高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题10解三角形的技巧与解题规律（1）文.docx

专题10解三角形的技巧与解题规律(1)一、本专题要特别小心：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 三角形与三角函数的综合3. 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题7三角形的综合二【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式三【方法总结】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理四【题型方法】（一）多个三角形问题例1. 在四边形中，.（1）求的大小；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理，得：由，得： （2）由（1）得： 在中，由正弦定理得： 练习1在中，角的对边分别为，（）求的值；（）若为边上的点，并且，求【答案】（）（）【解析】（）由余弦定理可得：，即， 整理得，解得或（舍）所以 （）在中，由正弦定理，可得又因为，所以所以所以练习2. 已知中，内角所对的边分别为，若，点在边上，且，则_【答案】【解析】如图：及，又，的面积，的面积，由可得，即，所以，由的面积，得，即，由解得，故答案为：练习3在中，角，的对边分别为，.已知，的面积为（）求边；（）为边上一点，若，求.【答案】（）；（）3【解析】（）由余弦定理得.则，所以.所以，得.（）由（）可知，.所以，因为，所以.同理，又由得.所以.在中，由正弦定理得，所以.（二）中线长问题例2. 已知在中，分别为角，的对应边，点为边的中点，的面积为.（I）求的值；（II）若，求.【答案】（I）；（II）【解析】（I）由的面积为且为的中点可知：的面积为，由三角形的面积公式可知，由正弦定理可得，所以.（II）因为，所以在中，由正弦定理可得，所以，由（1）可知，所以，在直角中，所以，.， 在中用余弦定理，可得 练习1. 在中，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：练习2. 在中，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】分析;（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.【详解】（1），由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：练习3. 在中，内角的对边分别为，已知，.（1）求角；（2）若是上的中线，延长至点，使得，求两点的距离.【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，由及正弦定理得，因为，化简得，即 ，因为 ，所以（2）由余弦定理得 所以 ，故 ,即是直角三角形. 由（1）知是等边三角形，且 ，所以 在中， ,故两点的距离为 .故答案为（三）角平分线问题例3. 在中，角的对边分別为，若，.（1）求；（2）已知点在边上，且平分，求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】（1）由，得，所以，由正弦定理，可得.（2），在中，由余弦定理，得，解得或（舍去）.，因为，所以.练习1. 在中，(1)求的值；(2)设的平分线与交于，若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】(1)由，得，又由,所以，所以.(2) 在直角中，所以，在中， 由正弦定理得，所以.练习2. 在中，为的内角平分线，.（）求的值（）求角的大小【答案】（）2；（）.【解析】（）在三角形ABD中,由正弦定理得： 在三角形ACD中,由正弦定理得： 因为（）在三角形ABD中,由余弦定理得在三角形ACD中,由余弦定理得又解得又练习3.已知的三个角所对的边分别为，面积为为.若且（1）求角；（2）设为的中点，且的平分线交于点，求线段的长.【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 解得， （2）由（1）知所以在中，因为为的中点,所以 因为，所以，所以又解得或所以因为为角平分线， 所以或2所以或 （四）构造方程法例4. 中，的角平分线交于点.（1）求的长；（2）求的长度.【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，又，由余弦定理得：，解得：，（2）如下图所示：在中，由正弦定理得： 在中，由正弦定理，得： 又 ，在中，由余弦定理得： 练习1. 已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a、b、c，且2acosC=2b-c（1）求角A的大小；（2）若AB=3，AC边上的中线SD的长为，求ABC的面积【答案】（1）A=；（2）6【解析】（1）2acosC=2b-c，由正弦定理可得：sinAcosC+sinC=sinB，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinCsinC=cosAsinC，sinC0，cosA=，由A（0，），可得角A=；（2）在ABD中，AB=3，BD=，cosA=，由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD，解得：AD=4（负值舍去），BD为AC边上的中线，D为AC的中点，AC=2AD=8，SABC=ABACsinA=6（五）未知边角互代例5. 在，点为内一点，.（1）求；（2）求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】（1）设,则， ，即 得，即 （2）中， 练习1. 在中，内角，的对边分别为，（1）若的面积为，求；（2）若点为线段的中点，求【答案】（1）（2）【解析】（1）因为， 由正弦定理可得，得，即，因为，所以，所以，因为，因为，所以，所以，所以在中，所以（2）因为，所以，又，所以记，在直角中，在中，所以，所以， 又，因此（六）三角形综合题例6. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.（1）用表示线段；（2）设，求关于的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】（1），（2），（3）时，取得最大值【解析】（1）由题意可得：，（2）由（1）得： 两边平方并化简得：又 ，（3），令则又在上单调递增当，即时，取得最大值练习1. 已知函数()求在上的单调递增区间；()在中，分别是角的对边，为锐角，若， 且的面积为，求的最小值.【答案】()；().【解析】()，由可得：.设，则，故在上的单调递增区间为.()由可得：，化简可得：