等差数列前N项和的公式ppt课件

等差数列的前n项和的性质及应用 复习回顾 1 等差数列的通项公式 已知首项a1和公差d 则有 an a1 n 1 d已知第m项am和公差d 则有 an am n m d d an am n m 2 等差数列的性质 在等差数列 an 中 如果m n p q m n p q N 那么 an am ap aq 返回 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有100层 见左图 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 下一页 问题2 对于这个问题 德国著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果 你知道应如何算吗 这个问题 可看成是求等差数列1 2 3 n 的前100项的和 100个101 高斯 下一页 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 这是求奇数个项和的问题 不能简单模仿偶数个项求和的办法 需要把中间项11看成首 尾两项1和21的等差中项 通过前后比较得出认识 高斯 首尾配对 的算法还得分奇 偶个项的情况求和 有无简单的方法 下一页 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 借助几何图形之直观性 使用熟悉的几何方法 把 全等三角形 倒置 与原图补成平行四边形 下一页 探究发现 问题1 图案中 第1层到第21层一共有多少颗宝石 获得算法 下一页 问题3 求 1 2 3 4 n 记 S 1 2 3 n 2 n 1 n S n n 1 n 2 3 2 1 下一页 设等差数列a1 a2 a3 它的前n项和是Sn a1 a2 an 1 an 1 若把次序颠倒是Sn an an 1 a2 a1 2 由等差数列的性质a1 an a2 an 1 a3 an 2 由 1 2 得2sn a1 an a1 an a1 an 即Sn n a1 an 2 下面将对等差数列的前n项和公式进行推导 下一页 由此得到等差数列的 an 前n项和的公式 即 等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半 上面的公式又可以写成 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式 正所谓 知三求二 下一页 2 1 3 5 2n 1 1 1 2 3 n 3 2 4 6 2n 上面习题的答案在以后会经常用到 n n 1 2 n n 1 n2 Sn Sn Sn 1 将等差数列前n项和公式看作是一个关于n的函数 这个函数有什么特点 当d 0时 Sn是常数项为零的二次函数 则Sn An2 Bn 令 说明 推导等差数列的前n项和公式的方法叫 等差数列的前n项和公式类同于 an 为等差数列 这是一个关于的没有的 倒序相加法 梯形的面积公式 Sn an2 bn n 常数项 二次函数 注意a还可以是0 例1如图 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔 往上每一层都比它下面一层多一支 最上面一层放120支 这个V形架上共放着多少支铅笔 解 由题意可知 这个V形架上共放着120层铅笔 且自下而上各层的铅笔数成等差数列 记为 an 其中a1 1 a120 120 根据等差数列前n项和的公式 得 答 V形架上共放着7260支铅笔 例2 在等差数列 an 中 2 a1 14 5 d 0 7 an 32 求Sn 2 由等差数列的通项公式 得 14 5 n 1 0 7 32 n 26 1 a3 2 a8 12 求S10 解 1 a1 a10 a3 a8 10 由以上例题可以得出 在求等差数列的前n项的和时 当知道首项和公差 或者是知道首项和末项 均可以得出 例3 已知等差数列an中a2 a5 a12 a15 36 求前16项的和 解 由等差数列的性质可得 a1 a16 a2 a15 a5 a12 36 2 18sn 16 2 18 144答 前16项的和为144 分析 可以由等差数列性质 直接代入前n项和公式 例4等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是54 本题实质是反用公式 解一个关于n的一元二次函数 注意得到的项数n必须是正整数 下一页 解 将题中的等差数列记为 an sn代表该数列的前n项和 则有a1 10 d 6 10 4 根据等差数列前n项和公式 解得n1 9 n 3 舍去 因此等差数列 10 6 2 2 前9项的和是54 设该数列前n项和为54 下一页 得 例5已知一个等差数列的前10项的和是310 前20项的和是1220 求Sn 解 S10 310 S20 1220 巩固练习 1 已知a6 a9 a12 a15 192 求S20 2 凸n边形各内角成等差数列 公差为10 最小内角为100 则n等于 A 7 B 8 C 9 D 8或9 a6 a9 a12 a15 192 a6 a15 a9 a12 a1 a20 a1 a20 96 由题意 得 解得n 8或n 9 舍 B 3 一个项数为36的数列的前四项和是21 后四项和是67 求这个数列的和 4求集合M m m 7n n是正整数 且m 100 的元素个数 并求这些元素的和 解 由7n 100得n 100 7 由于满足它的正整数n共有14个 集合M中的元素共有14个 即 7 14 21 91 98 这是一个等差数列 各项的和是 答 集合M中的元素共有14个 它们的和为735 735 返回 等差数列的前n项和公式 熟练掌握等差数列的两个求和公式并能灵活运用解决相关问题 小结 返回 2 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质2 1 若项数为偶数2n 则S2n n a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d nd 性质2 2 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1 an an为中间项 此时有 S奇 S偶 两等差数列前n项和与通项的关系 性质4 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为Sn和Tn 则 性质3 为等差数列 an 例1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9 A 63B 45C 36D 27 B 3 等差数列 an 前n项和的性质的应用 2 在等差数列 an 中 已知公差d 1 2 且a1 a3 a5 a99 60 a2 a4 a6 a100 A 85B 145C 110D 90 A 3 一个等差数列的前12项的和为354 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32 27 则公差为 5 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例5 09宁夏 等差数列 an 的前n项的和为Sn 已知am 1 am 1 am2 0 S2m 1 38 则m 例6 设数列 an 的通项公式为an 2n 7 则 a1 a2 a3 a15 10 153 等差数列 an 前n项和的性质的应用 练习 已知在等差数列 an 中 a10 23 a25 22 Sn为其前n项和 1 问该数列从第几项开始为负 2 求S10 3 求使Sn 0的最小的正整数n 4 求 a1 a2 a3 a20 的值 等差数列前n项和的性质5 例题讲解 当n 1时 当n 1时 也满足 式 变式训练 当n 1时 当n 1时 不满足 式 点评 分类讨论思想 例 若数列 an 的前 项和Sn满足Sn an2 bn 试判断 an 是否是等差数列 巩固练习 观察上面的式子 我们可以看出它是关于n的二次函数 从而等差数列的前n项和可以写成形如 将等差数列的前n项和公式写成上述形式 有利于求其前n项和的极值 等差数列前n项和再认识 例6 已知数列 an 是等差数列 且a1 21 公差d 2 求这个数列的前n项和Sn的最大值 等差数列的前n项的最值问题 等差数列的前n项的最值问题 例7 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法1 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 等差数列的前n项的最值问题 例7 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法2 由S3 S11得 d 2 0 当n 7时 Sn取最大值49 则Sn的图象如图所示 又S3 S11 所以图象的对称轴为 等差数列的前n项的最值问题 例7 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法3 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 an 13 n 1 2 2n 15 由 得 a7 a8 0 等差数列的前n项的最值问题 例7 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法4 由S3 S11得 当n 7时 Sn取最大值49 a4 a5 a6 a11 0 而a4 a11 a5 a10 a6 a9 a7 a8 又d 20 a7 0 a8 0 例7的变式题一 等差数列 an 中 首项a1 S3 S11 问 这个数列的前几项的和最大 例7的变式题二 等差数列 an 的首项a1 0 前n项和为Sn Sm Sl 问 n为何值时 Sn最大 例8 设等差数列的前n项和为Sn 已知a3 12 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出数列 Sn 中数值最大的项 并说明理由 解 1 由已知得 法2 Sn图象的对称轴为 由 1 知 由上得 即 由于n为正整数 所以当n 6时Sn有最大值 Sn有最大值 例9 已知在等差数列 an 中 a10 23 a25 22 Sn为其前n项和 1 问该数列从第几项开始为负 2 求S10 3 求使Sn 0的最小的正整数n 4 求 a1 a2 a3 a20 的值 思考 Sn 4 已知数列 an 的通项为an 26 2n 要使此数列的前n项和最大 则n的值为 A 12B 13C 12或13D 14 C 5 设数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1则通项an 解析 由题意得当n 2时 符合上式 因此 求等差数列前n项的最大 小 的方法 方法1 由利用二次函数