2019_2020学年高中数学第二章解三角形3解三角形的实际应用举例巩固提升训练（含解析）北师大版.docx

3 解三角形的实际应用举例 A基础达标1如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点间的距离为()A50 mB50 mC25 m D m解析：选A.由正弦定理得.又CBA1804510530，故AB50 (m)2.如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30米，并在C测得塔顶A的仰角为60，则塔AB的高度为()A15米 B15米C15(1)米 D15米解析：选D.在BCD中，由正弦定理得BC15(米)在RtABC中，ABBCtan 6015(米)故选D.3某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为()A20分钟 B40分钟C60分钟 D80分钟解析：选B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD21t，CD9t，ACD120，由余弦定理，得cos 120，解得t(负值舍去)，小时40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟4渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)()A14.5 km/h B15.6 km/hC13.5 km/h D11.3 km/h解析：选C.由物理学知识，画出示意图，AB15，AD4，BAD120.在ABCD中，D60，在ADC中，由余弦定理得AC13.5.5已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东40 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10解析：选B.如图所示，ECA40，FCB60，ACB180406080，因为ACBC，所以AABC50，所以ABG180CBHCBA1801205010.故选B.6如图所示为一角槽，已知ABAD，ABBE，并测量得AC3 mm，BC2 mm，AB mm，则ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cosACB.因为ACB(0，)，所以ACB.答案：7一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_ m.解析：设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BC h，根据余弦定理，得(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50，故水柱的高度是50 m.答案：508一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x.答案：9如图，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿北偏东30方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿北偏东90的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上(1)求该军舰艇的速度(2)求sin 的值解：(1)依题意知，CAB120，AB1002200，AC120，ACB，在ABC中， 由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB200212022200120cos 12078 400，解得BC280.所以该军舰艇的速度为140海里/小时(2)在ABC中，由正弦定理，得，即sin .10.如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前进 km到达D处，看到A在他的北偏东45方向，B在北偏东75方向，试求这两座建筑物之间的距离解：依题意得，CD km，ADBBCD30BDC，DBC120，ADC60，DAC45.在BDC中，由正弦定理得BC(km)在ADC中，由正弦定理得AC3(km)在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB(3)2()223cos 4525.所以AB5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.B能力提升11如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角ADC150，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为_米解析：在ABD中，BD400，ABD120，因为ADB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，AD400.在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400)280022400800cos 150400213，所以AC400，故索道AC的长为400米答案：40012.如图，在山底测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为30的斜坡走1 000 m至S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_m.解析：如图，SAB453015，又SBD15，所以ABS30.AS1 000，由正弦定理知，所以BS2 000sin 15.所以BDBSsin 752 000sin 15cos 151 000sin 30500，且DCST1 000sin 30500，从而BCDCDB1 000 m.答案：1 00013.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 sA地测得该仪器在C处时的俯角为15，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)解：由题意，设ACx m，则BCx340x40 (m)在ABC中，由余弦定理得BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)210 000x2100x，解得x420.在ACH中，AC420 m，CAH301545，CHA903060.由正弦定理得，所以CHAC140(m)故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.14(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)解：(1)依题意知，在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100 (m)，BDC453015，由正弦定理得，所以BC50(1)(m)，在RtABE中，tan ，因为AB为定长，所以当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD，当BECD时，在RtBEC中，