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一个基于四方向的拉普拉斯算子的四阶偏微分去噪方法曾超，王美清(福州大学数学与计算机科学学院，福建福州350002)摘要：本文将“四方向”引入拉普拉斯算子(这四方向是指：水平、垂直、斜左上、斜左下四个方向)，改进了You-Kaveh模型，提出一个新的四阶偏微分去噪方法。实验结果表明，新方法比You-Kaveh模型能更好地去除高斯噪声，PSNR值得到了提高。关键词：You-Kaveh模型；高斯噪声；拉普拉斯算子A Fourth Order Partial Differential Dnoising Method Based on Four Directional Laplacian OperatorZENG Chao,WANG Mei-qing(College of Mathematics and Computer Science, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian, 350002, China)Abstract:In this paper, the “Four Directions” is introduced into the Laplacian operator, (the four directions are horizontal, vertical, diagonal left top and diagonal left bottom directions), and the You-Kaveh model is improved, a new fourth order partial differential denoising method is proposed. The result of experiences shows that the new method can remove the gaussian noise better than the You-Kaveh model, higher values of PSNR are gained.Keywords:You-Kaveh model; gaussian noise; Laplacian operator引言在数字图像处理的研究中，图像恢复作为图像预处理技术之一，成为图像处理研究人员的热点研究内容1。图像去噪就是一个典型的图像复原的例子。传统的图像去噪技术，如中值滤波，维纳滤波等，在去除噪声的同时，也使得边界或图像的细节特征变得模糊，影响了对图像的后续处理。而利用偏微分方程（PDE）对受噪声污染的图像进行去噪，能够在去噪的同时保留边界特征，因此成为当前研究的热点。在基于PDE的图像去噪模型中，You-Kaveh（YK）方法是其中的经典模型，受到了广泛的应用和研究。但是，YK模型的方程中，拉普拉斯算子只考_作者简介：曾超(1982)，男，硕士研究生基金项目：福建省自然科学基金资助项目(项目编号A0510005); 福州大学发展基金资助项目(项目编号2005-XQ-16)虑了水平和垂直两个方向，不利于倾斜边缘的处理。本文采用了新的拉普拉斯算子，在原有两个方向的基础上增加考虑两个倾斜45度的方向。实验表明改进后的模型能更好地去除高斯噪声。You-Kaveh去噪方程You-Kaveh去噪方程2的偏微分方程形式如下： (1)其中：，表示对取模，是满足下列条件的函数：。本文采用Perona和Malik给出的函数3，为常数4,5。系数分布函数又被称为“边界停止平滑函数”6，用来控制图像边缘的扩散。改进的模型及数值形式在已有的YK模型中，拉普拉斯算子只考虑了水平和垂直两个方向，应用在数字图像中，则表示像素点的梯度只与其周围的四个像素点有关，与另外四个相邻的像素点无关。然而在图像中的边缘部分，后四个点常常就是边缘线上的点。因此，只用前四个相邻像素点难以准确地界定图像的边缘部分，所以本文提出用八个相邻像素点对拉普拉斯算子进行改进，进而改进原有的YK模型数值算法。2.1 图像处理中的四方向的拉普拉斯算子及数值形式与传统拉普拉斯算子不同，四方向的拉普拉斯算子定义为： (2)其中新增的两个方向为：为沿斜左上方向的二阶偏导数，为沿斜左下方向的二阶偏导数图1 (四个方向示意图)注：上图的方格表示图像的像素点，四个箭头方向分别指向垂直方向，斜左上方向，水平方向，斜左下方向。式(2)中二阶偏导数的数值形式为： (3) (4) (5) (6)令,则有 (7)式(7)中二阶偏导数的数值形式与式(3)(6)中对应方向的二阶偏导数的数值形式一样。2.2 基于四方向的拉普拉斯算子的YK模型把四方向的拉普拉斯算子应用到式(1)中，并对的运算进行修改，令则YK模型改为 (8)令 (9)所以，式(8)的离散化公式为 (10)用方程(8)处理噪声图像，相当于是用模板处理每一个点。式(9)使所有方向上的二阶偏导数的系数只与各自方向的二阶偏导数有关，对于处在图像边缘部分的噪声点，噪声点像素值与边缘点像素值的差较大，则在沿这个方向上的二阶偏导数的系数就较小，从而可以抑制扩散过程导致的边缘模糊化。3 实验结果及比较。数值实验使用经典PM模型、文献7提出的模型和本文提出的方法分别对原图图像的加了标准差为10，20的高斯噪声图像进行去噪，迭代步长为0.1，迭代10次。三个方法对三幅噪声图的处理结果如下列图所示，图(a1)图(a4)分别为标准差为10的噪声图，PM模型对图(a1)去噪图，文献7提出的模型对图(a1)去噪图，本文方法对图(a1)去噪图；图(b1)图(b4)分别为标准差为20的噪声图，PM模型对图(b1)去噪图，文献7提出的模型对图(b1)去噪图，本文方法对图(b1)去噪图。本文方法既能抑制光滑区域的噪声，而且比前两种模型能更好地保持图像的边缘，使边缘部分更清晰。 (a1) (a2) (a3) (a4) (b1) (b2) (b3) (b4)图2 (实验结果比较图)PM模型文献7模型本文模型噪声图(a1)27.079429.183532.9413噪声图(b1)25.998525.487827.5802表1(三种方法处理结果的PSNR值比较)参考书目1阮秋琦2001数字图像处理学电子工业出版社2Yu-Li You, M. Kaveh, Fourth-Order Partial Differential Equations for Noise RemovalJ. IEEE Trans. On Image Processing, Oct., 2000, Vol.9(10): 1723-1730.3Perona P，Malik JScale-space and edge detection using anisotropic diffusionJIEEE Trans PAMI，1990，12（7）：629-6394仵冀颖，阮秋琦偏微分方程在图像去噪中的应用计算机工程与应用，2006，22：69-715Chen Tang，Fang Zhang，Haiqing Yan，Zhanqing ChenDenoising in electronic speckle pattern interferometry fringes by the filtering method based on partial dif