高中数学第四章导数应用2导数在实际问题中的应用2.2最大值、最小值问题课时跟踪训练北师大版.docx

2.2 最大值、最小值问题 A组基础巩固1函数yx44x3在区间2,3上的最小值为()A72B36C12 D0解析：y4x34，令y0得x1.当x1时y1时y0，yminy极小值0.答案：D2从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()A24 cm3 B72 cm3C144 cm3 D288 cm3解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y(102x)(162x)x(0xe时，y0，当0x0，所以ymaxy极大值f(e).答案：A4已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B.C D.或解析：当a1时，最大值为4，不符合题意，当1a2时，f(x)在a,2上是减函数，f(a)最大，a22a3，解得a或a(舍去)答案：C5若函数f(x)在2,2上的最大值为2，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0 D.解析：当x0时，f(x)6x26x，易知函数f(x)在(，0上的最大值点是x1，且f(1)2，故只要在(0,2上，eax2恒成立即可，即axln 2在(0,2上恒成立，即a在(0,2上恒成立，故aln 2.答案：D6函数yxex的最小值为_解析：令y(x1)ex0，得x1，当x1时，y1时，y0.yminf(1).答案：7设f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是_解析：由题意，当x0时，f(x)的极小值为f(1)2，当x0时，f(x)极小值为f(0)a，f(0)是f(x)的最小值，则a2.答案：(，28用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，如图，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边沿虚线折起，再焊接，则该容器的高为_ cm时，容器的容积最大，最大容积是_ cm3.解析：该容器的高为x cm，容器的容积为V cm3，则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x0；当x(10,24)时，V(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f ln a ln aa1.因此f 2a2等价于ln aa10. 令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)B组能力提升1已知(a1)x1ln x0对任意x恒成立，则实数a的最大值为()A0 B1C12ln 2 D.解析：原问题等价于a1对任意x恒成立，令h(x)，则h(x)，令h(x)0，得x1，当x时，h(x)0，当x(1,2时，h(x)0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0,0.048)，则x为多少时，银行可获得最大收益()A0.016 B0.032C0.024 D0.048解析：依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，其中x(0,0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(0x0.048)，由于y0.096kx3kx2，令y0，得x0.032或x0(舍去)，又当0x0，当0.032x0.048时，y0，即x(0,1时，f(x)kx33x10可化为k.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间(0，上单调递增，在区间，1上单调递减，因此g(x)maxg()4，从而k4；当x0)，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，设CD2x，梯形面积为S.(1)求面积S关于x的函数关系式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值解析：(1)依题意，设AB的中点为O，以O为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，设C的坐标为(x，y)，则x，y满足方程1(y0)，解得y2(0xr)，所以S(2x2r)22(xr)，其定义域为(0，r)(2)由(1)可得S.记f(x)4(xr)2(r2x2)，0xr，则f(x)8(xr)2(r2x)令f(x)0，得x.当0x0；当xr时，f(x)0.所以f是f(x)的最大值因此，当x时，S也取得最大值，最大值为 r2.即等腰梯形的面积S的最大值为r2.6已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最大值和最小值解析：(1)令f(x)3x22ax30，amin3(当x1时取最小值)x1，a3，又a3时亦符合题意，a3.(2)f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x