2018_2019学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布学案新人教A版.docx

24正态分布1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2.了解变量落在区间(，(2，2，(3，3的概率大小3.会用正态分布去解决实际问题,1正态曲线函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线2正态分布一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布正态分布完全由参数和 确定，因此正态分布常记作N(，2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小 的特征数，可以用样本的标准差去估计把0，1的正态分布称为标准正态分布3正态曲线的性质正态曲线，(x)e，xR有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称(3)曲线在x处达到峰值(4)曲线与x轴之间的面积为 1(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图.(6)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图.4正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)0.682_7；P(2X2)0.954_5；P(3X3)0.997_3 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()(3)正态曲线可以关于y轴对称()答案：(1)(2)(3) 设随机变量XN(，2)，且P(XC)P(XC)，则C()A0BC D答案：D 已知随机变量X服从正态分布N(3，2)，则P(X3)()A. B.C. D.答案：D 已知正态分布密度函数为f(x)e，x(，)，则该正态分布的均值为_，标准差为_答案：0探究点1正态分布密度曲线如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方差【解】从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值为，所以20，所以.于是，(x)e，x(，)，总体随机变量的期望是20，方差是2()22. 正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x，二是最值，这两点确定以后，相应参数，便确定了，代入便可求出相应的解析式 若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .求该正态分布的概率密度函数的解析式解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0.由于，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)e，x(，)探究点2利用正态分布的性质求概率设XN(1，22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)【解】因为XN(1，22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 7.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 50.682 7)0.135 9. 变问法在本例条件下，试求P(X5)解：因为P(X5)P(X3)，所以P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 5)0.022 75. 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(3)注意概率值的求解转化：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)；若b，则P(Xb). 1.已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)()A0.6B0.4C0.3 D0.2解析：选C.因为P(4)0.2.由题意知图象(如图)的对称轴为直线x2，P(4)0.2，所以P(04)1P(4)0.6.所以P(02)P(0c1)P(2)0.023，则P(22)等于()A0.477 B0.628C0.954 D0.977解析：选C.由题意可知随机变量服从正态分布N(0，2)，所以图象关于y轴对称，又P(2)0.023，所以P(22)1P(2)P(2)0.954.3设XN(5，1)，求P(6X7)解：由已知得P(4X6)0.682 7，P(3X7)0.954 5.又因为正态曲线关于直线x5对称，所以P(3X4)P(6X7)0.954 50.682 70.271 8.由对称性知P(3X4)P(6X7)，所以P(61)0.5，则实数a的值为()A1 B.C2 D4解析：选A.因为随机变量X服从正态分布N(a，4)，所以P(Xa)0.5.由P(X1)0.5，可知a1.2设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)，(x)e，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A10与8B10与2C8与10 D2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值10，方差24，即2.3已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(2X4)0.682 7，则P(X4)()A0.158 8 B0.158 65C0.158 6 D0.158 5解析：选B.由于X服从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x3.所以P(X4)P(X4)0.158 65.4已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.27%，P(22)95.45%.)A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(33)0.682 7，P(66)0.954 5，故P(36)0.135 913.59%，故选B.5(2018洛阳模拟)某班有50名学生，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，已知P(95X105)0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为()A10 B9C8 D7解析：选B.因为考试的成绩X服从正态分布N(105，102)，所以正态曲线关于x105对称因为P(95X105)0.32，所以P(X115)(10.322)0.18.所以该班学生数学成绩在115分以上的人数为0.18509.6设随机变量N(2，2)，则D()_解析：因为N(2，2)，所以D()2.所以D()D()2.答案：7设随机变量XN(4，2)，且P(4X8)0.3，则P(X0)_解析：概率密度曲线关于直线x4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.50.30.2.答案：0.28在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，2)(0)若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为_解析：如图，易得P(0X1)P(1X2)，故P(0X2)2P(0X1)20.40.8.答案：0.89在一次测试中，测试结果X服从正态分布N(2，2)(0)，若X在(0，2)内取值的概率为0.2，求：(1)X在(0，4)内取值的概率；(2)P(X4)解：(1)由XN(2，2)，对称轴x2，画出示意图，因为P(0X2)P(2X4)，所以P(0X4)2P(0X4)1P(0X4)()A. B.C. D.解析：选A.因为随机变量X服从正态分布，其正态分布密度曲线为函数f(x)e的图象，所以2，即函数f(x)的图象关于直线x2对称，因为f(x)dx，所以P(0X2)，所以P(2X4)，因为P(24)，所以P(X4)P(2X4).故选A.12已知正态分布N(，2)的密度曲线是f(x)e，xR的图象给出以下四个命题：对任意xR，f(x)f(x)成立；如果随机变量X服从N(，2)，且F(x)P(Xx)，那么F(x)是R上的增函数；如果随机变量X服从N(108，100)，那么X的期望是108，标准差是100；随机变量X服从N(，2)，P(X2)p，则P(0X2)12p.其中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析：如果随机变量XN(108，100)，所以108，2100，即10，故错，又f(x)ee，f(x)ee，故正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知正确，故填.答案：13已知随机变量XN(，2)，且正态分布密度函数在(，80)上是增函数，在(80，)上为减函数，P(72X88)0.682 7.(1)求参数，的值；(2)求P(64X72)解：(1)由于正态分布密度函数在(，80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，即参数80.又P(72X88)0.682 7，P(X)0.682 7，所以8.(2)因为P(2X2)P(64X96)0.954 5，P(72X88)0.682 7，所以P(64X