高考数学一轮复习专题3.6三角函数性质的应用练习（含解析）.docx

第六讲 三角函数性质的应用【套路秘籍】-千里之行始于足下一yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0振幅周期频率相位初相ATfx二.用五点法画yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A0三.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种途径【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 求解析式【例1】（1）函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0，0，2，则（）AA=4B=1C=6DB=4【答案】（1）f(x)=sin(2x+) （2）C【解析】（1）由图可知A=,=-=,所以T=,故=2,因此f(x)=sin(2x+).又函数图象过点(,0)因此2+=+2k,kZ,又根据|,所以=,故f(x)=sin(2x+).（2）如图根据函数的最大值和最小值得A+B=4A-B=0求得A=2,B=2函数的周期为512-64=，即=2,=2当x=6时取最大值，即sin26+=1,26+=2k+22=6故选：C【套路总结】由yAsin(x)的图象确定解析式的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“x0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式yAsin x，再根据图象平移规律确定相关的参数【举一反三】1.函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin【答案】A【解析】由图可知，A2，最小正周期T，所以2，所以y2sin(2x)。又因为图象过点，所以2sin2，即2k(kZ)，当k0时，得，所以y2sin。2.已知函数f(x)Atan(x)的部分图象如图所示，则f _.【答案】【解析】由题干图象知2，所以2.因为2k(kZ)，所以k(kZ)，又|0,0)的部分图象如图所示，则函数f(4x)图象的对称中心为_ .【答案】k3,1，kZ【解析】由题意，根据函数的图象可知A+B=3，且-A+B=-1，得A=2,B=1，则f(x)=2sin(x+)+1，又由T2=2-23=43，即T=83，又由2w=83，得w=34，由五点对应法得2334+=2，得=0，即f(x)=2sin(34x)+1，则f(4x)=2sin(344)+1=2sin(3x)+1，令3x=k，得x=k3，即函数的对称中心为(k3,1),kZ，故答案为：(k3,1),kZ4.若直线x和x是函数ycos(x)(0)图象的两条相邻对称轴，则_.【答案】k，kZ【解析】由题意，函数的周期T22，1，ycos(x)，当x时，函数取得最大值或最小值，即cos1，可得k，kZ，k，kZ.考向二 伸缩平移【例2】（1）要得到函数y=3cos2x+sinxcosx-32的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）A向左平移12个单位B向右平移12个单位C向左平移6个单位D向右平移6个单位（2）要得到函数y=2cosx的图象，只需将y=2cos（2x+4）的图象所有点（）A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移4个单位长度B横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移8个单位长度C横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移4个单位长度D横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再向左平移8个单位长度（3）若函数f (x)cos，为了得到函数g(x)sin2x的图象，则只需将f (x)的图象()A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度【答案】（1）C （2）A （3）A【解析】（1）函数y=3cos2x+sinxcosx-32=321+cos2x+sin2x2-32sin（2x+3）sin2（x+6），故把函数y=sin2x的图象向左平移6个单位，可得函数y=3cos2x+sinxcosx-32的图象，故选：C（2）由题意，函数y=2cos2x+4图像所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y=2cosx+4，再将函数y=2cosx+4图象上个点向右平移4个单位长度，即可得函数y=2cosx的图象 故选：A（3）函数f (x)cossinsin，为了得到函数g(x)sin2x的图象，则只需将f (x)的图象向右平移个单位长度即可。故选A。【套路总结】一参数A、对函数yAsin(x)图象的影响对函数ysin(x)图象的影响(0)对函数ysin(x)图象的影响A(A0)对函数yAsin(x)图象的影响二由函数ysin x的图象得到函数yAsin(x)的图象的途径由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”【举一反三】1已知函数fx=sin3-2x，若要得到gx=sin-6-2x的图象，只需将函数y=fx的图象上所有的点( )A向左平移4个单位长度B向右平移4个单位长度C向左平移2个单位长度D向右平移2个单位长度【答案】A【解析】f（x）sin（3- 2x）-sin（2x-3 ）=-sin2（x-6），g（x）sin（-6- 2x）=-sin（6+ 2x）=-sin2（x+12）要想得到函数g（x）sin（-6- 2x）的图象，只需把函数f（x）sin（3- 2x）的图象上的所有的点向左平移4个单位故选：A2已知曲线y=sin(2x+6)向左平移(0)个单位，得到的曲线y=g(x)经过点(-12,1)，则A函数y=g(x)的最小正周期T=2B函数y=g(x)在1112,1712上单调递增C曲线y=g(x)关于直线x=6对称D曲线y=g(x)关于点(23,0)对称【答案】D【解析】解法1：由题意，得g(x)=sin(2x+6+2)，且g(-12)=1，即sin(2)=1，所以2=2k+2(kZ)，即=k+4(kZ)，故g(x)=sin(2x+23)，故y=g(x)的最小正周期T=，故选项A错；因为y=g(x)的单调递减区间为k-12,k+512(kZ)，故选项B错；曲线y=g(x)的对称轴方程为x=-12+k2(kZ)，故选项C错；因为g(23)=0，所以选项D正确，故选D.解法2：由于曲线y=sin(2x+6)向左平移(0)个单位，得到的曲线y=g(x)特征保持不变，周期T=，故y=g(x)的最小正周期T=，故选项A错；由其图象特征，易知y=g(x)的单调递减区间为k-12,k+512(kZ)，故选项B错；曲线y=g(x)的对称轴方程为x=-12+k2(kZ)，故选项C错；因为g(23)=0，所以选项D正确，故选D.3为得到函数y=sin2x-23的图象，只需将函数y=cosx的图象上的所有点（ ）A横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移512个单位长度B横坐标缩短为原来的12倍，再向右平移712个单位长度C向左平移76个单位长度，横坐标再缩短为原来的12倍D向右平移56个单位长度，横坐标再伸长为原来的2倍【答案】B【解析】y=sin2x-23=cos(2x-23-2)=cos(2x-76)，把y=cosx图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍得到y=cos2x的图象，再向右平移712个单位长度得到y=cos2x-712=cos2x-76的图象，故选:B.4.函数ysin的图象可以由函数ycos的图象()A向右平移个单位长度得到 B向右平移个单位长度得到C向左平移个单位长度得到 D向左平移个单位长度得到【答案】B【解析】解法一：由ycossin，ysinsin，知函数ysin的图象可以由ycos的图象向右平移个单位长度得到。解法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B。考向三 函数yAsin(x)的图象及应用【例3】（1）若将函数f(x)sin 2xcos 2x的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_（2）函数f(x)cos(0)的最小正周期是，则其图象向右平移个单位长度后对应函数的单调递减区间是_（3）将函数ysin 2x的图象向右平移个单位长度(0)，使得平移后的图象仍过点，则的最小值为_【答案】（1） （2）(kZ) （3）【解析】（1）f(x)sin 2xcos 2xcos，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为ycos，且该函数为偶函数，故2k(kZ)，所以的最小正值为.（2）由题意知2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)coscossin 2x的图象，由2k2x2k(kZ)，解得所求函数的单调递减区间为(kZ)（3）将ysin 2x的图象向右平移个单位长度(0)得到ysin 2(x)，代入点得sin，因为0，所以当2时，第一个正弦值为的角，此时最小，为.【套路总结】函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质1.奇偶性:=k(kZ)时,函数y=Asin(x+)为奇函数;=k+(kZ)时,函数y=Asin(x+)为偶函数.2.周期性:y=Asin(x+)存在周期性,其最小正周期为T=.3.单调性:根据y=sin t和t=x+的单调性来研究,由-+2kx+2k,kZ得单调递增区间;由+2kx+2k,kZ得单调递减区间.4.对称性:利用y=sin x的对称中心为(k,0)(kZ)求解,令x+=k(kZ),求得x.利用y=sin x的对称轴为x=k+(kZ)求解,令x+=k+(kZ)得其对称轴.【举一反三】1将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为_【答案】【解析】将函数f(x)sin(2x)的图象向左平移个单位长度得到ysinsin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则k(kZ)，又|0,0,R),则“f(x)是奇函数”是“=”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若f(x)是奇函数,则f(0)=0,所以cos =0,所以=+k(kZ),故=不成立;若=,则f(x)=Acos(x+)=-Asin x,f(x)是奇函数.所以f(x)是奇函数是=的必要不充分条件.故选B.3.设0,函数y=sin(x+)+2的图象向右平移个单位后与原图象重合,则的最小值是()A. B. C D.3【答案】C【解析】由题意得k=(kN*),所以=k(kN*),所以min=.考向四 三角函数的零点问题【例4】函数f (x)3sinxlogx的零点的个数是()A2 B3C4 D5【答案】D【解析】函数f (x)零点个数即为y3sinx与ylogx两函数图象的交点个数，如图，函数y3sinx与ylogx有5个交点。【举一反三】1. 已知关于x的方程2sin2xsin 2xm10在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_【答案】(2，1)【解析】方程2sin2xsin 2xm10可转化为m12sin2xsin 2xcos 2xsin 2x2sin，x.设2xt，则t，题目条件可转化为sin t，t有两个不同的实数根y和ysin t，t的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(2，1)考向五 综合各运用【例5】 已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，若f(0)，且8，B，C分别为最高点与最低点(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值【答案】见解析【解析】(1)由f(0)，可得2sin ，即sin .又|，.由题意可知，则88，T.故2，f(x)2sin.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由题意将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，g(x)f2sin2sin.x，2x，sin.当2x，即x0时，sin，g(x)取得最大值，当2x，即x时，sin1，g(x)取得最小值2.【套路总结】解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f(x)化为asin xbcos x的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f(x)；第三步：(求性质)利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质【举一反三】1.已知函数f(x)4sin xcos.求f(x)在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值；若方程f(x)t0在x上有唯一解，求实数t的取值范围【答案】见解析【解析】f(x)4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2xcos 2x2sin.因为x，所以2x，所以sin1，所以1f(x)2，当2x，即x时，f(x)min1；当2x，即x时，f(x)max2.因为当x时，2x，所以12sin2，且单调递增；当x时，2x，所以2sin2，且单调递减，所以f(x)t有唯一解时对应t的取值范围是t，1)或t2.2已知函数f(x)Asin(x)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x03，2)(1)求f(x)的解析式；(2)将yf(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图像向x轴正方向平移个单位长度，得到函数yg(x)的图像，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图像【答案】见解析【解析】(1)由已知，易得A2，(x03)x03，解得T6，所以.把(0，1)代入解析式f(x)2sin，得2sin 1.又|0,0,|0,0,|0，2的最小正周期是，若其图象向左平移3个单位后得到的函数为偶函数，则函数fx的图象（ ）A关于点12，0对称B关于直线x=12对称C关于点6，0对称D关于直线x=6对称【答案】A【解析】由题意，函数fx=sinx+的最小正周期是，即2w=，解得w=2，所以fx=sin2x+，将函数fx的向左平移3个单位后得到函数g(x)=sin2(x+3)+=sin(2x+23+)因为gx为偶函数，所以g(0)=sin(23+)=1，即23+=2+k,kZ，解得=-6+k,kZ，因为0，0）的部分图象如图所示、将函数f(x)的图象向左平移3个单位长度，得到y=g(x)的图象，则下列说法正确的是（ ）A函数g(x)为奇函数B函数g(x)的单调递增区间为-512+k,12+k(kZ)C函数g(x)为偶函数D函数g(x)的图象的对称轴为直线x=k+6(kZ)【答案】B【解析】由函数f(x)=Asin(x+)的图像可知函数f(x)的周期为、过点512，3、最大值为3，所以A=3,T=2=，=2，f512=3sin2512+=3，=-3+2kkZ，所以取k=0时，函数f(x)的解析式为f(x)=3sin2x-3，将函数f(x)的图像向左平移3个单位长度得g(x)=3sin2x+3-3=3sin2x+3，当-2+2k2x+32+2kkZ时，即x-512+k,12+k(kZ)时，函数g(x)单调递增，选B。5函数y=sin2x+6的图象可由函数y=3sin2x-cos2x的图象（ ）A向右平移3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B向右平移6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C向左平移3个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到D向左平移6个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到【答案】D【解析】由y=3sin2x-cos2x得：y=2sin2x-6将它的图象向左平移6个单位，可得函数y=2sin2x+6-6=2sin2x+6的图象，再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到：y=sin2x+6图象.故选：D6将函数y=2sin(3-2x)-cos(6+2x)(xR)的图像向右平移4个单位长度，所得图像对应的函数（ ）A在(-2,0)上递增B在(-2,0)上递减C在(0,6)上递增D在(0,6)上递减【答案】C【解析】y=2sin(3-2x)-cos(6+2x)，=2(sin3cos2x-cos3sin2x)-cos6cos2x+sin6sin2x，=3cos2x-sin2x-32cos2x+12sin2x=32cos2x-12sin2x=cos(2x+6)，向右平移4个单位长度得到f(x)=cos2(x-4)+6=cos(2x-3)，函数f(x)=cos(2x-3)的单调递增区间为-+2k2x-32k(kZ)，即当-3+2kx6+2k(kZ)时，f(x)是增函数，因为(0,6)在函数f(x)的单调递增区间上，所以函数f(x)在(0,6)上为增函数，故选C。7已知函数fx=sin2x+3cos2x，给出下列四个结论：函数fx的最小正周期是函数fx在区间-6,3上是减函数函数fx的图像关于点3,0对称函数fx的图像可由函数y=2sin2x的图像向左平移3个单位得到其中正确结论的个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】fx=sin2x+3cos2x=2sin(2x+3)因为2，则f（x）的最小正周期T，结论正确当x-6,3时，2x+30, ，y=sinx在0,上不是单调函数，结论错误因为f（3）0，则函数f（x）图象的一个对称中心为3,0 结论正确函数f（x）的图象可由函数ysin2x的图象向左平移6个单位得到结论错误故正确结论有，故选B.8将函数f(x)=2sin2x的图象向右平移02个单位后得到函数g(x)的图象，若方程fx1-gx2=4的根x1，x2满足x1-x2min=6，则的值是（ ）A4B6C3D2【答案】C【解析】由题gx=2sin2x-=2sin(2x-2),则fx1-gx2=2sin2x1-2sin(2x2-2)=4，不妨设2sin2x1=2，2sin(2x2-2)=-2，则2x1=2k1+2,2x2-2=2k2-2,k1,k2Z,则x1-x2=k1+4-k2-4+=k1-k2+2-，又00)的图像向左平移4个单位后与原函数的图像重合，则实数的值可能是（ ）A6B10C12D16【答案】D【解析】因为f(x)=2sin(x+6)，由题意可得4是f(x)的一个周期，所以k2=4，k为正整数即=8k，结合选项可得D正确.10将函数y=sin2x的图像向右平移0个单位后与y=-sin2x的图像重合，则的最小值为（ ）A6B4C3D2【答案】D【解析】因为将函数y=sin2x的图像向右平移(0)个单位后，可得y=sin(2x-2)，由题意可得sin2x-2=-sin2x，所以2=+2k，kZ,因此=2+k，kZ,又0，所以的最小值为2.故选D11将函数y=sin2x+3图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6个单位，所得函数的一个对称中心可以是（ ）A0,0B6,0C3,0D2,0【答案】D【解析】将函数y=sin2x+3图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移6个单位，所得函数解析式为y=sinx+2=cosx，所以其对称中心为2+k,0（kZ）.故选D12已知函数f(x)=3sin2x-cos2x的图象向左平移3个单位长度，横坐标伸长为原来的2倍得函数g(x)的图象，则下列区间为g(x)的单调递增区间的是（ ）A(-2,0)B(-2,6)C(0,6)D(6,23)【答案】A【解析】函数fx=3sin2x-cos2x=2sin2x-6，向左平移3个单位长度，可得y=2sin2x+3-6=2sin2x+2=2cos2x再把所得图象上每个点横坐标伸长为原来的2倍得函数g(x)的图象，gx=2cosx，令2k-x2k，kZ，当k0时，函数yg（x）的一个单调递增区间为：-，0故选：A13已知函数f(x)=2sin(2x+3)，则下列说法不正确的是（ ）A函数y=f(x)的周期为B函数y=f(x)的图像关于点(-6,0)对称C将函数y=f(x)的图像向右平行移动6个单位得到函数y=2sin2x的图像D函数y=f(x)的图像关于直线x=3对称【答案】D【解析】fx的最小正周期为T=22=，故A选项正确.f-6=2sin2-6+3=0，故B选项正确. 将函数y=f(x)的图像向右平行移动6个单位得到函数y=sin2x-6+3=2sin2x，故C选项正确.f3=2sin=0，故x=3不是fx的对称轴，即D选项说法错误.所以本小题选D.14函数fx=Asinx+（其中A0,2）的图象如图所示，为了得到gx=cos2x的图象，则只要将fx的图象（）A向右平移6B向右平移12C向左平移6D向左平移12【答案】D【解析】由图象得A=1,T=4(712-3)=，所以=2，f(x)=sin(2x+)又点(712,-1)为函数图象上的一个最低点，2712+=32+2k,kZ，=3+2k,kZ，又0)在区间上单调递减，则的取值范围是()A B C D【答案】D【解析】令2kx2k(kZ)，得x，因为f (x)在上单调递减，所以得：6k4k3。又0，所以k0，又6k4k3，得0k0)的一条对称轴x，一个对称中心为点，则有()A最小值2 B最大值2C最小值1 D最大值1【答案】A【解析】因为函数的中心到对称轴的最短距离是，两条对称轴间的最短距离是，所以，中心到对称轴x间的距离用周期可表示为(kN，T为周期)，解得(2k1)T，又T，所以(2k1)，则2(2k1)，当k0时，2最小。故选A。17.若函数ycos(N*)的图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2C4 D8【答案】B【解析】依题意得cos0，则k，kZ，解得6k2，又N*，所以的最小值为2。18.已知函数f (x)2sinx在区间上的最小值为2，则的取值范围是_。【答案】(，2【解析】显然0。若0，当x时，x，因为函数f (x)2sinx在区间上的最小值为2，所以，解得。若0)，f f ，且f (x)在区间内有最小值无最大值，则_。【答案】【解析】因为f f ，而，所以f (x)的图象关于直线x对称，又f (x)在区间内有最小值无最大值，所以f (x)minf sin1，所以k，kZ，解得4k。再由f (x)在区间内有最小值无最大值，得T，解得12，所以k0，。20.函数f(x)cos(x)(0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为_【答案】，kZ【解析】由图象知，周期T22，2，.由2k，kZ，不妨取，f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点对称，则m的最小值为_【答案】【解析】依题意得解得，故2，则f(x)sin(2x).又fsin，故2k(kZ)，即2k(kZ)因为|0，所以m的最小值为.22.已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为_【答案】【解析】f(x)sin xcos x2sin(0)由2sin1，得sin，x2k或x2k(kZ)令k0，得x1，x2，x10，x2.由|x1x2|，得，2.故f(x)的最小正周期T.23已知函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x对称，若存在x，使m23mf(x)成立，则实数m的取值范围为_【答案】(，12，)【解析】函数f(x)Asin(2x)的图象在y轴上的截距为1，Asin 1，即Asin .函数f(x)Asin(2x)的图象关于直线x对称，2k，kZ，又0，Asin，A，f(x)sin.当x时，2x，当2x，即x时，f(x)min2.令m23m2，解得m2或m1.24设函数f(x)sinsin，其中03.已知f 0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值【答案】见解析【解析】(1)因为f(x)sinsin，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin.由题设知f 0，所以k，kZ，故6k2，kZ.又