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第3章 多元线性回归思考与练习参考答案3.1 见教材P64-653.2 讨论样本容量n与自变量个数p的关系，它们对模型的参数估计有何影响？答：在多元线性回归模型中，样本容量n与自变量个数p的关系是：np。如果n=p对模型的参数估计会带来很严重的影响。因为：1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。2. 解释变量X是确定性变量，要求，表明设计矩阵X中的自变量列之间不相关，即矩阵X是一个满秩矩阵。若，则解释变量之间线性相关，是奇异阵，则的估计不稳定。3.3证明 随机误差项的方差s2的无偏估计。证明:3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数=0.9801，我们能断定这个回归方程就很理想吗？答：不能。复相关系数R与样本决定系数都是用来表示回归方程对原始数据拟合程度的好坏。样本决定系数取值在【0,1】区间内，一般来说，越接近1，即取值越大，说明回归拟合的效果越好。但由于的大小与样本容量n和自变量个数p有关，当n与p的值接近时，容易接近1，说明中隐含着一些虚假成分。而当样本容量n较小，自变量个数p较大时，尽管很大，但参数估计效果很不稳定。所以该题中不能仅仅因为很大而断定回归方程很理想。3.5 如何正确理解回归方程显著性检验拒绝，接受？答：一般来说，当接受假设时，认为在给定的显著性水平之下，自变量,对因变量y无显著性影响，则通过,去推断y就无多大意义。此时，一方面可能该问题本应该用非线性模型描述，我们误用线性模型描述了，使得自变量对因变量无显著影响；另一方面可能是在考虑自变量时，由于认识上的局限性把一些影响因变量y的自变量漏掉了，这就从两个方面提醒我们去重新考虑建模问题。当拒绝时，也不能过于相信该检验，认为该模型已经很完美。其实当拒绝H时，我们只能认为该回归模型在一定程度上说明了自变量,与因变量y的线性关系。因为这时仍不能排除我们漏掉了一些重要自变量。此检验只能用于辅助性的，事后验证性的目的。（详细内容可参考课本P95P96评注。）3.6 数据中心化和标准化在回归分析中的意义是什么？答：原始数据由于自变量的单位往往不同，会给分析带来一定的困难；又由于设计的数据量较大，可能会以为舍入误差而使得计算结果并不理想。中心化和标准化回归系数有利于消除由于量纲不同、数量级不同带来的影响，避免不必要的误差。3.7 验证证明：多元线性回归方程模型的一般形式为：其经验回归方程式为，又，故，中心化后，则有，左右同时除以，令，样本数据标准化的公式为，则上式可以记为
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