用导数解决函数的单调、极值、最值的方法步骤.doc

高二数学组学案用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值例1 求列函数的极值：（1）；（2）解：（1） 令，得驻点12+0-0+0+极大极小是函数的极大值；是函数的极小值.（2） 令，得驻点-11-0+0-极大极小当时，极小=-3；当时，极大=-1值。 例2 设为自然对数的底，a为常数且），取极小值时，求x的值.解： 令（1），由表x（，2）2f(x)+00+f（x）极大值极小值取极小值.（2）无极值.（3）时，由表x（，）2f(x)+00+f（x）极大值极小值 。例3 求抛物线上与点距离最近的点。解：设为抛物线上一点，则。与同时取到极值，令。由得是唯一的驻点.当或时，是的最小值点，此时.即抛物线上与点距离最近的点是（2，2）.例4 设函数f（x）=ax，其中a0，求a的范围，使函数f（x）在区间0，+）上是单调函数.分析：要使f（x）在0，+）上是单调函数，只需f（x）在0，+）上恒正或恒负即可.解：f（x）=a.当x0时， 因为a0，所以当且仅当a1时，f（x）= a在0，+）上恒小于0，此时f（x）是单调递减函数.点评：要使f（x）在（a，b）上单调，只需f（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f（x）0（或0）单调递增（或减）.例5 已知函数f（x）=ax3+bx23x在x=1处取得极值.（1）讨论f（1）和f（1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程.解：（1）f（x）=3ax2+2bx3，依题意，f(1)=f(1)=0，即解得a=1，b=0.f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x+1）（x1）.令f（x）=0，得x=1，x=1.若x（，1）（1，+），则f（x）0，故f（x）在（，1）上是增函数，f（x）在（1，+）上也是增函数.若x（1，1），则f（x）0，故f（x）在（1，1）上是减函数.所以f（1）=2是极大值，f（1）=2是极小值.（2）曲线方程为y=x33x，点A（0，16）不在曲线上.设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x033x0.因f（x0）=3（x021），故切线的方程为yy0=3（x021）（xx0）.注意到点A（0，16）在切线上，有16（x033x0）=3（x021）（0x0），化简得x03=8，解得x0=2.所以切点为M（2，2），切线方程为9xy+16=0.点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力.导数及其应用（单调性、极值与最值）一选择题： (1) 已知函数在区间内可导，且，则 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 函数在区间 ( ) (A) 上单调递减 (B) 上单调递减 (C) 上单调递减 (D) 上单调递增 (3) 函数在上的最大值和最小值依次是( )(A) (B) (C) (D) (4) 已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是 ( )(A) (B) (C)或 (D)或(5) 设点是曲线上的任意一点，点处切线倾斜角为，则角的取值范围是 ( )(A) (B) (C) (D) (6) 方程的实根个数是 ( )(A) (B) (C) (D) 二填空题： (7) 函数在处有极大值，则实数 (8) 已知曲线，直线，若与相切于点，则切点坐标是 (9) 函数在区间上单调递增，且关于的方程的根都在区间内，则实数的取值范围是 (10) 已知在上有最小值，则在上， 的最大值是 三解答题：(11) 函数的极大值为6，极小值为2，求实数的值.(12) 已知函数. 求函数的单调区间； 若，证明：.(13) (全国卷)设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.14 ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少16. （山东卷）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.(全国卷)设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点. ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?（山东卷）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.第五讲答案：一选择题：二填空题： (7) (8) (9) (10) 三解答题： (11) ,.(14) 解： ax2bxa2， x1，x2是f (x)的两个极值点， x1，x2是方程0的两个实数根 1分 a0， x1x2a0，x1x2 2分 | x1|x2| x1x2| 3分 | x1|x2|2， 4a4，即 b24a24a3 4分 b20， 0a1 5分 设g(a)4a24a3，则 g (a)8a12a24a(23a) 6分由g (a)0及0a，g (a)0a1， 7分得 g(a)在区间（0，）上是增函数，在区间（，1上是减函数， g(a)maxg() 8分|b| 9分 x1，x2是方程f (x)0的两个实数根， f (x)a(xx1)(xx2) 10分 h(x)a(xx1)(xx2)2a(xx1)a(xx1)(xx22)， | h(x)|a| xx1| xx22|a ()2 12分 xx1，| xx1|xx1又x10，x1x20，x20x222 x2，xx220 | xx22|x22x | xx1| xx22|x2x124 | h(x)|4a 14分16. （山东卷）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.(全国卷)设a为实数,函数 ()求的极值.()当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.解：(I)=321若=0，则=，=1当变化时，变化情况如下表：(，)(，1)1(1，+)+00+极大值极小值的极大值是，极小值是(II)函数由此可知，取足够大的正数时，有0，取足够小的负数时有0，所以曲线=与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值0即(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(，)上。当(1，+)时，曲线=与轴仅有一个交点。即的取值范围是( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分则V=（90-2x）（48-2x）x,(0V24)5分 =4x3-276x2+4320xV=12 x2-552x+43207分（山东卷）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单