山东省沂水县高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系学案.docx

21.2空间中直线与直线之间的位置关系学习目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法；3.理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角知识点一空间两直线的位置关系思考在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答案平行与相交教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托(3)判断两直线为异面直线的方法：定义法两直线既不平行也不相交(4)空间两条直线的三种位置关系从是否有公共点的角度来分：从是否共面的角度来分：知识点二平行公理(公理4)思考在平面内，直线a，b，c，若ab，bc则ac，该结论在空间中是否成立？答案成立1文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行2符号表示：ac.知识点三等角定理思考观察图，在长方体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与DAB的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案从图中可以看出，ADCADC，ADCDAB180. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补知识点四异面直线所成的角思考在长方体A1B1C1D1ABCD中，BC1AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”，与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？答案相等.定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O作直线aa，bb结论我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为，则090.特殊情况当90时，a与b互相垂直，记作ab.类型一异面直线的判断例1如图，已知正方体ABCDABCD.哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？解由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC、DD、DC、BC所在直线分别与直线BA是异面直线反思与感悟判断两直线是否为异面直线，只需判断它们是否相交、平行只要既不相交，也不平行，就是异面直线跟踪训练1(1)在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有_对答案8解析与AB异面的有侧棱PD和PC，同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有异面直线428(对)(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.还原的正方体如图所示：类型二平行公理和等角定理的应用例2(1)在空间四边形ABCD中，如图所示，则EH与FG的位置关系是_答案平行解析连接BD，如图，EHBD，又，FGBD，EHFG.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别棱AD和A1D1的中点求证：BMCB1M1C1.证明在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，A1M1綊AM，四边形AMM1A1是平行四边形，A1A綊M1M.又A1A綊B1B，M1M綊B1B，四边形BB1M1M为平行四边形B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BMC和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.反思与感悟1.空间两条直线平行的证明：(1)定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点(2)利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行2“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，还是两种情况都有可能跟踪训练2如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)DNMD1A1C1.证明(1)如图 ，连接AC，在ACD中，M，N分别是CD，AD的中点，MN是ACD的中位线，MNAC，MNAC.由正方体的性质得：ACA1C1，ACA1C1.MNA1C1，且MNA1C1，即MNA1C1，四边形MNA1C1是梯形(2)由(1)可知MNA1C1.又NDA1D1，DNM与D1A1C1相等或互补而DNM与D1A1C1均为锐角，DNMD1A1C1.类型三两异面直线所成的角例3如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E、F分别是BD1和AD中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小解如图，取CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBC.F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，DGCD1，D1GD90，异面直线CD1，EF所成的角为90.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤：(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角(2)计算角：求角度，常利用三角形(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角跟踪训练3如图所示，在正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小解方法一如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OGB1D，EFA1C1.GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角GA1GC1，O为A1C1的中点，GOA1C1.异面直线DB1与EF所成的角为90.方法二如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊DB1.于是HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角连接HF，设AA11，则EF，HE，取A1D1的中点I，连接HI，IF，则HIIF.HF2HI2IF2.HF2EF2HE2.HEF90.异面直线DB1与EF所成的角为90.1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A异面或平行 B异面或相交C异面 D相交、平行或异面答案D解析异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位置可如图所示2下列四个结论中假命题的个数是()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4答案B解析均为假命题可举反例，如a、b、c三线两两垂直如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交3分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是()A异面 B平行C相交 D以上都有可能答案D解析如图(1)所示，直线a与b互相平行；如图(2)所示，直线a与b相交；如图(3)所示，直线a与b异面4如图，已知长方体ABCDABCD中，AB2，AD2，AA2.(1)求异面直线BC和AC所成的角的大小(2)求异面直线AA和BC所成的角的大小解(1)因为BCBC，所以BCA是异面直线AC与BC所成的角在RtABC中，AB2，BC2，所以BCA45.所以异面直线BC与AC所成的角为45.(2)因为AABB，所以BBC是异面直线AA和BC所成的角在RtBBC中，BCAD2，BBAA2，所以BC4，所以BBC60.所以异面直线AA与BC所成的角为60.1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)；中位线平移法；补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)一、选择题1若OAOA，OBOB，且AOB130，则AOB为()A130 B50C130或50 D不能确定答案C解析根据定理，AOB与AOB相等或互补，即AOB130或AOB50.2长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A6条 B8条 C10条 D12条答案B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条3空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形答案B解析如图，易证四边形EFGH为平行四边形又E，F分别为AB，BC的中点，EFAC，又FGBD，EFG或其补角为AC与BD所成的角而AC与BD所成的角为90，EFG90，故四边形EFGH为矩形4已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线答案C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾5如果把两条异面直线看成“1对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有()A12对 B24对C36对 D48对答案B解析六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面，这样异面直线一共有4624(对)6.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为()A30 B45C60 D90答案C解析如图，连接BC1，A1C1，BC1AD1，异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角在A1BC1中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线A1B与AD1所成的角为60.7.如图，在三棱锥DABC中，ACBD，且ACBD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A30 B45C60 D90答案B解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.E，F分别是为CD，AB的中点，FGAC，EGBD，且FGAC，EGBD.又ACBD，FGEG，EFG为EF与AC所成的角ACBD，FGEG，FGE90，EFG为等腰直角三角形，EFG45，即EF与AC所成的角为45.二、填空题8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_答案60解析连接BC1，BA1，A1C1，EFBA1，GHBC1，异面直线EF与GH所成的角即为BA1与BC1所成的角，即A1BC1，又A1BBC1A1C1，A1BC160.9如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_答案(2)(4)解析(1)中HGMN，(3)中GMHN且GMHN，所以直线HG与MN必相交10已知在正方体ABCDABCD中：(1)BC与CD所成的角为_；(2)AD与BC所成的角为_答案(1)60(2)45解析如图，连接BA，则BACD，连接AC，则ABC就是BC与CD所成的角由ABC为正三角形，知ABC60，由ADBC，知AD与BC所成的角就是CBC.易知CBC45.11已知a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的是_(只填序号)答案解析由公理4知正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确三、解答题12.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC，四边形BCHG为平行四边形(2)解由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，