2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示教案文新人教A版.docx

第2讲平面向量基本定理及坐标表示一、知识梳理1平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10提醒当且仅当x2y20时，ab与等价即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例常用结论1若a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab，则x1x2且y1y2.2已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点的坐标为.3向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的二、习题改编1(必修4P99例8改编)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为()A(2，2) B(3，1)C(2，2)或(3，1) D(2，2)或(3，1)解析：选D.由题意得或，(3，3)设P(x，y)，则(x1，y3)，当时，(x1，y3)(3，3)，所以x2，y2，即P(2，2)；当时，(x1，y3)(3，3)，所以x3，y1，即P(3，1)故选D.2(必修4P119A组T8改编)已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb与a2b共线，则()A B.C2 D2解析：选A.由向量a(2，3)，b(1，2)，得manb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)由manb与a2b共线，得(2mn)4(3m2n)，所以.故选A.一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，向量，的夹角为ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12 ，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误1设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，则给出下列向量组：与；与；与；与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A BC D解析：选B.平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：对于，与不共线，可作为基底；对于，与为共线向量，不可作为基底；对于，与是两个不共线的向量，可作为基底；对于，与在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底2已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7，4)C(1，4) D(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3，2)(7，4)故选A.法二：(3，2)(0，1)(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)故选A.平面向量基本定理及其应用(师生共研) (1)在ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且2，3，若a，b，则()A.abB.abCab Dab(2)(2020郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若(，R)，则 【解析】(1)()ab.(2)由题图可设x(x0)，则x()xx.因为，与不共线，所以，x，所以.【答案】(1)C(2)运算遵法则基底定分解(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的1在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且APAB，BQBC，若a，b，则()A.abBabC.ab Dab解析：选A.由题意知()ab，故选A.2已知点A，B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且与不共线(1)在OAB中，点P在AB上，且2，若rs，求rs的值；(2)已知点P满足m(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值解：(1)因为2，所以，所以()，又因为rs，所以r，s，所以rs0.(2)因为四边形OABP为平行四边形，所以，又因为m，所以(m1)，依题意，是非零向量且不共线，所以m10，解得m1.平面向量的坐标运算(师生共研) 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n的值；(3)求M，N的坐标及向量的坐标【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以N(9，2)所以(9，18)向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用1已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是 解析：由点C是线段AB上一点，|2|，得2.设点B为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)答案：(4，7)2如图所示，以e1，e2为基底，则a 解析：以e1的起点为原点建立平面直角坐标系，则e1(1，0)，e2(1，1)，a(3，1)，令axe1ye2，即(3，1)x(1，0)y(1，1)，则所以即a2e1e2.答案：2e1e2平面向量共线的坐标表示(多维探究)角度一利用向量共线求向量或点的坐标 已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为 【解析】因为在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，所以2.设点D的坐标为(x，y)，则(4，2)(x，y)(4x，2y)，(2，1)(1，2)(1，1)，所以(4x，2y)2(1，1)，即(4x，2y)(2，2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)【答案】(2，4)角度二利用两向量共线求参数 已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A B.C. D【解析】(4k，7)，(2k，2)因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以2(4k)7(2k)，解得k.【答案】A(1)向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值1已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，则m 解析：因为a(2，1)，b(1，m)，所以ab(1，m1)因为(ab)c，c(1，2)，所以2(1)(m1)0.所以m1.答案：12已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：因为A，B，C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A、B、C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.思想方法系列8坐标法解决平面向量的线性运算 (2020湖北十堰调研)在直角三角形ABC中，A90，AB3，AC4，P在ABC斜边BC的中线AD上，则()的最大值为()A.B.C. D【解析】以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则B(3，0)，C(0，4)，BC中点D，则直线AD的方程为yx.设P，所以，()x2x，所以当x时，()的最大值为.故选B.【答案】B系要建得巧，题就解得妙坐标是向量代数化的媒介，而坐标的获得又要借助于直角坐标系，对于某些平面向量问题，若能建立适当的直角坐标系，往往能很快实现问题的转化常见的建系方法如下：(1)利用图形中现成的垂直关系若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；(2)利用图形中的对称关系图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则 解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则，(1，1)因为，所以解得所以.法二：由，得，又，所以解得所以.答案：基础题组练1已知e1(2，1)，e2(1，3)，a(1，2)若a1e12e2，则实数对(1，2)为()A(1，1) B(1，1)C(1，1) D(1，1)解析：选B.因为e1(2，1)，e2(1，3)，所以a1e12e21(2，1)2(1，3)(212，132)又因为a(1，2)，所以解得故选B.2(2020河南新乡三模)设向量e1，e2是平面内的一组基底，若向量a3e1e2与be1e2共线，则()A. BC3 D3解析：选B.法一：因为a与b共线，所以存在R，使得ab，即3e1e2(e1e2)故3，1，解得.故选B.法二：因为向量e1，e2是平面内的一组基底，故由a与b共线可得，解得.故选B.3已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，(2，4)，(1，3)，若点E满足3，则点E的坐标为()A. B.C. D解析：选A.易知(1，1)，则C(1，1)，设E(x，y)，则33(1x，1y)(33x，33y)，由3知所以所以E.4(2020河北豫水中学质检)已知在RtABC中，BAC90，AB1，AC2，D是ABC内一点，且DAB60，设(，R)，则()A. B.C3 D2解析：选A.如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为DAB60，所以设D点的坐标为(m，m)(m0)(m，m)(1，0)(0，2)(，2)，则m，且m，所以.5设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则 解析：因为a(1，2)，b(2，3)，所以ab(，2)(2，3)(2，23)因为向量ab与向量c(4，7)共线，所以7(2)4(23)0.所以2.答案：26已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若(R)，且点P在直线x2y0上，则的值为 解析：设P(x，y)，则由，得(x2，y3)(2，2)(5，7)(25，27)，所以x54，y75.又点P在直线x2y0上，故542(75)0，解得.答案：7在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点若，其中，R，则 解析：选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得所以.答案：8已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线解：(1)t1t2t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2)点M在第二或第三象限解得t20且t12t20.故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2，4t22)因为(4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，所以A，B，M三点共线综合题组练1若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(2，0) B(0，2