高中数学几个重要的不等式2.3.1数学归纳法学案.docx

3数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法1了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤(重点)2能够利用数学归纳法证明一些简单问题(难点)基础初探教材整理数学归纳法阅读教材P36P37“思考交流”以上部分，完成下列问题1数学归纳法的原理数学归纳法原理是：设有一个关于正整数n的命题，若当n取第1个值n0时该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k1个值时该命题成立，则该命题对一切自然数nn0都成立2数学归纳法证明的步骤(1)验证当n取第一个值n0(如n01或2等)时命题正确(2)假设当nk时(kN，kn0)命题正确，证明当nk1时命题也正确在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)用数学归纳法证明命题“多边形的内角和是(n2)180”时，验证的第一个值是3.()(2)用数学归纳法证明只与自然数n有关的命题时，第二步中在假设nk(kn)成立时，总是证明nk1时也成立()(3)使用数学归纳法时，可以不使用归纳假设()【解析】(1)因为边数最少的多边形是三角形(2)在证只与正整数有关的命题时，在假设nk成立的前提下，证明nk2时也成立(3)用数学归纳法证题中必须使用归纳假设【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型数学归纳法的概念用数学归纳法证明：1aa2an1(a1，nN)，在验证n1成立时， 左边计算的结果是()A1B1aC1aa2D1aa2a3【精彩点拨】只需把n1代入，观察式子左边规律即得答案【自主解答】实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an1，因此n1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1aa2.【答案】C验证n取第一个值n0时命题正确是运用数学归纳法的基础，一定要正确找出nn0时的命题.再练一题1若f(k)1，则f(k1)f(k)_. 【导学号：94910035】【解析】f(k1)1，f(k1)f(k).【答案】用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：1(nN)【精彩点拨】要证的等式左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项不同因此，由“nk”到“nk1”时要注意项的合并【自主解答】当n1时，左边1右边，所以等式成立假设nk时等式成立，即1，则当nk1时， 左边1右边，所以，nk1时等式成立由知，对任意nN，等式成立用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关.由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.再练一题2用数学归纳法证明：(其中nN)【证明】(1)当n1时，等式左边，等式右边，所以等式成立(2)假设nk(k1，kN)时等式成立，即成立 .则nk1时，即nk1时等式成立由(1)，(2)可知，对任意nN等式均成立探究共研型数学归纳法证明猜想探究1数学归纳法有两个步骤，那么它的两个步骤的作用分别是什么？【提示】在数学归纳法中的第一步“验证nn0时命题成立”，是归纳的奠基、是推理证明的基础，第二步是归纳递推，保证了推理的连续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立探究2如何理解归纳假设在证明中的作用？【提示】归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明否则，就不是数学归纳法探究3若数列an中，a11，an2a2n11.那么a2，a3，a4分别是多少？你能猜想出an吗？能否通过数学归纳法证明【提示】由题意可以求出a11，a23，a37，a415，可以猜想an2n1，然后可以用数学归纳法证明设f(n)0(nN)，对任意正整数n1和n2总有f(n1n2)f(n1)f(n2)，又f(2)4.(1)求f(1)，f(3)的值；(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想【精彩点拨】先求f(1)，f(2)，f(3)归纳猜想f(n)用数学归纳法证明【自主解答】(1)由于对任意正整数n1和n2，总有f(n1n2)f(n1)f(n2)取n1n21，得f(2)f(1)f(1)，即f2(1)4.f(n)0(nN)，f(1)2.取n11，n22，得f(3)23.(2)由f(1)21，f(2)422，f(3)23，初步归纳猜想f(n)2n.当n1时，f(1)2成立；假设nk时，f(k)2k成立当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k22k1，这就是说当nk1时，猜想也成立由，得，对一切nN，f(n)2n都成立1切实掌握“观察、归纳、猜想、证明”这一特殊到一般的推理方法2证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设的结构相同的形式“凑假设”，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论需要的形式“凑结论”再练一题3已知数列an的第一项a15且Sn1an(n2，nN)(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想【解】(1)a2S1a15，a3S2a1a210，a4S3a1a2a3551020，猜想an(2)证明：当n1时，猜想显然成立当n2时，a252225，猜想成立假设nk时猜想成立，即ak52k2(k2，kN)，当nk1时，由已知条件和假设有ak1Ska1a2a3ak551052k2552k152(k1)2.故nk1时猜想也成立根据可知，对任意n2，nN，有an52n2.所以数列an的通项an构建体系1用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，在验证n1成立时，左边所得的代数式为()A1B13C123D1234【解析】当n1时左边有2113项，所以左边所得的代数式为123.【答案】C2在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于()A1B2C3D0【解析】边数最少的凸n边形是三角形【答案】C3用数学归纳法证明等式“135(2n1)n2”时，从k到k1左边需增加的代数式为()A2k2B2k1C2kD2k1【解析】等式“135(2n1)n2”中， 当nk时，等式的左边135(2k1)，当nk1时，等式的左边135(2k1)2(k1)1135(2k1)(2k1)，从k到k1左边需增加的代数式为2k1.【答案】D4用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立【解析】两个奇数之间相差2，所以nk2.【答案】k25用数学归纳法证明：1. 【导学号：94910036】【证明】(1)n1时，左边右边，命题成立(2)假设nk(k1)时，命题成立，即1.那么当nk1时，1121，即nk1时，命题成立由(1)(2)知，对nN命题成立我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1某个与正整数n有关的命题，如果当nk(kN，且k1)时命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立现已知n5时，该命题不成立，那么应有()A当n4时该命题成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n6时该命题不成立【解析】当n4时命题成立，由递推关系知，n5时命题成立，与题中条件矛盾所以n4时，该命题不成立【答案】C2已知数列an中，a11，当n2时，an2an11，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是()An21B(n1)21C2n1D2n11【解析】由a11，当n2时，an2an11得a22a112113，a32a212317，a42a3127115.猜想an2n1.【答案】C3用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN)能被9整除”，要利用归纳法假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3B(k2)3C(k1)3D(k1)3(k2)3【解析】假设nk时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设 ，只需将(k3)3展开，让其出现k3，且展开式中除k3以外的各项和也能被3整除【答案】A4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)()A.BC2D【解析】nk到nk1时，内角和增加.【答案】B5用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kN)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kN)C假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kN)D假设nk(k1)时正确，再推nk2时正确(其中kN)【解析】n为正奇数，n2k1(kN)即假设n2k1时正确，再推n2k1时正确【答案】B二、填空题6探索表达式A(n1)(n1)！(n2)(n2)！22！11！(n1且nN)的结果时，第一步n_时，A_.【解析】第一步n2时， A(21)(21)！1.【答案】217用数学归纳法证明“12222n12n1(nN)”的过程中，第二步假设nk时等式成立，则当nk1时应得到_. 【导学号：94910037】【解析】nk时， 命题为“12222k12k1”，nk1时为使用归纳假设，应写成12222k12k2k12k，又考虑到目的，最终应为2k11.【答案】12222k12k2k118在数列an中，a1，且Snn(2n1)an.通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是_【解析】a2S2S12(221)a2，a2，同理a3，a4.归纳知an.【答案】an三、解答题9证明：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)【证明】(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立(2)假设nk时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立综合(1)(2)可知，等式对任何nN都成立10已知数列an的前n项和为Sn，且Sn，an的等差中项为1.(1)写出a1，a2，a3；(2)猜想an的表达式，并用数学归纳法证明【解】(1)由题意Snan2，可得a11，a2，a3.(2)猜想an.下面用数学归纳法证明：当n1时，a11，1，等式成立假设当nk时，等式成立，即ak，则当nk1时，由Sk1ak12，Skak2，得(Sk1Sk)ak1ak0，即2ak1ak，所以ak1ak，即当nk1时，等式成立由可知，对nN，an.能力提升(1)(2)(3)图2311如图231所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键个数为()A6n个B(4n2)个C(5n1)个D(5n1)个【解析】图(1)有6个化学键，图(2)有11个化学键，图(3)有16个化学键，可猜想第n个图有5n1个化学键【答案】D2若不等式对于一切nN恒成立，则自然数m的最小值为() 【导学号：94910038】A8B9C10D12【解析】令bn，则bk1bk0，bk1bk，数列bn为递减数列要bn恒成立，只需b1，7，m的最小值为8.【答案】A3用数学归纳法证明“nN，n(n1)(2n1)能被6整除”时，某同学证法如下：(1)n1时，1236能被6整除，n1时，命题成立(2)假设nk时成立，即k(k1)(2k1)能被6整除，那么nk1时，(k1)(k2)(2k3)(k1)(k2)k(k3)k(k1)(k2)(k1)(k2)(k3)k，k1，k2和k1，k2，k3分别是三个连续自然数，其积能被6整除故nk1时命题成立综合(1)，(2)，对一切nN，n(n1)(2n1)能被6整除这种证明不是数学归纳法，主要原因是_【答案】没用上归纳假设4已知点的序列An(xn,0)，nN，其中x10，x2a(a0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点， ，