存储模型及其决策.doc

【标题】存储模型及其决策 【作者】贺 志 敏 【关键词】存储模型经济订货量再订购点批量供应到货时间 【指导老师】杨 世 辉 【专业】数学与应用数学 【正文】1、引言在市场经济中，为保证生产和市场供应必须存储一定数量的原材料和货物如果为了保证供应而大量存储物资，会造成资金积压，从而带来经济上的损失如果物资存储量压得很低，造成货物供不应求的可能性增加，同样也会带来经济损失因此，寻求合理的存储量乃是现代企业管理中的一个重要问题存储清单1指的是一个企业为日后所需而存储起来的闲置货品或原材料存储清单中包括的项目有原材料、购买的零件、部件、附属组装、加工中货品、成品以及供应用品企业保持存储的部分原因在于其很难预测未来的销售水平、生产时间、需求量以及确切的用量如此以来，存储就成为了在企业或其顾客需要货品时，解决不确定及流动因素的缓冲1.1存储总费用存储总费用2是衡量存储系统的存储控制好坏的主要因素存储系统支出的费用主要包括：1.购买费用：购买货物所需的费用，即为货物需求量与货物单位费用的乘积2.维持费用：为维持一定的存储而必须承担的费用，它包括为寻求在存储上进行投资的资金而花费的成本、保险、纳税、仓库管理费用等等该项费用可以表示为存储成本的一个百分比，也可以是每单位的成本3.订货费用：为订购货物发出订单所需的固定成本，如工资、纸张、运输等等的费用4.缺货损失费：一般是指由于存储供不应求时所引起的损失缺货费与缺货数量的多少和缺货时间的长短成正比按惯例缺货损失费通常表示为在固定时间内生产1单位这种货物的费用在不允许缺货的情况下，在费用上的处理方式是将缺货损失费视为无穷大在本文中，尽管数量模型特指存储系统中的“总费用”模型，但这些模型只描述总变化费用或总相关费用而不受订货数量影响的费用被认为是固定不变的，并且不包括在模型中如无折扣模型中的购买费用1.问题将决定多长时间补充一次货物以及每次补充货物数量的策略称为存储策略即在存储应用中，应解决以下两个问题3：（）当存储经过再补充后应该有多少订货？（）应该在什么时候对存储进行再补充？2、确定性存储模型当货物需求不变或几乎不变，并且所有订单数目按时到达存储地点时，我们就可以运用确定性存储模型2.1模型假设1存储系统的需求率是连续的,均匀的,确定性的且为常数；2库存量总需不断的审核，当存储量为0时,订货立即到达(可以提前订货立即补充);3每次订货量不变，记为常数；4每份订单的费用不变，且与订货数量无关；5单位年存储费不变，为常数；6一份订单的供应到货时间是固定的，供应到货时间（Lead time）是指在存储系统中，从发出订单到接收到所订货物之间所需的时间的长度2.2模型建立与求解订货后批量均匀下降,存储系统货物量的变化规律如图1所示由于不允许缺货，则此存储系统的总费用(以年费用为基准)为年维持费用与年订货费用之和维持费用可用平均存储来计算令维持费用年利率每单位的存储费用存储中保持一单位的年费用那么存储中保持一单位的年费用是式(2-1)平均存储下的年维持费用的总方程式如下：年维持费用=平均存储每单位的年维持费用=式(2-2)用代表商品的年需求量则每年要实现份订单则年订货费用的总方程如下：年订货费用=每年订单的数目每份订单的费用=式(2-3)则年总费用=年维持费用+年订货费用式(2-4)关于的总费用曲线见图2我们需求的年最小总费用的表达式如下：式(2-5)2.3关于订货数量的决策找出适当的订货数量，使存储系统的年总费用达到最小对(4)式利用微分法求最小值4可求出即式(2-6)得式(2-7)此式即著名的经济批量(Economic ordering quantity，EOQ)公式即为最优存储策略5由易知订货的循环期(Cycle time)为式(2-8)当然，通过乘以12，可以调整为月；乘以52可以被调整为周；乘以每年的工作日天数则可以调整为天2.4关于订货时间的决策既然知道了订货数量，接下来就是关于订货时间的决策6关于订货时间的存储决策我们通过再订购点(Reorder point)来描述再订购点描述的是一个存储量，存储在该状况下，需要发出新的订单追加订货在使用不变需求和固定供应到货时间的存储系统中，基于不允许缺货，再订购点应该与供应到货时间的需求量相同令再订购点每天的需求量在该时间段中新订单的供应到货时间则关于再订购点的表述如下：式(2-9)2.5模型的敏感度分析现实中，每份订单费用和年维持费用率I是在相关数据下估计所得因此，我们想知道，如果现实与预计的订货费用和维持费用不同，我们所建议的订货数量将会有多大的变化2.5.1对的敏感度的分析用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度，对的敏感度记作式(2-10)由式(2-10)得即增加1%，增加0.5%2.5.2对的敏感度的分析作类似的定义，记对的敏感度为即而增加1%，减少0.5%从先前的分析来看，这种模型对预计费用中的小变化是不敏感的总的说来，这种不敏感性暗示了如果我们对于订货费用和维持费用有合理的估计，就极有可能得到很接近实际订货数量的一个数值，使费用最小3、确定性存储模型的几个推广73.1经济批量生产模型3.1.1模型假设.有一个恒定的生产供应率，设每天的生产率为；.生产批量为；.生产率大于需求率，即；.生产循环是固定的，设一个生产循环的天数为；.每次循环的配置费用(Setup cost)是不变的，并且与生产批量无关这项费用是为新产品的生产而花费的固定成本，包括劳动力、材料、失去的产品等等3.1.2模型建立与求解在生产循环中，需求会从存储中扣除，而生产成品将被加到存储中当生产循环结束时，需求的继续将会使存储逐渐减少，直到新的生产循环开始这一系统的存储方式如图3所示因为，每天的存储率为而一个生产循环期为天，则有最大存储量=式(3-1)平均存储量=式(3-2)图3批量生产存储模型的存储模式在此存储模式中，总费用仍然包括维持费用和订货费用但实际上，在一种生产环境中，订货费用更准确地说应该是指生产的配置费用因此，年最小总费用的表达式如下：式(3-3)则，最佳生产批量为式(3-4)假设每天都生产，则有式(3-5)从而式(3-6)3.2有数量折扣的确定性存储模型通常情况下，供应商为了使重大批量订购行为的发生而提供数量折扣也就是当订购货物的数量超过一定限额时，货物的单价会出现一个数量折扣，或称消减价格在数量折扣模型中，年度购买费用依赖于与订货数量相关的单位费用记货物单价为，其中为订货量这样，年度的购买费用被包含在以下总费用的等式中 式(3-7)为讨论方便，设按3个数量等级变化 式(3-8)且，如图所示图4折扣情况显然有 式(3-9) 式(3-10) 式(3-11)为求最小费用，利用微分法易求得这也是无数量折扣下的确定性存储模型中的最佳订购批量究竟落在哪一个区间，事先难以预计求最佳订货批量的步骤如下：1 对(不考虑定义域)求得极值点；2 若，则计算，取其中最小者对应的批量为；3 若，则计算，由min,决定；4 若，则取以上步骤可以推广到单价具有个等级折扣的情形，在此就不赘述了4、允许缺货的存储模型缺货或断货(Shortage or stockout)是指存储不能满足需求在许多情况下，缺货是非人所愿并且应该尽可能避免的但是，在其他情况下，它却可能是人们心甘情愿发生的，从经济的角度来计划并允许缺货在实践中，当单位存储费用很高的时候，这种情况就会经常发生4.1模型假设1如果在单位新货运到时有份订单，那么份订单就被送到确切的顾客手中，剩下的单位货物将被存进仓库中因此，就是最大的存储量2存储循环天被分为两个不同的时段；是指存储在手且一有订单就实现，是指无货且有新的订单3存在缺货损失费，以记单位缺货损失费4.2模型建立与求解允许缺货这种存储模型的存储方式如图5所示，其中负存储代表缺货的数目在此模型中，总费用除了维持费用和订货费用，还有缺货费用由图5易知，在总的循环期T天中，平均存储与平均缺货量分别如下：平均存储=式(4-1)平均缺货量=式(4-2)则允许缺货的存储模型的年最小总费用为式(4-3)那么，最优订货数量和最优缺货量分别为式(4-4)实际上，在缺货损失费很高的情况下，式(4-4)就演变为则在此情况下，允许缺货模型和不允许缺货模型会提供类似的存储策略5、随机性存储模型5.1有概率要求的单一时限的存储模型我们目前为止讨论过的存储模型是基于如下的假设：需求率是全年固定的和确定性的我们做出了最小成本的订购数量和再订购点政策。在需求率不具确定性的情况下，我们把需求当作概率性的，而且最好被一个概率分布描述出来。下面我们考虑有概率要求的单一时限存储模型8单一时限的存储模型是讨论某些货物为满足一个特定时期的需要作一次性订货的最优订货策略单一时限的存储模型对以下产品的情况适用：季节性或易腐烂产品，不能存放和在将来售卖的产品季节性衣物(如游泳衣和冬季大衣)是典型的以单一时限方式处理的产品在这些情况下，一个买家对某种产品进行季节前订购，然后经历售空或者在季末对过剩的存储进行清仓处理来年就没有任何产品存放和售卖了报纸也是另一种类似的产品一次性购买，在一个单一的时限中卖出或未卖出尽管报纸每天都有订购，他们却不能在以后的时间里存放或卖出这样，报纸的订购可被当作一系列的单一时限模型也就是说，每天或每一个时期是独立的，一个单一时限存储决策必须在每个时期中做出因为是一次性订购的，所以我们必须做出的惟一存储决策是在这一时期的开始我们需要订购多少货品5.1.1模型假设.某种单时期需求的物资，需求量为连续型随机变量；.需求量的概率密度为；.每件物品的成本为元，正常售价为元()；.如果当期销售不出去，下一期只得降价处理，设处理价为元()5.1.2模型建立与求解满足需求后系统中的存货量和缺货量可分别表示为存货量式(5-1)缺货量式(5-2)如果订货量大于需求量时，其赢利的期望值9为式(5-3)而订货量小于需求量时，其赢利的期望值为式(5-4)故总利润的期望值为式(5-5)由微分求导法可知，要使赢利最大，应满足式(5-6)令估计过剩需求后的每个产品的成本这个成本代表订购一个额外的产品并发现它不能卖出后的损失，即为 式(5-7)估计不足需求后的每个产品的成本这个成本代表未订购一个额外的产品并发现它能卖出后的机会损失损失，即 式(5-8)则式(5-9)由上式(23)可见，在单一时限的存储模型中，的值在选择订货数量时有着重要作用我们可根据以下情况选择相应的订货决策1时的存储决策此时，由于，我们应该选择与中间需求量相应的订货数量在这种情况下，缺货与过剩几乎是一样的，因为两项费用相等2时的存储决策此时，我们建议选择较多的订货数量这样，较高的订货数量会使缺货的可能性较小，以避免因低估需求和缺货造成的较为昂贵的费用3时的存储决策在这种情况下，建议选择较少的订货数量这样，较少的订货数量可以使缺货的可能性较高，从而降低因高估需求造成的损失5.2概率需求下的订货量再订购点模型现在，我们将把讨论扩展到概率需求下多个时期的订货量再订购点模型在多个时段模型中，存储系统以多个重复的时段或周期的形式连续运作，而库存可以从一个时段转移到下一个时段管理人员必须对库存情况进行持续审查，一旦存储降至再订购点就要发出新的订货订单5.2.1模型假设1.每当所定的单位货物运到的时候，库存将大幅增长和飞跃；2.基于概率性的需求，库存一般以先后不同的速度递减；3.多数时候，所定的单位货物将在库存降至零之前送达然而，有时高额需求也会导致在新货物运抵之前断货；4.供应到货时间内的需求是按正态概率分布的，平均值为，标准修正值为；5.因为处于概率需求情况下，应有保险储备量(设为)5.2.2模型建立与求解概率需求下的订货量再订购点模型的存储模式如图所示：图6概率需求下的订货量再订购点模型则该存储系统的年总费用如下：年总费用=正常存储的维持费用+保险储备量的维持费用+订货费用式(5-10)5.2.3关于订货数量的决定虽然处于概率需求情况下，我们可以根据一个时段的平均需求来得出预期年需求量在讨论确定性模型的敏感性的时候，我们曾得出这样的结论：当订货量分布在附近时，一个存储系统的总运作成本相对来说是不敏感的基于这点，我们根据确定性模型得到的数值非常接近最佳订货量即5.2.4关于订货时间的决定 供应到货时间内的需求概率分布如图7所示因为完成时间内的平均需求为，我们首先想到的是为再订购点然而由图易知，如果再订购点设为，则在新货运抵之前，公司将有大约50%的时间面临货物短缺这样的短缺率绝大多数情况下是不可以接受的图7供应到货时间内的需求概率分布因为在一个供应到货时间内，只要需求超过再订购点就会断货所以，借助于供应到货时间内的需求分布图，我们就可以得出需求大于的概率，由此就可得出断货出现的概率事实上，我们可以向管理部门了解每年平均多少次断货是可以接受的在产品的需求为概率性的情况下，一个管理人员如果连一次断货都不能接受的话，那么可以认定这个人是不现实的因为，要想彻底杜绝断货，势必要设定很高的再订购点，大大提高存储量，同时维持费用也必然大幅攀升假设缺货率是被接受的，则我们可以从需求分布图找出再订购点的值，见图8图8断货率为的再订购点由标准正态概率分布表，可以查出断货率为时所对应的值(设为)因此，再订购点的值为：式(5-11)则保险储备量就为个上面我们讨论的是需求服从正态分布的情况，另外还有指数分布、均匀分布、Poisson分布等情况，我们可以类似的解决实践中，随机存储系统比确定存储系统更为多见因为现实中的随机因素会造成对物品需求量的波动，从而很难满足需求量的确定性因此，随机性存储模型是很有现实意义的现实生活中当顾客向公司购买商品的时候可能会出现缺货的现象，此时顾客就可能向公司订货，接着公司也有可能向生产厂家发出订单，在这些订货的过程中涉及到预付费用从而影响到公司费用的问题，在此论文中将预付费用分为以下四种情况：1.顾客向公司订货并交纳订货费用（可以只交纳部分订货费用），公司接受顾客的订货费用后就会向商品生产厂家发出订单并交纳订货费用，此时公司就将顾客交纳的订货费用再转向交纳给商品生产商（可以只交纳部分订货费用）。2.顾客向公司订货并交纳订货费用（可以只交纳部分订货费用），公司接受顾客的订货费用后就会向商品生产厂家发出订单但不交纳订货费用。3.顾客向公司订货但不交纳订货费用，公司接受顾客的订货后就会向商品生产厂家发出订单并交纳订货费用，此时公司向商品生产商交纳订货费用（可以只交纳部分订货费用）。4.顾客向公司订货但不交纳订货费用，公司接受顾客的订货后就会向商品生产厂家发出订单仍不交纳订货费用。预付费用虽然分为以上四种情况，但是仍然以年总最小费用为目的来求解。6、模型的应用6.1问题描述某制造公司正在考虑自行生产一种零件的经济可行性该零件原来都是从供应商那里购买的预测该零件的年需求量为3200个此公司一年运作250天制造公司的财务分析师已经确定将把资金的14%用于企业内部投资除此之外，在过去的一年里，该公司还将600000美元的资金投资与存储统计表明，在与库存相关的税收和保险方面该公司总共花去了24000美元存储过程中损坏和被盗的货物估计将近9000美元还有15000美元用于仓库的日常管理费用，其中包括暖气和照明等对采购程序运作的一项分析显示，不管订货量为多少，填写和协调一份订购这种零件的订单大约需要2个小时采购费用平均为每小时28美元，它包括雇员得到的好处而且，对125次订货进行分析的结果显示，有2375美元被用于与订货程序直接相关的电话、纸张费用以及邮费从供应商那里得到此零件的供应到货时间为1周有分析表明，供应到货时间内的需求是按正态概率分布的其中，平均值为64，而标准修正值为1010根据服务水准要求，每年允许出现一次断货现象现在，该制造公司和供应商有一份合同依据该合同，采购该零件的单价为18美元然而，在过去的几个月里，制造公司的生产能力大大增加了由此，在某些部门出现了生产能力过剩的情况因此，公司正在考虑是否自行生产这种零件对设备运用的预测表明，如果生产该零件，生产能力是有保障的依据现在的生产能力，能够每月生产1000个这样的零件，总共能生产5个月管理部门相信，有两周的供应到货时间，一定能够安排好日程，以使得一旦有需要可以立即进行生产在2周的供应到货时间内，需求大致呈正态概率分布其平均值为128，标准修正值为20生产成本预计为每个零件17美元管理中存在这样一个问题，即，每次生产的配置成本将是一个不菲的数目劳动力和耗费的生产时间的总成本预计每小时50美元要启动生产该零件的设备还要求有满8小时轮班请就该公司的实际情况，给出一个较优决策制造还是购买6.2问题分析很显然，该公司在供应到货时间内对零件的需求量是服从正态概率分布的为了帮助该公司做出较优决策，我们可以利用概率需求下的订货量再订购点模型加以解决在这种情况下，总费用包括正常存储的维持费用、订货费用和保险储储备量的维持费用我们为公司制定的最终决策制造或购买，是以总费用最少为依据的因此，我们在分析总费用时应包括购买费用(或制造费用)下面我们分析相关费用6.2.1模型假设1.以常数(个)记每次订货量；2.=维持费用年利率、=单位年维持费用(美元/份)；3.年需求量为(个)；4.年生产量(个)；5.每份订单的费用(美元/份)；6.每次生产循环的配置费用(美元/次)；7.单位购买(制造)成本(美元/个)；8.保险储备量(个)则购买时年最小总费用为式(6-1)制造时年最小总费用为式(6-2)6.2.1.1参数值分析1.维持费用年利率是货币成本率与存储维持费用占存储价值的百分比之和，货币成本(Cost of capital)是企业用于寻求投资所需资金而花费的固定成本本案例中，公司将资金的14%用于企业内部投资，而存储维持费用包括保险、税收、损耗补偿费、失窃补偿费以及仓库经常开支等则2.每份订单的费用是不变的，它涵盖了单据准备以及订货的全过程，包括工资、纸张、电话、运输费等完成一份订单需2小时，采购费用平均每小时28美元，并且其他费用如电话、纸张等费用为每份美元故6.2.2模型建立与求解6.2.2.1购买时的存储决策此存储系统中，年需求量为3200个对于购买，在1周的供应到货时间内，需求服从平均值为64，标准差为10的正态概率分布单位购买成本 18美元，则单位年维持费用式(6-3)最佳订货批量、再订购点以及年总费用如下：式(6-4)从而有3200/34810次订单，循环期为个工作日允许断货概率为1/10=0.1，故再订购点为=76保险储备量为个，年总费用(美元)因此，建议的存储决策是，每当存储量降至76，就发出订货量为348个的订单6.2.2.2制造时的存储决策在制造的情况下，有两周的供应到货时间，需求服从平均值为128，标准差为20的正态概率分布。该公司能够每月生产1000个零件，总共能生产5个月。则年生产量为5000个，最大存储量为式(6-5)平均存储量为式(6-6)单位制造成本美元，则单位年维持费用每次生产循环的配置费用为(美元)那么，最佳生产批量1379允许断货概率为0.1，则再订购点=153保险储备量为个，年总费用(美元)循环期为=2501379/3200108个工作日因此，应该计划一个每108天生产1379单位的生产循环而建议的存储决策是每当存储量降至153，就向管理部门发出1379的订单6.2.2.3平均需求下的存储策略以上分析我们是根据直接预测的年需求量来进行的，下面我们以概率分布下的年需求量来重新分析，并得到相应的存储策略首先，我们根据供应到货时间内的平均需求来得出预期年需求量因为购买时，在1周的供应到货时间内，平均需求为64，则而在生产的情