江苏地区高三数学不等式的应用 苏教

不等式的应用 学习内容 一 求最值 1 若a b R 且ab p p为常数 则 当且仅当a b时取等号 2 若a b S a b R 则 当且仅当a b时取等号 3 若a b c R 且abc m m为常数 则 当且仅当a b时取等号 4 若a b c R 且a b c n n为常数 则 当且仅当时取等号 注 用均值不等式求最值要注意三点 正数 定值 检验等号是否成立 二 关于恒成立 求参数范围问题1 若f x a对x D恒成立 只须f x min x D a即可2 若f x a对x D对恒成立 只须f x min x D a即可三 应用问题 学习要求 1 掌握应用不等式知识求最值问题2 初步学会不等式知识的综合应用 学习指导 1 本讲重点 求最值问题 求参数范围问题2 本讲难点 不等式的综合应用3 剖析 本讲的难度较高 必须有扎实的基础知识 才能灵活运用 提高综合能力 典型例题解析 例1 求下列函数的最值 的最小值 的最小值 的最大值 的最小值 的最小值 的最小值 的最小值 的最大值 的最小值 的最大值 的最小值 解 当且仅当 即x 1时取等号 当c 1时 x 1时 ymin 2当0 x 1时 在 0 c 上递减 当x c时 当且仅当 即时取等号 若当时 若在 m n 上递减 x n时 若时 在上递增 x m时 当且仅当 即时 当且仅当 即时 当且仅当 即时 当且仅当 即x 0时 ymin 1 令在t 2 递增 当t 2时 当且仅当x2 4r2 x2 即时 ymax 2r2 当且仅当 即x 2时 当且仅当 即时 当且仅当 即时 例2 已知x 0 y 0 lgx lgy 1 求的最小值解 由已知xy 10且x 0 y 0当且仅当即时取等号 当x 2 y 5时 有最小值2 例3 已知a b是正数且a b 1 求的最小值解 法一 当且仅当 即时 ymin 9 法二 当且仅当时取等号当时 ymin 9 例5 若正数a b满足ab a b 3 求ab的取值范围解 方法一 当且仅当a b时取等号 令 则 又 方法二 又当且仅当 即a 3时 取等号 ab 9 例6 恒成立 则的取值范围是 3 4 对一切实数x 若不等式 x 3 x 2 a恒成立 则实数的范围是a 5例7 若x2 y2 1 x y k 0对x y R恒成立 求k的取值范围解 x y k 即x y k x2 y2 1可设则 例8 对 R 不等式cos2 3 2mcos 4m恒成立 求实数m的取值范围解 方法一 原不等式令对恒成立设或或 方法二 令t cos 则t2 mt 2m 2 0 t2 2 m t 2 0 m t 2 t2 2 对恒成立令当且仅当 即时取等号 g t 的最大值为 例9 已知关于x的方程x2 2 a 2 x a2 1 0的两根都大于2 求实数a的取值范围 若一根大于2 一根小于2呢 解 方法一 设f x x2 2 a 2 x a2 1 0对称轴x a 2若两根都大于2 则 a 5 方法二 设两根分别为x1 x2 则x1 2 x2 2 x1 2 0 x2 2 0即 a 5 方法三 只须若一根大于2 一根小于2 方法一 f 2 0 方法二 方法三 例10 方程9x 3 a 3x 4 0有解 求a的取值范围解 方法一 令3x t 0 则t2 3 a t 4 0在 0 有解 设f t t2 3 a t 4对称轴 在 0 上有两根 则 在 0 上有一根 则f 0 0 4 0不可能综上 a 7 方法二 当且仅当时 即t 2时取等号 故a 7 例11 关于的方程有负数解 求k的取值范围解 原方程或 例12 若关于x的方程lg x 1 lg x 5 1有实数解 试确定a的取值范围解 原方程由 得 a 10 x 49 当a 10 例13 一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 求这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 设矩形的宽为xm 则长为 l 2x m 则当且仅当l 2x 2x 即时 答 这个矩形的长为 宽为时 面积最大为 例14 某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台 每批都购入x台 x N 且每批需付运费400元 储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值 不含运费 成正比 若每批购入400台 则全年需用去运费和保管费43600元 现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用 请问能否恰当按排每批进货的数量 使资金