2003年安徽省高中数学竞赛.doc

2003年安徽省高中数学竞赛（初赛）一、选择题（每小题6分,共36分）1定义若，则P-M等于（ ）AM BP C D 2函数 部分图象是( ) A B C D3若不等式对所有正实数、都成立，则的最小值是（ ）A 2 B C D 44曲线和的交点有（ ）个A2 B3 C4 D 无穷多5设若，则数列( )A递增 B奇数项增，偶数项减 C递减 D偶数项增，奇数项减 6在边长为1的正方体C内，作一个内切大球O1，再在C内的一个角顶内，作小球O2，使它与大球外切，同时与正正方体的三个面相切则球O2的面积为（ ）A B C D二、填空题（每小题9分，共54分）7若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围是 8在的展开式中，常数项为 9设是不超过2003的正整数如果有一个角使得成立，则这种的总的个数为 10三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如504、746等都是袄数那么各个数位上无重数字的三位数中凹数共有 个 11已知，和之间有关系式，其中则的最小值为 12已知、均为为正整数则方程有 组解三、解答题（每题15分，共60分）13设，函数（1）若，试证：(2)求使函数有最大值的的值14已知点A（，0）和曲线上的点是否存在，使得成等差数列，且公差？若存在，求出可取的所有值；若不存在，说明理由(取)15某市A有4个郊县（B、C、D、E），如图现有5种顔色，问有多少种不同的着色方法，使得相邻两块不同色，且每块只涂一种顔色？16如图，ABC的外接圆圆心为O，以ABC各边为对称轴，求得O的三个对称点O1、O2、O3现将各点均擦去，仅保留O1、O2、O3，试根据这三个点重新作出ABC 参考答案一、1D 2A 3C 4D 5B 6A 二、7或 815 9501 10240 11 1291 三、13(1)(2)当时，的最大值是，与题设矛盾（3）当时，为二次函数 当时，其开口向上，故最大值只能在或时取得，而矛盾，也矛盾 当时，最大值同样不会在和上取得，故使得有最大值，只能等价于14因为，则数列是递增数列，故为最小，为最大如图曲线为双曲线一部分，A（，0）是它的右焦点，则右准线的方程为: 由题意，等差数列的第一项为，第项为=3，于是，有解得因为，故解得因为为正整数，所以，的最大值为14于是，当时，这14个点中任意连续的个点都能得到等差数列又因为是等差数列，所以，因此=3，4，5，1415符合要求的涂色方法至少要用到三种顔色，所以，可分三类办法涂色：（1） 用五种顔色，有种方法（2） 用四种顔色选四种顔色的方法有种其中选一种顔色A有种，剩下4块涂三种顔色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种顔色，选一组不相邻区域的方法有2种（B、D或C、E），从余下的三种顔色中选一种涂不相邻区域有种，最后余下两种顔色涂两个区域的方法有种根据乘法原理有种方法（3） 用三种顔色选三种顔色有种方法A、B和C、D和E各涂一种顔色有种，故得种方法按加法原理有，共有120+240+60=420种16 如图，连结OA、OC、O2A、O2C，则四条线段相等，OAO2C是菱形所以， O2CAO同理，OAO3B也是菱形，O3BAO于是O3B O2C从而BCO2O3为平行四边形，故BCO2O3(2)同理可证ACO1O3，ABO1O2（3）由对称性可知，OO2AC，OO1BC，OO3AB则OO2O1O3，OO1O2O3，OO3O1O2可见O为O1O2O3三条高线的交点（4） 有了上面的分析，可见解法如下：当已知O