商品房销售价格模型研究论文.doc

数学建模 华北水利水电学院毕业论文华 北 水 利 水 电 学 院毕 业 论 文 任 务 书论文题目：商品房的销售价格模型研究专 业：数学与应用数学班 级： 2005091 学 号： 200509121 姓 名： 汪 令 指导老师： 张愿章 设计期限：2009年3月11日开始 2009年5月20日结束数学与信息科学学院2009年3月5日一 毕业论文的目的:(1) 研究商品房的销售价格模型。(2) 掌握查阅文献的基本技能和科学研究的基本方法。(3) 增强利用数学模型解决实际问题的能力。二 主要内容: 现代社会，商品房销售价格被越来越多的人关注。研究商品房价格的模型也有很多类，比如系统动力学模型，半参数回归分析模型等等，但这些模型多是从影响商品房价格的某一些因素进行分析。影响商品房价格的因素多种多样，各个因素之间的相关关系也比较复杂，难以建立统一的商品房价格模型。本文要求综合相关的文献，进行研究分析。能采用现代数学理论和方法较全面的建立新的模型，并采用实例对模型验证。并进行相关的预测。三 重点研究问题:(1) 灰色相关联分析模型在商品房销售价格应用。(2) 多元回归分析模型在商品房销售价格应用(3) 两种模型结合分析(4) 对未来价格预测。四 主要研究的方法:(1) 灰色相关连分析和多元回归分析。(2) 定量和定性分析相结合的方法， 五 论文成果要求:(1) 不少于6000字的论文。(2) 不少于2000字的英文翻译。六 其它:参考文献：1、杨启帆,方道元编著 数学建模 浙江大学出版社， 1999 2、杨纶标, 高英仪编著 模糊数学 华南理工大学出版社， 2004 3、刘法贵，张愿章编著 灰色数学 黄河水利出版社 2003 4、梁冯珍等编著 应用概率统计 天津大学出版设 20045、刘锋编著 数学建模 南京大学出版社 20056、/finadata/lilv/7、/tjlj/华北水利水电学院本科生毕业设计开题报告 2009 年 03月 11日学生姓名汪令学号200509121专业数学与应用数学题目名称商品房销售价格模型研究课题来源自选选题依据购买商品房是城市居民一生的大事，很多人都不断关注商品房销售价格。研究商品房价格模型，预测商品房价的变化趋势，提供更多详细的信息，对居民个人生活有很大影响，而且对国家经济发展和社会稳定有借鉴作用。主要内容 【1】主要研究内容1商品房价格模型的建立；我国规定商品房价格的构成因素有：土地费用、前期工程费用、建筑安装工程费用、商品房的经营费用、小区内的配套费、开发企业的财务费用、利润和税金等费用。开发成本费包括：土地使用权取得费、前期工程费、建筑和安装工程费、基础设施建设费、公共配套设施建设费、开发间接费等。在建立商品房价格模型的过程中，对其中的各种因素加以对比，计算每种因素在影响商品房价格中所占的权重，利用灰色数学及应用概率统计上有关相关关系的知识进行分析，建立模型。及商品房价格模型的算法设计。2实例分析。将模型应用于实际生活中，验证模型的正确性，同时可以进一步完善模型，完善商品房价格问题，促进我国房地产的健康发展，有效解决人们居住条件困难问题。【2】重点研究问题1商品房价格模型的建立；2商品房价格模型的算法设计【3】主要技术指标或主要设计参数1价格模型涉及数据收集、有关的统计处理和模型辨识技术；2用实例验证模型的正确性。采取的主要技术路线或方法本论文基本上包括了三方面的内容，但重点在于前两个方面的内容。1 商品房价格模型的建立 影响商品房价格的影响因素为：城镇居民人均住宅使用面积、城镇居民家庭人均可支配收入、住宅平均造价、人民币贷款利率、城镇人口总数、非农业家庭总户数、商品房的供给面积、土地交易价格指数、居民消费价格指数、住宅租赁价格指数、地区人均生产总值、城乡居民存款余额、商品房的销售面积、房地产开发投资额。首先运用灰色系统理论对以上因素进行相关分析，接着用多元回归分析建立商品房价格模型。2 商品房价格模型的算法设计用灰色关联分析和多元回归分析相结合设计。3 用实例验证模型的正确性 采用了贵州省1998-2007年数据，用SAS软件计算并检验。本论文的难点在具体建模的过程中会对现实中的各种情况进行数字化处理，不可避免的会把现实中的各种情况简化，甚至会忽略考虑某些比较重要的，但又无法数字化的因素。这就可能会影响建模的结果的精度和准确度。预期的成果及形式建立一个商品房价格模型，进行分析、理清思路，对模型进行更深刻的研究并评价模型，找到一个实例对模型进行验证，并预测。完成8000字以上的论文。时间安排时 间主要任务13周查阅资料，分析题目，写出开题报告45周研读参考文献，深入分析题目，完成需求分析68周进行具体的分析，使用更优化的方法进行评价研究；910周分析比较模型，初步形成一套有待完善的评价研究论文1114周系统优化模型评价研究的思路，撰写毕业论文，准备答辩。指导教师意见签 名：年 月 日备注参考文献： 1、杨启帆,方道元编著 数学建模 浙江大学出版社， 1999 2、杨纶标, 高英仪编著 模糊数学 华南理工大学出版社， 2004 3、刘法贵，张愿章编著 灰色数学 黄河水利出版社 2003 4、梁冯珍等编著 应用概率统计 天津大学出版设 20045、刘锋编著 数学建模 南京大学出版社 20056、/finadata/lilv/7、/tjlj/摘 要当今世界最大的商品房市场在中国，人们一生中购买的最大、最贵重的商品就是个人房产。因此，商品房的价格已成为社会关注的热点问题。目前，已有很多关于商品房价格的模型与分析方法，比如系统动力学模型，半参数回归分析模型等等，但这些模型多是从影响商品房价格的某一些因素进行分析。影响商品房价格的因素多种多样，各个因素之间的相关关系也比较复杂，难以建立统一的商品房价格模型。本文首先介绍了灰色系统理论和多元统计分析的有关理论，并分别建立了：第一，运用灰色系统理论，遴选了十四个与商品房价格有关的因素，建立商品房灰色关联分析模型，通过灰色关联度确定所选因素与价格的相关程度，其缺点是对弱相关因素的判断，分不出这些因素是否真的和商品房的价格相关或影响很小；第二，运用多元线性回归分析方法建立了商品房价格模型，得出商品房价格多元回归预测模型。论文选取贵州省商品房价格信息借助SAS统计软件对模型进行验证，并对近期价格进行预测，结果显示比较符合实际，最后对商品房价格提出了合理建议。关键字： 商品房价格，灰色关联分析，多元线性回归分析AbstractNowadays, China owns the globally largest real estate market and the biggest and the most precious goods people have brought in their whole life are personal property. Therefore, the price of housing has already become the hot issue concerned in society. At present, there have been a lot of models and analysis methods about the prices of real estate, such as system dynamics model, semi-parametric regression analysis model, but most of these models do some analysis from only unilateral factor influencing prices of housing. In fact, factors that affect real estate prices are variety, and one another have so complex relations that hard to establish the uniform model of housing.In this article, first of all, It introduce the gray system theory and multivariate statistical analysis theory and set up two models: On the one hand, relay on gray system theory, I select fourteen factors relation to the housing price and establish the gray correlation analysis model about housing and determine the degree of correlation about those factors and the price of housing through the gray correlation degree. This model has a big shortcoming, especially for weak relative factor, it cannot ascertain whether its have real relations to the price of real estate or have a little effect. On the other hand, I establish the housing price model by multiple linear regression analysis and calculate the multiple regression prediction model that about the price of housing.In this Paper, I selected some information about the housing price from GuiZhou Province and verify this model by means of SAS statistical software and forecast the recent price, show the outcome in line with the fact. At last, it put forward many reasonable proposals with regard to the price of housing.KeywordReal estate prices, gray correlation analysis, Multiple linear regression analysis目录摘 要7Abstract8第一章 概论111.1引言111.2 基本概念121.2.1 灰色系统理论121.2.2 灰色关联分析121.2.3 多元回归分析原理12第二章 商品房价格的灰色关联分析模型142.1 确定影响商品房价格的因素及其测度142.2 运用灰色关联分析法求关联度162.3 贵州省商品房价格模型分析182.3.1 用均值化算子将各测度值进行无量纲化182.3.2 求关联系数192.3.3 求灰色关联度212.3.4 对关联度的值排序21第三章 商品房价格的多元回归分析模型223.1 建立商品房价格的回归方程模型233.2 求商品房价格的回归模型243.3 模型的显著性检验253.4 模型系数的显著性检验263.5 用SAS软件计算贵州省商品房价格模型273.6贵州省商品房的价格模型30第四章 模型结果评价314.1 城镇居民人均住宅使用面积314.2 城镇居民家庭人均可支配收入314.3 住宅平均造价314.4 人民币贷款利率314.5 城镇人口总数、非农业家庭总户数314.6 商品房的供给面积324.7 土地交易价格指数32小结33参考文献34附录35附件1 英文原文35附件2 中文翻译48附件3 程序55致谢59第一章 概论1.1引言1998年国家规定取消福利式分房，同时实行住房货币化政策，从此我国城镇居民逐渐进入商品房时代。我过的房地产市场也因此发展迅猛，随着国民经济的快速发展，商品房的销售价格也在持续上涨。特别是近几年，商品房价格增长过快，已经超出了大部分城镇百姓的承受范围，影响和谐社会的建立和国家整体经济的有序发展，虽然在国家宏观调控的背景下，有关政府部门针对房地产行业频出重典，通过土地政策、税收政策、金融政策对房地产市场进行全面调控，但国内许多城市房地产价格在调控声中逆市上涨，因此有必要对商品房价格进行严格的控制和管理。对商品房价格的控制和管理，首先要确定影响商品房价格变化的主要因素。影响房地产价格的因素很多，他包括了经济因素、社会因素、人口因素、环境因素、政策体制等多个方面，而且各个因素之间又是错综复杂的，因素之间的相互关系也是比较复杂的。但在目前我国政治、经济发展比较平稳的时期，房价可以认为是由一些基本的因素（经济因素、成本因素、房地产行业因素、社会因素）来决定的。建立商品房的价格模型，就是对影响商品房价格的各个因素进行相关分析，得出哪一些因素起决定作用，哪一些因素处于次要地位，哪一些因素需要强调，哪一些因素需要抑制。因素相关分析在数理统计中已得到研究，如回归分析、方差分析等等。但这些方法有两个重要的条件：一是要求有大量的数据；二是要求样本服从某个典型概率分布，要求各因素与系统特征数据之间呈线性关系，而且各因素之间彼此随机独立。但在实际中普遍存在着统计数据少，预测数据具有灰度的情况。由于我国的房地产发展起步较晚，存在着数据少的问题。灰色关联分析是灰色系统理论的重要内容，灰色系统理论具有只需少量数据就可以作系统分析、模型建立、未来预测、行为决策和过程控制的特点，解决了回归分析、方差分析、主成分分析等系统分析方法的数据少，信息不确定而无法研究或难以研究的问题。多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。因此本文选择灰色关联分析和多元回归分析建立商品房价格模型。1.2 基本概念1.2.1 灰色系统理论所谓灰色系统就是信息不完全系统。1982年，邓聚龙在Systems & Control Letters（ 系统与控制通讯 ）发表的灰色理论的第一篇论文灰色系统控制问题标志着灰色数学和灰色系统理论的诞生，其后经邓聚龙等人卓有成效的工作，使得该学科从理论研究到应用研究都取得了一系列令人瞩目的成果，目前已发展成为一门横断应用数学、自然科学、社会科学、结构力学等学科的新兴的、具有广阔发展前景的应用性学科。信息不完全主要表现在以下几个方面：（1）元素（参数）信息不确定（2）结构信息不完全（3）关系信息不确定（4）运行信息不清楚（5）行为信息难以把握。灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的“贫信息”不确定性系统，它通过对部分已知信息的生成、开发和实现达到对现实世界确切描述和认识的目的。灰色系统理论研究任务主要是对社会、经济、生态、农业、环境等学科问题进行分析、建模、预测、决策、评估、规划和控制等。1.2.2 灰色关联分析灰色关联分析是定量地比较或描述系统之间或系统各因素之间，在发展过程中随时间相对变化的情况，即分析时间序列曲线的几何形状，用它们变化的大小、方向与速度等的接近程度来衡量它们之间关联性大小。如果两比较序列的变化态势基本一致或相似，其同步变化程度较高，即可认为两者的关联程度较大，反之，两者的关联程度较小。这种用于度量系统之间或因素之间的随时间变化的关联性的大小的尺度称之为“灰色关联度”。灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定的方法去寻求系统中各子系统（或因素）之间的数值关系。因此灰色关联度分析可以对一个系统的发展变化态势提供量化的度量，比较适合动态历程分析。目前该方法已经在工程控制、管理决策和社会经济等许多领域得到了广泛应用，但在房地产领域应用分析刚刚起步，主要应用于住宅价格预测及相关因素分析、需求预测及相关因素分析、房地产投资预测分析、销售面积预测等方面。1.2.3 多元回归分析原理回归分析是一种处理变量的统计相关关系的一种数理统计方法。回归分析的基本思想是：虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系，但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。回归分析主要解决以下几个方面的问题:(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出它们之间合适的数学表达式；(2) 根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度；(3) 进行因素分析。例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间，找出哪些是重要因素，哪些是次要因素，这些因素之间又有什么关系等等。回归分析有很广泛的应用，例如实验数据的一般处理，经验公式的求得，因素分析，产品质量的控制，气象及地震预报，自动控制中数学模型的制定等等。第二章 商品房价格的灰色关联分析模型商品房价格的高低极大地影响一个国家宏观经济的发展及其国民生活的质量，所以对商品房价格的研究是宏观经济管理及决策理论的重要内容。自1998年我国实行住房货币化以来，我国的房地产市场发展迅猛，随着国民经济的快速发展，商品房销售价格也在持续上涨。特别是近年来，商品房价格增长过快，已经超出了城镇百姓的承受能力，成为目前一个主要的社会热点问题和影响社会和谐的主要因素。要研究商品房的价格问题，就只能对影响商品房价格的因素进行分析，讨论这些相关因素和商品房销售价格的相关性，从而可以通过各种宏观调控来抑制商品房的不正常的增长。本模型是根据灰色关联度来判定个相关序列（影响因素）对特征序列（商品房销售价格）的相关性，并对各个相关性进行分析。2.1 确定影响商品房价格的因素及其测度根据对各种影响因素的分析，同时考虑到指标的量化程度，本文主要从经济因素、成本因素、房地产行业因素、社会因素四个方面对若干个指标进行分析。表1给出了选取的影响因素及其测度。表1 影响因素及其量化值影响因素度量指标经济因素经济增长率地区人均生产总值通货膨胀率居民消费价格指数中央银行基准利率人民币贷款利率储蓄情况城乡居民存款余额消费水平城镇居民家庭人均可支配收入成本因素土地价格土地交易价格指数建筑成本住宅平均造价房地产行业因素房地产投资房地产开发投资额商品房的建筑面积商品房的供给面积商品房需求面积商品房的销售面积住房居住情况城镇居民人均住宅使用面积住房租赁情况住宅租赁价格指数社会因素人口情况城镇人口总数家庭情况非农业家庭总户数商品住宅平均销售价格城镇人口总数 非农业家庭总户数 住宅租赁价格指数 地区人均生产总值 居民消费价格指数 人民币贷款利率 城乡居民存款余额 城镇居民家庭人均可支配收入 土地交易价格指数 住宅平均造价 房地产开发投资额 商品房的供给面积 商品房的销售面积 城镇居民人均住宅使用面积 图 2.1 商品房价格模型特征序列：；相关序列： 、 、。2.2 运用灰色关联分析法求关联度现在，我们主要根据灰色关联分析法确定各相关序列相对于特征序列的灰色关联度。商品房的平均销售价格为特征序列，其影响因素为相关序列。首先、假设 为系统的特征序列； 为系统的相关序列。第二、对系统做量化分析，需要对系统行为特征和各有效因素进行处理，通过算子的作用，使之化为无量纲数据。 ，其中。称为特征序列的均值化灰色关联算子，利用此算子将系统进行无量纲化处理。第三、求关联系数灰色关联系数：，表示为对在k点的关联系数，体现了第i个相关序列和特征序列在第k时刻的关联情况，是第k时刻第i个相关序列与特征序列所对应的点的距离状态的反映。其中：，。为分辨系数，是用来调整关联系数的分辨程度，他不仅可以调节关联系数的大小，而且可以通过它控制关联系数的变化区间。因为有时候可能出现各因子之间的关联系数很接近，难以分析因子的主次关系，此时可采用减小分辨系数的方法，扩大因子之间的分辨程度。其数在0与1之间，一般取0.5，然后可根据分辨情况作适当的调整。第四、求灰色关联度由计算得到mn个灰色关联系数值，数值所体现的信息显然过于分散，不便于比较。必要用一个数值体现每一比较数列各个时刻的灰色关联系数情况，定义这个数值为灰色关联度，记为，简记为。表示对的灰色关联度，即相关序列对特征序列的灰色关联度。得到每个相关序列的灰色关联度（）后，即可对关联度从大到小进行排序，所排出的序列为灰色关联序列。其关联度排在最前面的相关序列与特征序列关系最为密切，对特征序列的影响最大；排在第二位的影响次之，其余的依次类推；排在最后的相关序列与特征序列的关系最为疏远，即对特征序列的影响最小。2.3 贵州省商品房价格模型分析 根据网上资源给出贵州省1998-2007年影响商品房价格的各相关因素的各个测度的量化值，用第二章所述的模型进行验证。除人民币贷款利率是从中国银行网上公布所整理获得，其他数据均由中华人民共和国国家统计局网站上获得。 2.3.1 用均值化算子将各测度值进行无量纲化首先根据模型将表2数据写成下表，其中是特征序列， 是相关序列。表3.1998199920002001200220032004200520062007 12621282.991268.581163.981266.581313.0713851606.61799.822136.732342247525743000325737014317505257876835100.199.299.5101.899101.2104101101.7106.47.585.765.846.126.646.847.83362.8480.44539.49641.73758.7912.81094.61350.91596.91790.14565.394934.025122.215451.915944.086569.237322.058151.139116.6110678.7499.899.4100.3100.4100.6100.3100.6101.5101.6109.973968872078265883393187894395819.4231.446.5867.0183.01104.95121.7154.12186.79249.67592.4694.4824891.91054.3980.3944.41149.51107.91204.394.93137.6251.71369.38424.85554.34554.34862.56880.951071.5718.719.420.320.822.823.72510699104.197.198101.699.9102.5101.7101.1808.42853.3897.62919.36932.11958.52989.86100110321062196.22215.48241.95245.82253.64261.9271.19290.14289.08300第 61 页 共 61 页其次、用C语言编写的程序计算均值算子（源程序见附件3），其中。将表3进行无量纲化处理得到表4，如下所示：表419981999200020012002200320042005200620070.87120.88570.87580.80360.87440.90650.95611.10911.24251.47510.59530.62910.65430.76260.82790.94081.09741.28421.4711.73740.98730.97840.98141.0040.97640.99811.02570.99621.00311.04941.15990.95270.95120.94810.88370.8960.93891.01871.04941.20130.38080.50420.56620.67350.79620.9581.14881.41781.67591.87870.67280.72710.75490.80350.8760.96811.07911.20131.34351.57380.98380.97990.98880.98970.99170.98880.99171.00061.00161.08340.9090.84620.88560.96190.80931.02461.14511.081.15991.17840.18240.29490.43750.62940.77970.98581.14311.44761.75452.34510.62730.73530.87260.94451.11641.03811.00011.21731.17321.27530.18250.26450.48390.710.81671.06561.06561.65811.69342.05980.8050.83510.87390.89540.98151.02021.07621.12351.16661.22261.04850.97921.02970.96040.96931.00490.98811.01381.005910.85510.90260.94940.97240.98591.01391.0471.05881.09161.12330.76490.83990.94310.95820.98871.02091.05711.1311.12681.16942.3.2 求关联系数灰色关联系数为其中：，。用C语言编写的程序先算出m和M的值（源程序见附件），得出： m=0.0001； M=0.87。为分辨系数，取值为0.5。根据模型公式运用C语言编写程序计算出每一个灰色关联系数（源程序见附件3），程序运行的结果如下表（表5）所示：表51998199920002001200220032004200520062007 0.6120.62910.66280.91410.90370.92710.75510.71320.65570.624 0.78960.82450.80490.68470.81020.82620.86230.7940.64510.50550.60130.86670.85240.75070.97920.97660.96220.82810.69270.61380.47010.53290.58430.770.84790.89440.69320.58510.5010.51880.68690.7330.782710.99650.87610.77980.82540.81170.81530.79450.82220.7940.70040.78770.84110.92460.80050.64370.52630.92030.9170.97810.73330.87010.78660.69730.93740.84060.59460.38720.42420.49820.71430.82140.8460.69960.56250.45950.33340.64090.74330.99290.75550.64260.76790.90850.80110.86280.68540.38720.41190.52620.82320.88310.73240.79920.44220.49110.42670.86810.8960.99590.82590.80260.79290.78390.96810.85160.63280.71070.82320.73880.73510.8210.81560.93170.82050.64790.47810.96450.96290.85540.72050.79610.80220.82740.89650.74260.5530.80370.9050.86610.73790.79210.79190.81180.95240.79010.58742.3.3 求灰色关联度记灰色关联度为：，简记为。C程序计算结果为表6，如下所示：表6 表70.7397 0.75470.81240.63980.83070.76350.82750.57460.78010.59230.84180.75230.81210.80380.8418 0.83070.82750.81240.81210.80380.78010.76350.75470.75230.73970.63980.59230.5746所得的结果表示对的灰色关联度，即相关序列对特征序列的灰色关联度。2.3.4 对关联度的值排序将所求得的结果按照从大到小的顺序进行排列，结果如表7所示。显然：根据上述灰色关联度的排序可知，影响商品房销售价格的14个因素中，排在前四位的依次是：城镇居民人均住宅使用面积、城镇居民家庭人均可支配收入、住宅平均造价、人民币贷款利率；其他影响因素由大到小依次为：城镇人口总数、非农业家庭总户数、商品房的供给面积、土地交易价格指数、居民消费价格指数、住宅租赁价格指数、地区人均生产总值、城乡居民存款余额、商品房的销售面积、房地产开发投资额。第三章 商品房价格的多元回归分析模型第三章计算的结果表明，影响商品房价格的因素居民消费价格指数、住宅租赁价格指数、地区人均生产总值、城乡居民存款余额、商品房的销售面积、房地产开发投资额的关联度排在最后几位，也就是说这些因素对贵州省商品房价格的影响很弱甚至没有影响。那么，在接下来的回归分析中我们将去除这些因素，只对其他几个因素进行回归分析，建立回归模型。影响因素模型如下：商品住宅平均销售价格Y人民币贷款利率 城镇居民家庭人均可支配收入 土地交易价格指数 住宅平均造价 商品房的供给面积 城镇居民人均住宅使用面积 城镇人口总数 非农业家庭总户数 图3.13.1 建立商品房价格的回归方程模型试建立商品房销售价格与其影响因素的线性回归方程，即建立Y与、。的线性回归方程。则商品房价格的线性回归方程可表示为：其中为未知参数。假设对和进行了n年独立观测，的到n组数据，它们都满足上述方程，即商品房价格的线性回归模型还可表示为：为了方便我们将模型用矩阵来几好，如下：则模型可写成这里是的观测向量，为的未知参数向量，为常数项，为回归系数，为阶设计矩阵，为随机误差向量。表示n维随机误差向量服从n元正态分布，其均值向量为0，协方差阵为，又因为协方差阵是对角阵且对角阵线上的元素相等，所以的每个分量的方差都相等，且任两个分量之间是相互独立的。3.2 求商品房价格的回归模型我们用最小二乘估计的方法求参数向量的估计，使误差的平方和 达到最小的。求多元函数的最小值点，我们可以采用微分学的知识，对分别求关于的偏导数，得到方程组经过整理可得若用矩阵表示，即为 称它为正则方程组，这个方程组有唯一解的充要条件是的秩为9，等价地，的秩为9，于是得到正则方程的唯一解： 称为的最小二乘估计。记，则方程为所求的商品房的价格模型。3.3 模型的显著性检验在多个回归自变量的情形，一般并不知道因变量与自变量之间是否存在真正的线性相关关系，模型只是一种假设，尽管这种假设是有根据的或是专业知识确定的。因此，在获得了最小二乘估计之后，还需要对回归方程的合理性进行检验。一般地，如果与之间都没有线性相关关系，那么在模型中所有的都应为0。顾检验与之间有无线性相关关系，就是要检验假设是否成立。如果经检验不拒绝假设，则表明诸变量与之间确实无线性相关关系。如果经检验拒绝了假设，则回归方程通过了显著性检验，即认为回归方程是有意义的。但是，这个结论只是说明至少有一个，也就是说在所选的自变量中，至少有一部分对来讲是重要的，但并不表示所有的自变量都是重要的我们是通过平方和分解的方法导出检验假设的统计量来对模型进行显著性检验的。记，称其为第个试验点的拟合值或回归值。则总的变差平方和其中，=分别剩余平方和及回归平方和。它们的自由度分别是和14，当原假设成立时， 如果与之间确实有多元线性回归关系，则的值较大，因而统计量的值也较大；反之，如果变量与变量无多元线性回归关系，则的值较小，因此，我们根据值的大小来检验上述原假设是否成立。对给定的显著性水平，若则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设，具体的计算可列成表8的形式：在表中，若，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。3.4 模型系数的显著性检验方差来源平方和自由度均方比值回归8剩余总和表8前面已经指出，当回归方程通过显著性检验时，并不表示所有的自变量都是重要的，即可能是有某些回归系数为零，我们还需要对它们做进一步的检验，这就是所谓的回归系数显著性检验。检验自变量对的影响是否显著，等价于检验回归系数是否为0，即检验假设 。若被接受，则表明自变量对的影响相对于整个模型误差来讲比较小。这里有两种可能，一种是对的影响确实很小，这时应将自变量从模型中剔出；另一种可能是模型误差太大，产生这种情况的原因往往是比较复杂的，若被拒绝，则表明对确有一定的影响。若记可知其中表示矩阵的第个对角的元素。当成立是，于是，对给定的显著性水平，当时，我们拒绝原假设，即认为变量对有显著影响，否则认为对无显著影响。3.5 用SAS软件计算贵州省商品房价格模型贵州省商品房价格及其相关因素的数据如表9所示：表9yearYX1X2X3X4X5X6X7X8199812627.564565.3999.8739592.418.7808.42196.2219991282.996.214934.0299.4688694.419.4853.3215.4820001268.586.25122.21100.372082420.3897.62241.9520011163.986.185451.91100.4782891.920.8919.36245.8220021266.585.765944.08100.66581054.322.8932.11253.6420031313.075.846569.23100.3833980.323.7958.52261.9200413856.127322.05100.6931944.425989.86271.1920051606.66.648151.13101.58781149.526.11001290.1420061799.826.849116.61101.69431107.927.11032289.0820072136.737.8310678.74109.99581204.328.41062300利用SAS软件对上表中数据进行处理，运行结果为：回归基本模型： 表10回归模型方程： 表11拟合概况： 表12其中响应变量的均值为因变量（Y）的均值，均方误差的平方根叫做根均方误差，R平方即复相关系数平方，校正R平方为修正的复相关系数平方，其公式为，其中i当有截距项时取1，否则取0，这个公式考虑到了自变量个数p的多少对拟合的影响，原来的R2随着自变量个数的增加总会增大，而修正的则因为p对它有一个单调减的影响所以p增大时修正的不一定增大，便于不同自变量个数的模型的比较。 方差分析表： 表13这是关于模型是否成立的最重要的检验。它检验的是H0：模型中所有斜率项系数都等于零，这等价于说自变量的线性组合对因变量没有解释作用。它依据的是一个标准的方差分解，把因变量的总离差平方和（C 合计）分解为能用模型解释的部分（模型）与不能被模型解释的误差平方和（随机误差）两个部分，如果能解释的部分占的比例大就否定H0。F统计量就是用自由度修正过的两部分的比值。从上面结果看我们这个模型很显著（p值很小），所以可以否定H0，模型是有意义的。 第三类检验： 表14这个表格给出了对各斜率项是否为零（H0：bj = 0）的检验结果。检验利用的是所谓第三类平方和，又叫偏平方和，它代表在只缺少了本变量的模型中加入本变量导致的模型平方和的增加量。比如，X1的第三类平方和即现在的模型平方和与不包含变量X1的