高考数学总复习 第一单元 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件.ppt

第二节命题及其关系 充分条件与必要条件 四种命题关系及真假的判定 若a b c r 写出命题 若ac 0 则ax2 bx c 0有两个不相等的实数根 的逆命题 否命题 逆否命题 并判断这三个命题的真假 分析认清命题的条件p ac 0和结论q b2 4ac 0 然后按定义写出逆命题 否命题 逆否命题 根据方程ax2 bx c 0有两个不相等的实数根的条件 得 b2 4ac 0 根据不等式ac 0和不等式 b2 4ac 0的关系 判断三个命题的真假 解逆命题 若ax2 bx c 0 a b c r 有两个不相等的实数根 则ac 0 是假命题 如当a 1 b 3 c 2时 方程x2 3x 2 0有两个不等实根x1 1 x2 2 但ac 2 0 否命题 若ac 0 则方程ax2 bx c 0 a b c r 没有两个不相等的实数根 是假命题 因为它和逆命题互为逆否命题 而逆命题是假命题 逆否命题 若ax2 bx c 0 a b c r 没有两个不相等的实数根 则ac 0 是真命题 因为原命题是真命题 它与原命题等价 规律总结由一个命题可以写出其他三种形式的命题 其关键是认清原命题的条件和结论 严格按照逆命题 否命题 逆否命题的形式定义依次写出 判断命题的真假 需要依据相关的定义 公式 定理和结论等知识 当然 有些命题间有 同真假关联性 也可以作为判断的依据 变式训练1写出下述命题的逆命题 否命题 逆否命题 并判断命题的真假 1 若x2 y2 0 则x y全为0 2 若a b是偶数 则a b都是偶数 3 若x 3或x 7 则 x 3 x 7 0 解析 因为原命题是 若p 则q 的形式 根据其他三种命题的构造方法 分别写出逆命题 否命题 逆否命题 1 逆命题 若x y全为0 则x2 y2 0 命题为真 否命题 若x2 y2 0 则x y不全为0 命题为真 逆否命题 若x y不全为0 则x2 y2 0 命题为真 2 逆命题 若a b都是偶数 则a b是偶数 命题为真 否命题 若a b不是偶数 则a b不都是偶数 命题为真 逆否命题 若a b不都是偶数 则a b不是偶数 命题为假 3 逆命题 若 x 3 x 7 0 则x 3或x 7 命题为真 否命题 若x 3且x 7 则 x 3 x 7 0 命题为真 逆否命题 若 x 3 x 7 0 则x 3且x 7 命题为真 充分条件与必要条件的判定 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 在 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 中选一种作答 1 在 abc中 p a b q sina sinb 2 对于实数x y p x y 8 q x 2或y 6 3 在 abc中 p sina sinb q tana tanb 4 已知x y r p x 1 2 y 2 2 0 q x 1 y 2 0 分析在上述题目中 给出了四个小题 各小题内容涉及三角函数 不等式和方程的许多知识 首先认定条件和结论 再利用相关知识判断命题的真假 进一步判断p和q的关系 解 1 在 abc中 由正弦定理 故sina sinb a b 又由a b a b 所以sina sinb a b 即p是q的充要条件 2 因为命题 若x 2且y 6 则x y 8 是真命题 故p q 命题 若x y 8 则x 2且y 6 是假命题 故q不能推出p 所以p是q的充分不必要条件 3 取a 120 b 30 p不能推出q 取a 30 b 120 q不能推出p 所以p是q的既不充分也不必要条件 4 因为p 1 2 q x y x 1或y 2 p q 所以p是q的充分不必要条件 规律总结在充要条件的判断中 首先搞清哪个是命题的条件 哪个是命题的结论 准确理解充分性和必要性的含义 常用的判断方法有 定义法直接判断 利用逆否命题的等价性转化然后判断 特别是条件和结论都是从否定形式给出时 更有必要 利用集合间的包含关系 转化后再判断 总之 要注意恰当利用两个条件的特点 采取适当的方法判断 变式训练 1 是否存在实数m 使得2x m 0是x2 2x 3 0的充分条件 2 是否存在实数m 使得2x m 0是x2 2x 3 0的必要条件 解析 1 欲使2x m 0是x2 2x 3 0的充分条件 只要 x x 1或x 3 则只要 1 即m 2 故存在实数m 2 使2x m 0是x2 2x 3 0的充分条件 2 欲使2x m 0是x2 2x 3 0的必要条件 则只要 x x 1或x 3 故不存在实数m 使2x m 0是x2 2x 3 0的必要条件 充分必要条件的证明 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一根为1的充分必要条件是a b c 0 分析分两个步骤完成 即必要性和充分性分别证明 充分性 条件 a b c 0 结论 ax2 bx c 0有一根为1 必要性 条件 ax2 bx c 0有一根为1 结论 a b c 0 证明 必要性 即 若x 1是方程ax2 bx c 0的根 则a b c 0 x 1是方程的根 将x 1代入方程 得a 12 b 1 c 0 即a b c 0 结论成立 充分性 即 若a b c 0 则x 1是方程ax2 bx c 0的根 a b c a 12 b 1 c 0 x 1是方程ax2 bx c 0的根 综合 知命题成立 规律总结充要条件证明的关键是 根据定义确定哪个是已知条件 哪个是结论 再去确定充分性是证明哪一个命题 必要性是证明哪一个命题 证明的过程实质上是两个互逆的推理过程 证明的方式有时可以直接证明 有时转化后再证明 变式训练3求证 关于x的方程x2 mx 1 0有两个负实根的充要条件是m 2 证明 充分性 m 2 m2 4 0 方程x2 mx 1 0有实根 设x2 mx 1 0的两个实根为x1 x2 由根与系数的关系知x1x2 1 0 x1 x2同号 又 x1 x2 m 2 x1 x2同为负根 必要性 x2 mx 1 0的两个实根x1 x2均为负 且x1x2 1 m 2 x1 x2 2 2 0 m 2 综合 知命题得证 反证法的应用 用反证法证明 设三个正实数a b c满足条件 2 求证 a b c中至少有两个不小于1 分析用反证法证题时 首先对结论进行否定 即 a b c中至多有一个不小于1 共有两种情况 a b c三数均小于1 和 a b c中有两数小于1 由此作为基础 推出矛盾 证明假设a b c中至多有一个不小于1 这包含下面两种情况 a b c三数均小于1 即03 与已知条件矛盾 a b c中有两数小于1 设02 2 也与已知条件矛盾 假设不成立 a b c中至少有两个不小于1 规律总结反证法有两种情形 其一 利用互为逆否的两个命题同真同假的关系 将不易判断真假的命题 转化为易判断真假的逆否命题 尤其是对否定语句的命题 充分利用等价转化的思想方法 此时证明的命题为原命题的逆否命题 其二 假设结论不成立 利用已知条件 推出与已知或已知定理相矛盾的结论 此时证明的命题不再是原命题的否命题 总之 不论哪种情形的反证法 正确的反设 是正确运用反证法的前提 变式训练4已知a b c是互不相等的非零实数 求证 三个方程ax2 2bx c 0 bx2 2cx a 0 cx2 2ax b 0至少有一个方程有两个相异实根 证明 反证法 假设三个方程中都没有两个相异实根 则 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 3 4a2 4bc 0 上述三个不等式两边分别相加有a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ac a2 0 即 a b 2 b c 2 c a 2 0 由题意a b c互不相等 式不能成立 假设不成立 即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根 1 否命题是将原命题的条件否定后作条件 将原命题的结论否定后作结论得到的命题 写否命题最容易出现错误 学习中要注意掌握以下常见词语和其否定词语 注 在实数范围内 不大于 就是 不小于 就是 2 对于不是 若p 则q 型的命题 先将命题改写为 若p 则q 的形式 才能写出命题的逆命题 否命题和逆否命题 凡是不能写成 若p 则q 形式的命题 是没有所谓的逆命题 否命题和逆否命题的 3 互为逆否命题的真假性是一致的 这是反证法的理论基础 互逆命题和互否命题的真假性没有关系 4 充分 必要条件的判断方法 1 定义法 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 2 集合法若a b 则 x a 是 x b 的充分条件 5 用反证法证明问题的一般步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假设结论的反面成立 2 归谬 从假设出发 经过推理论证 得出矛盾 3 结论 由矛盾判定假设不正确 从而肯定命题的结论正确 6 适宜用反证法证明的数学命题 1 结论本身以否定形式出现的命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论以 至多 至少