x)0恒成立，求k的最大值.20.（本小题满分16分） 已知有穷数列，对任意的正整数，都有成立(1)若是等差数列，且首项和公差相等，求证：是等比数列；(2)若是等差数列，且是等比数列，求证：附加题1.已知矩阵A，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量2.求矩阵A，并求出A的逆矩阵2.在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知圆4sin被射线0所截得的弦长为2，求0的值3. 假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0 p 1)现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是 （1）求p的值； （2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E()4.在数列an中，ancos(nN*)(1)试将an1表示为an的函数关系式；(2)若数列bn满足bn1(nN*)，猜想an与bn的大小关系，并证明你的结论参考答案 1.I 2.(，1)(2，) 3.16 4. 5. 6. 7. 2 8. 9. 10.4 11.1，) 12.(1，) 13. 10 14. 15（1）由已知,结合正弦定理得，所以，即，即，因为，所以.7分（2）由，得，即，又，得，所以，又. 14分16.证明：（1）因为平面 平面 ，平面 平面， 平面， ，所以平面.因为平面，所以 .又因为 平面所以平面又因为平面所以. 7分（2）在平面内过作，垂足为,因为平面 平面,又因为平面平面,平面,所以平面,又因为平面，所以,又平面，平面所以平面 14分17解(1)由题意，PA，QA，所以lPAQA 6分(2)设f()，.由f()，令f()0，得tan0. 10分且当(0，0)，f()0；当，f()0，所以f()在(0，0)上单调递减，在上单调递增，所以当0时，f()取得极小值，即为最小值当tan0时，sin0，cos0，所以f()的最小值为3，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3m.因为37，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠 14分18.解(1)把点A(1，)代入1得n6，故椭圆方程为1. 2分(2)显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x轴垂直因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为k1，k2，由消去y，得(3k)x22k1(k1)x(k1)260，点B的横坐标为x1(x1为点A的横坐标)，点B的纵坐标为y，即B. 6分同理可得点C的坐标为C.k1k20，直线BC的斜率为kBC. 8分设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线BC的方程为yxm，代入方程1得6x22mxm260，x1x2m，x1x2，BC|x1x2|2，又点A到直线BC的距离为d，SABCBCd，当m26，即m或m时，ABC面积取得最大值.此时，直线BC的方程为yx. 16分19.(1)解当k0时，f(x)1lnx.因为f(x)，从而f(1)1.又f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y1x1，即xy0. 2分(2)证明当k5时，f(x)lnx4.因为f(x)，从而当x(0,10)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(10，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x10时，f(x)有极小值因为f(10)ln1030，f(1)60，所以f(x)在(1,10)之间有一个零点因为f(e4)440，所以f(x)在(10，e4)之间有一个零点从而f(x)有两个不同的零点 8分(3)解方法一由题意知，1lnx0在(2，)上恒成立，即k在(2，)上恒成立令h(x)，则h(x).设(x)x2lnx4，则(x).当x(2，)时，(x)0，所以(x)在(2，)上为增函数因为(8)82ln8442ln80，(9)52ln90，所以存在x0(8,9)，(x0)0，即x02lnx040.当x(2，x0)时，h(x)0，h(x)单调递减，当x(x0，)时，h(x)0，h(x)单调递增所以当xx0时，h(x)的最小值为h(x0).因为lnx0，所以h(x0)(4,4.5)故所求的整数k的最大值为4. 8分方法二由题意知，1lnx0在(2，)上恒成立f(x)1lnx，f(x).当2k2，即k1时，f(x)0在(2，)上恒成立，所以f(x)在(2，)上单调递增而f(2)1ln20成立，所以满足要求当2k2，即k1时，当x(2,2k)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(2k，)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当x2k时，f(x)有最小值f(2k)2ln2kk.从而f(x)0在(2，)上恒成立等价于2ln2kk0.令g(k)2ln2kk，则g(k)0，从而g(k)在(1，)为减函数因为g(4)ln820，g(5)ln1030，所以使2ln2kk0成立的最大正整数k4.综合，知所求的整数k的最大值为4. 20.证明：（1）依题意，且，2分 因为， 所以（）， 得，（）， 4分 所以（）， 得，（），即（），6分中，令得，即，所以， 所以， 从而，即证是等比数列；8分（2）因为是等比数列，不妨设公比为， 因为， 所以（）， 得，（）， 即（），13分 因为是等差数列，所以，此时（）且对也适合， 所以 16分附加题参考答案1.解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量1可得，6，即cd6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量2，可得，即3c2d2，解得即A 6分A的逆矩阵是 10分2.解圆4sin的直角坐标方程为(x1)2(y)24，射线0的直角坐标方程可以设为ykx(x0，k0) 6分圆心(1，)到直线ykx的距离d.根据题意，得22，解得k.即tan0，又0，所以0. 10分3.解：（1）设事件：“恰用完3次投篮机会”， 则其对立事件：“前两次投篮均不中”， 依题意， 解得；答：（3分） （2）依题意，的所有可能值为0，1，2，3， 且， ，故， 的概率分布表为：0123 8分E()（次）答： E() 10分4.解(1)ancoscos221，an2a1， 2分an1，又nN*，n12，an10，an1. 3分 (2)当n1时，a1，b1121，a1b1，当n2时，a2，b21，a2b2，当n3时，a3，b31，a3b3，猜想：当n