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正余弦函数的性质 周期性 对称性 学习目标 1 理解正 余弦函数的周期性 对称性的意义 2 会求简单函数的周期性 对称性 重点 正 余弦函数的性质难点 正 余弦函数的性质 一 周期性 一般地 对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得当x取定义域内的每一个值时 都有f x T f x 那么函数f x 就叫作周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期 对于一个周期函数f x 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫做f x 的最小正周期 sinx cosx有最小正周期吗 有的话是多少 f x 3是周期函数吗 如果是有最小正周期吗 注意 1 周期函数x 定义域M 则必有x T M 且若T 0则定义域无上界 T 0则定义域无下界 2 每一个值 只要有一个反例 则f x 就不为周期函数如f x0 t f x0 3 T往往是多值的 如y sinx 2 都是周期 kT也是f x 的周期 有些周期函数没有最小正周期 例1 求下列函数的周期 1 y 3cosxx R 解 因为余弦函数的周期是2 所以自变量x只要并且至少需要增长到x 2 余弦函数的值才会重复取得 函数y 3cosx的值才能重复取得 所以T 2 2 y sin2xx R 解 令z 2x 那么x R必须并且只需z R 且函数y sinz z R的T 2 即变量z只要并且至少要增加到z 2 函数y sinz z R的值才能重复取得 而z 2 2x 2 2 x 故变量x只要并且至少要增加到x 函数值就能重复取得 所以y sin2x x R的T 3 x R 解 令 那么x R必须并且只要z R 且函数y 2sinz z R的T 2 由于 所以自变量z只要并且至少要增加到z 4 函数值才能重复取得 即T 4 总结 一般地 函数y Asin x x R或Y Acos x x R A 为常数 且A 0 0 的周期是 y sinx x R x 6 o 1 2 3 4 5 2 3 4 1 y y cosx x R 二 对称性 三角函数的性质 例2 函数 图像的一条对称轴方程为 B C D 故选 A A A 例3 函数 图像的一条对称轴方程为 B C D A B 例4 函数 图像的一个对称中心 B C D A B 正弦函数的性质 3 对称性 对称中心为 k 0 对称轴方程x k 2 k Z k
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