数学物理方法 课本答案第五章 Bessel 函数.doc

第五章 Bessel 函数52 基础训练5.2.1例题分析 例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量： （1）解 先把时间变量分离出来，令，代入方程（1）两边同乘以并移项得上式左边仅是的函数；右边是,的函数。若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为，则有 (2) (3)（3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为：进一步分离变量，令，代入上式得两边同乘以，并整理得同上讨论，等式两边应为同一常数，记为，则有 (4) (5)对（5）式作代数变换后变为贝塞尔方程 (6)其通解是 其中为第一类和第二类Bessel函数。由周期条件，方程（4）的解为 由波动问题及解在有限的条件，方程（2）的解为 例2 用的级数表达式证明：（1） ； （2） 证明：（1） 因为， 所以 （2） 例3 利用Bessel函数的递推公式：(1) 将用及表出；(2) 证明 .(3) 证明 .(4) 证明 .(5) 证明 .(1) 解 由 得(2) 证明：由得 (3) 证明： 由,得即(4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：(5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得： 例4 计算。 解 令，得 例5 在第一类齐次边界条件下，把定义在上的函数按零阶Bessel函数展开成级数 解：由Bessel函数的完备性，有 其中的模方，因为属于第一类齐次边界条件由零阶Bessel函数的零点确定本征值 按公式(5.25)，有 为求表达式中的积分，先计算以下不定积分 （1） （2） 下面利用Bessel函数的降阶公式以简化结果，可得 （3） 利用(1)，(3)两式，就可求出表达式中的积分 （4） 于是有 即例6 求解下列定解问题： 解：令代入原方程，得 （1） （2）（1）式的通解为 （2）式的通解为：因为，故。由边界条件得到： ，即。由此得到本征值为，本征函数为。故问题的一般解为： 叠加得到： 由初始条件代入得到： 故有 又由 ，有 将代入得到原定解问题的解为：例7 若例6方程换成非齐次的，即 而所有定解条件均为零，试求其解。解：这时定解问题化为 由于方程为非齐次方程，方程的自由项及边界条件与t无关，故可令： 代入方程得： 设 ，由待定系数法求得： 又为定解问题 的解。令 ，代入方程并与例6同样得到问题的一般解： 叠加得到： 由初始条件 代入得到：，故由初始条件得到： ，而 代入原式得：最后 而，故 例8 求解下列定解问题 解：令代入原方程，得 （1） （2）（1）式的通解为 （2）式的通解为：因为，取。由边界条件得到： ，即。由此得到本征值为，本征函数为。故问题的一般解为： 叠加得到： 由 ，有 将代入得到原定解问题的解为：例9试解下列圆柱区域的边界值问题，在圆柱内，在圆柱侧面，在下底，在上底。解：设圆柱半径为a，高为h，其定解问题为： （1） ， （2） （3）由于定解问题与无关，故令： 代入（1）得到： （4） （5）由（3）得 （6）解本征值问题（5）和（6）得： （7）将代入（4）式得 解此方程得到： 而由边界条件，得，有 故有 （8） 其中。由（7）和（8），得问题的一般解为 将上式代入边界条件，得将按展开的展开式，由系数公式可得： 故得到原定解问题的解为： （9）5.2.2。习题1写出的（n为正整数）级数表达式的前5项。2证明，其中。3证明为方程的解。4试证是方程 的一个解。5试证是方程的一个解。6利用递推公式证明：（1）（2） 7试证 。8 .求解半径为，边界固定的圆膜的轴对称振动问题，设时有膜上处有一冲量的垂直作用。9 半径为b的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面初始速度分布为零求解膜的振动情况 10 一均匀无限长圆柱体，体内无热源，通过柱体表面沿法向的热量为常数q，若柱体的初始温度也为常数，求任意时刻柱体的温度分布。 11 圆柱空腔内电磁振荡的定解问题为 （1）试证电磁振荡的固有频率为 。5.2.3 解答与提示1解：由公式 ，可得到：的前5项的前5项的前5项2证明：利用公式立即可得。3 证明： 显然所给方程是时的阶Bessel方程，故其通解为： 特别地，令，可知 是原方程的解。4证明：将及代入中检验即可。5 证明：将代入原方程的左边得： 显然，由第3题知当时 ，故原题得证。6 证明：（1）由Bessel函数的降阶公式，得再由及，得 故。（2）由有： 。7 证明：由 及分部积分法可得： 8 解：以圆膜的中心为原点、以圆膜的平衡位置为坐标面取极坐标系，显然问题是中心对称的，则有定解问题： （1）其中是膜的密度，是作用的冲量。设 ，代入问题（1）中的方程和边界条件，并注意到，可得 （2）和 （3）由本征值问题（2）得到 然后由方程（3）解得 于是 代入初始条件，得到 计算得到 于是，得到定解问题的解为： 9 解：按题意，定解问题为 ， (1) ，。 因为波动方程在柱坐标中分离变量所得本征模式应是 (2) 现根据所给条件，将不符合要求的函数族剔除 （1）属内域问题，必须满足自然边界条件，所以Neumann函数应舍弃 （2）问题是轴对称的，与无关，故应令，则 （3）本为二维问题，与变量z无关，故应令，所以 （4）本征值k应由侧面齐次边界条件确定，设零阶Bessel函数的零点为，则本征值为所以，一般解应为 (3)式中的待定系数由初始条件确定将式(3)代入式(1)中的初始条件，可得 （4） （5）由式(5)知，系数由式(4)知 （6）其中模方应为 （7）利用例题5的结果，求出式(6)中的积分为 （8）最后，得到膜的横振动解为10 解 以柱体轴线为z轴建立柱坐标系，则主体温度满足定解问题（因为所有条件与无关，故问题为轴对称的） （1） 先将边界条件齐次化，令，其中v满足齐次边界条件，因此要求 令，并假定它满足齐次方程。因此，可以取 将有待定函数的代入齐次方程，求出 注意到是与无关的函数，故取 为了使初始条件进一步简化，取 （2）于是满足如下定解问题 （3）令代入（3）式中方程及边界条件有 （4）及 （5）由此解得本征值和本征函数是 （6）其中为的第n个零点。将本证值代入（4），解得 （7）于是问题（3）的解可以写成 （8）由初始条件及Bessl函数的完备性有 计算含有Bessel函数的积分，得到 。 （9）将（8），（9）代入