高考数学一轮复习 2.6一次函数、二次函数与幂函数精品课件 新人教A版.ppt

要点梳理1 一次函数 二次函数的图象及性质 1 一次函数y kx b 当k 0时 在实数集r上是增函数 当k 0时在实数集r上是减函数 b叫纵截距 当b 0时图象过原点 且此时函数是奇函数 当b 0时函数为非奇非偶函数 2 6一次函数 二次函数与幂函数 基础知识自主学习 2 二次函数的解析式 二次函数的一般式为 二次函数的顶点式为 其中顶点为 二次函数的两根式为 其中x1 x2是方程ax2 bx c 0的两根 也就是函数的零点 根据已知条件 选择恰当的形式 利用待定系数法可求解析式 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 h k 3 二次函数图象和性质 二次函数y ax2 bx c a 0 的顶点坐标为 对称轴方程为 熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴 并会画示意图 在对称轴的两侧单调性相反 当b 0时为偶函数 当b 0时为非奇非偶函数 2 二次函数 一元二次方程 一元二次不等式三者之间的关系 x1 x2 x1 x2 x0 x x x2或x x1 x x r且x x0 r x x1 x x2 3 幂函数 1 幂函数的定义形如 r 的函数称为幂函数 其中x是 为 2 幂函数的图象 自变量 常数 3 幂函数的性质 函数 特征 性质 r r r 0 x x r且x 0 r 0 r 0 y y r且y 0 奇 奇 奇 偶 非奇非偶 1 1 0 0 x 0 时 增x 0 时 减 增 增 增 x 0 时 减x 0 时 减 1 1 基础自测1 直线的图象可能是 解析 a 0 c不可能 当a 0时 排除a 当a 0时 排除d 故选b b 2 一次函数y ax b与二次函数y ax2 bx c在同一坐标系中的图象大致是 解析选项a中 一次函数的斜率a 0 而二次函数开口向下 相互矛盾 排除a 同理排除d y ax2 bx c的对称轴为当a 0 b 0时 排除b 当a 0 b 0时 故选c c 3 设则使函数的定义域为r且为奇函数的所有值为 a 1 3b 1 1c 1 3d 1 3 解析当 1 3时 的定义域为r且为奇函数 当 1时 的定义域为 x x 0 x r 淘汰b c 当时 的定义域为 0 排除d 故选a a 4 已知二次函数y x2 2ax 1在区间 2 3 内是单调函数 则实数a的取值范围是 a a 2或a 3b 2 a 3c a 3或a 2d 3 a 2解析本题考查二次函数图象及其性质 由于二次函数的开口向上 对称轴为x a 若使其在区间 2 3 内是单调函数 则需所给区间在对称轴的同一侧 即a 2或a 3 a 5 方程x2 mx 1 0的两根为且则实数m的取值范围是 解析方法一 方法二设f x x2 mx 1 则f 0 1 由图可知 f 1 f 2 2 m 5 2m 0 2 m 答案 题型一二次函数的解析式的求法 例1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 确定二次函数采用待定系数法 有三种形式 可根据条件灵活运用 思维启迪 题型分类深度剖析 解方法一设f x ax2 bx c a 0 依题意有 所求二次函数为y 4x2 4x 7 方法二设f x a x m 2 n f 2 f 1 抛物线对称轴为 m 又根据题意函数有最大值为n 8 y f x f 2 1 解之 得a 4 方法三依题意知 f x 1 0的两根为x1 2 x2 1 故可设f x 1 a x 2 x 1 即f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值ymax 8 即 解之 得a 4或a 0 舍去 函数解析式为f x 4x2 4x 7 二次函数的解析式有三种形式 1 一般式 f x ax2 bx c a 0 2 顶点式 f x a x h 2 k a 0 3 两点式 f x a x x1 x x2 a 0 具体用哪种形式 可根据具体情况而定 探究提高 知能迁移1设二次函数f x 满足f x 2 f 2 x 且f x 0的两实数根平方和为10 图象过点 0 3 求f x 的解析式 解设f x ax2 bx c a 0 由f x 2 f 2 x 知 该函数图象关于直线x 2对称 即b 4a 又 图象过 0 3 点 c 3 b2 2ac 10a2 由 得a 1 b 4 c 3 故f x x2 4x 3 题型二二次函数的图象与性质 例2 已知函数在区间 0 1 上的最大值是2 求实数a的值 研究二次函数在给定区间上的最值问题 要讨论对称轴与给定区间的关系 解对称轴为 思维启迪 1 当0 1 即0 a 2时 得a 3或a 2 与0 a 2矛盾 不合要求 2 当1 即a 2时 y在 0 1 上单调递增 有ymax f 1 f 1 2综上 得a 6或a 探究提高 1 要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响 2 解二次函数求最值问题 首先采用配方法 将二次函数化为y a x m 2 n的形式 得顶点 m n 或对称轴方程x m 分三个类型 顶点固定 区间固定 顶点含参数 区间固定 顶点固定 区间变动 知能迁移2已知函数f x x2 8x 求函数f x 在区间 t t 1 上的最大值h t 解f x x2 8x x 4 2 16 当t 14时 f x 在 t t 1 上单调递减 此时h t f t t2 8t 综上可知 题型三幂函数的图象及应用 例3 点 2 在幂函数f x 的图象上 点在幂函数g x 的图象上 问当x为何值时 有f x g x f x g x f x g x 由幂函数的定义 求出f x 与g x 的解析式 再利用图象判断即可 解设则由题意得 2 即f x x2 再设则由题意得 2 即g x x 2 思维启迪 在同一坐标系中作出f x 与g x 的图象 如图所示 由图象可知 当x 1或x 1时 f x g x 当x 1时 f x g x 当 1 x 1且x 0时 f x g x 1 函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用 2 注意本题中 g x 的定义域为 x x 0 所以 中不包含x 0这一元素 探究提高 知能迁移3已知幂函数的图象与x y轴都无公共点 且关于y轴对称 求整数n的值并画出该函数的草图 解 函数图象与x y轴都无公共点 n2 2n 3 0 1 n 3 又 n为整数 n 1 0 1 2 3 又图象关于y轴对称 n2 2n 3为偶数 n 1 1 3 当n 1和3时 n2 2n 3 0 y x0图象如图 1 所示 当n 1时 y x 4 图象如图 2 所示 图 1 图 2 题型四幂函数的性质 例4 12分 已知幂函数 m n 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 求满足的a的取值范围 由 m n 的图象关于y轴对称知m2 2m 3为偶数 又在 0 上是减函数 m2 2m 3 0 从而确定m值 再由函数f x 的单调性求a的值 思维启迪 解 函数在 0 上递减 m2 2m 33 2a 0或0 a 1 3 2a或a 1 0 3 2a 10分 解得故a的取值范围为12分本题集幂函数的概念 图象及单调性 奇偶性于一体 综合性较强 解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质 解答此类问题可分为两大步 第一步 利用单调性和奇偶性 图象对称性 求出m的值或范围 第二步 利用分类讨论的思想 结合函数的图象求出参数a的取值范围 探究提高 知能迁移4指出函数的单调区间 并比较的大小 解 1 x 2 2 其图象可由幂函数y x 2的图象向左平移2个单位 再向上平移1个单位得到 该函数在 2 上是减函数 在 2 上是增函数 且其图象关于直线x 2对称 如图所示 1 二次函数的解析式有三种形式 一般式 顶点式和两根式 根据已知条件灵活选用 2 二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系 因此单调性的判断通常用数形结合法来判断 3 幂函数 r 其中为常数 其本质特征是以幂的底x为自变量 指数为常数 这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准 应当注意并不是任意的一次函数 二次函数都是幂函数 如y x 1 y x2 2x等都不是幂函数 方法与技巧 思想方法感悟提高 4 在 0 1 上 幂函数中指数愈大 函数图象愈靠近x轴 简记为 指大图低 在 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 1 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限内 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 失误与防范 2 幂函数的定义域的求法可分5种情况 为零 为正整数 为负整数 为正分数 为负分数 3 作幂函数的图象要联系函数的定义域 值域 单调性 奇偶性等 只要作出幂函数在第一象限内的图象 然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象 4 利用幂函数的图象和性质可处理比较大小 判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型 进一步培养学生的数形结合 分类讨论等数学思想和方法 一 选择题1 下列函数 y 3x 2 y x4 x2 其中幂函数的个数为 a 1b 2c 3d 4解析 中y x 3 中符合幂函数定义 而 中y 3x 2 中y x4 x2不符合幂函数的定义 b 定时检测 2 函数 n n n 9 的图象可能是 解析 函数为偶函数 图象关于y轴对称 故排除a b 令n 18 则当x 0时 由其在第一象限的图象知选c 答案c 3 2009 湖北理 9 设球的半径为时间t的函数r t 若球的体积以均匀速度c增长 则球的表面积的增长速度与球半径 a 成正比 比例系数为cb 成正比 比例系数为2cc 成反比 比例系数为cd 成反比 比例系数为2c 解析 v t 4r2 t r t c s t 4r2 t s t 8r t r t 答案d 4 函数f x x2 2a 1 x 1的定义域被分成了四个不同的单调区间 则实数a的取值范围是 a b c d 解析f x x2 2a 1 x 1是由函数f x x2 2a 1 x 1变化得到 第一步保留y轴右侧的图象 再作关于y轴对称的图象 因为定义域被分成四个单调区间 所以f x x2 2a 1 x 1的对称轴在y轴的右侧 使y轴右侧有两个单调区间 对称后有四个单调区间 所以答案c 5 若0y 1 则下列关系式中正确的个数是 ax ay xa ya logax logay logxa logyaa 4b 3c 2d 1解析 0y 1 y ax递减 故 不正确 y xa递增 故 正确 y logax递减 故 不正确 logxalogya logax logay 正确 综上 正确 c 6 已知函数的值域为r 则实数k的取值范围是 a 0 1 b 0 1 c 0 1 d k 0或k 1解析要满足题意 t x2 2kx k要能取到所有正实数 抛物线要与坐标轴有交点 4k2 4k 0 解得k 1或k 0 b 二 填空题7 当时 幂函数的图象不可能经过第 象限 解析当x 0时 y 0 故不过第四象限 当x 0时 y 0或无意义 故不过第二象限 综上 不过二 四象限 也可画图观察 二 四 8 函数在区间 0 4 上的最大值m与最小值n的和m n 解析令t 0 2 y t2 2t t 1 2 1 在t 0 2 上递增 当t 0时 n 0 当t 2时 m 8 m n 8 8 9 已知 0 71 3 m1 30 1 0 71 30 0 三 解答题10 已知函数f x m2 m 1 x 5m 3 m为何值时 f x 1 是正比例函数 2 是反比例函数 3 是二次函数 4 是幂函数 解 1 若f x 是正比例函数 则 5m 3 1 解得此时m2 m 1 0 故 2 若f x 是反比例函数 则 5m 3 1 则m 此时m2 m 1 0 故m 3 若f x 是二次函数 则 5m 3 2 即m 1 此时m2 m 1 0 故m 1 4 若f x 是幂函数 则m2 m 1 1 即m2 m 2 0 解得m 2或m 1 综上所述 1 当m 时 f x 是正比例函数 2 当m 时 f x 是反比例函数 3 当m 1时 f x 是二次函数 4 当m 2或m 1时 f x 是幂函数 11 即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力 加速城市之间的流通 根据测算 如果一列火车每次拖4节车厢 每天能来回16次 如果每次拖7节车厢 则每天能来回10次 每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数 每节车厢一次能载客110人 试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多 并求出每天最多的营运人数 注 营运人数指火车运送的人数 解设这列火车每天来