正余弦定理的综合应用.doc

正余弦定理的综合应用1.正弦定理的作用 (1)已知三角形的任意两个角与_一边_，求其他两边和另一角(2)已知三角形的两边与其中一边的_对角_，求另一边的对角，进而计 算出其他的边和角(3)边化角，角化边练习：(1)已知ABC中，a2，A45，B30，求b、c和C；(2)已知ABC中，a，b1，B120，求A、C及c；(3)在ABC中，lgalgclgsinBlg，且B为锐角，判断三角形的形状解析(1)根据三角形内角和定理，得C180(AB)180(4530)105.根据正弦定理，得b，c1.(2)据正弦定理，得sinA1.A不存在，即三角形无解(3)由lgsinBlg，得sinB.又B为锐角，B45.又由lgalgclg，得.根据正弦定理，得，sinC2sinA2sin(135C)，即sinCsinCcosC.cosC0.C90.因此ABC为等腰直角三角形2余弦定理及其推论的作用(1)已知三角形的两边及其夹角，求其他的边和角(2)已知三角形的三边，求三个角(3)边化角，角化边练习：(1)在ABC中，已知a2，b2，C15，求角A；(2)在ABC中，已知a:b:c2:，求ABC中各内角的余弦值解析(1)由余弦定理，得c2a2b22abcosC22(2)2222cos1548884，因此c.又，sinA.ba，BA.又0A0)，由余弦定理，得cosA，cosB，cosC.故cosA，cosB，cosC.3三角形的面积公式由正弦定理可得三角形的面积SabsinC_acsinB_bcsinA_.练习：已知ABC中，AB，AC1，且B30，则ABC的面积等于()A.B. C.或 D.或答案D解析由正弦定理得，sinC，ABAC，CB，C60或120，A90或30，SABCABACsinA或.考点一 三角形中的三角函数例1 设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(AC)cosB，b2ac，求B.分析三角形内角A、B、C满足ABC，故条件式cos(AC)cosB可化为只含A与C的表达式由正弦定理可将条件式b2ac化为角的表达式sin2BsinAsinC，进而可解出角B.解析由cos(AC)cosB及B(AC)得cos(AC)cos(AC)，cosAcosCsinAsinC(cosAcosCsinAsinC)，sinAsinC.又由b2ac及正弦正理得，sin2BsinAsinC，故sin2B，sinB或sinB(舍去)，于是B或B.若B，则cos(AC)cosB2，这不可能，所以B.跟踪练习：在ABC中，BC，AC3，sinC2sinA.(1)求AB的值；(2)求sin的值解析(1)在ABC中，根据正弦定理得，.于是AB2BC2.(2)在ABC中，根据余弦定理得，cosA，于是sinAA.从而sin2A2sinAcosA，cos2Acos2Asin2A.所以sinsin2Acoscos2Asin.考点二 三角形的面积公式例2 在ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边若a2，C，cos，求ABC的面积S.分析由cos可求得cosB、sinB，由ABC内角关系及边a用正弦定理可求b(或c)，再代入面积公式可求面积解析由题意得，cosB2cos21，B为锐角，sinB，sinAsin(BC)sin，由正弦定理得c，SacsinB2.跟踪练习：(2013浙江文)在锐角ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2asinBb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积解析(1)由2asinBb及正弦定理，得sinA.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccosA，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式SbcsinA，得ABC的面积为.考点三 方程思想例3 在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BC的长分析欲求BC，在BCD中，已知BCD，BDC可求，故须再知一条边；而已知BDA和AB、AD，故可在ABD中，用正弦定理或余弦定理求得BD.这样在BCD中，由正弦定理可求BC.解析在ABD中，设BDx，由余弦定理：BA2BD2AD22BDADcosBDA即142x2102210xcos60，整理得：x210x960，解得x116，x26(舍去)，由正弦定理，得，BCsin308.跟踪练习：在锐角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a2csinA.(1)确定角C的大小；(2)若c，且ABC的面积为，求ab的值解析(1)由a2csinA及正弦定理得，sinA2sinCsinA.sinA0，sinC.ABC是锐角三角形，C.(2)C，ABC面积为，absin，即ab6.c，由余弦定理得a2b22abcos7，即a2b2ab7.由变形得(ab)23ab7.将代入得(ab)225，故ab5.考点四 综合应用例4 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，B，cosA，b.(1)求sinC的值；(2)求ABC的面积分析(1)已知角B和cosA，利用内角和定理及两角和与差的三角函数，可求sinC.(2)利用正弦定理求三角形面积需要两边及夹角，已知边b及三内角，可利用正弦定理再求出一边，然后求面积解析(1)角A、B、C为ABC的内角，且B，cosA，CA，sinA.sinCsincosAsinA.(2)由(1)知sinA，sinC.又B，b，在ABC中，由正弦定理得a.ABC的面积SabsinC.跟踪练习：在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cosA，3.(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求边a的长解析(1)3，bccosA3，bc5.SABCbcsinA52.(2)由余弦定理，得a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA36101020，a2.例5 在ABC中，角A、B、C满足2BAC，B的对边b1，求ac的取值范围错解2BAC，ABC，B，CA，ac(sinAsinC)sinAsin(A)sinAcosA2sin(A)，0A，A，sin(A)，1ac0，0a